Theorem hvmulcl 27254

Description: Closure of scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvmul 27246	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 6663	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   ℋchil 27160   ·_ℎ csm 27162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-hfvmul 27246

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552

This theorem is referenced by:  hvmulcli  27255  hvsubf  27256  hvsubcl  27258  hv2neg  27269  hvaddsubval  27274  hvsub4  27278  hvaddsub12  27279  hvpncan  27280  hvaddsubass  27282  hvsubass  27285  hvsubdistr1  27290  hvsubdistr2  27291  hvaddeq0  27310  hvmulcan  27313  hvmulcan2  27314  hvsubcan  27315  his5  27327  his35  27329  hiassdi  27332  his2sub  27333  hilablo  27401  helch  27484  ocsh  27526  h1de2ci  27799  spansncol  27811  spanunsni  27822  mayete3i  27971  homcl  27989  homulcl  28002  unoplin  28163  hmoplin  28185  bramul  28189  bralnfn  28191  brafnmul  28194  kbop  28196  kbmul  28198  lnopmul  28210  lnopaddmuli  28216  lnopsubmuli  28218  lnopmulsubi  28219  0lnfn  28228  nmlnop0iALT  28238  lnopmi  28243  lnophsi  28244  lnopcoi  28246  lnopeq0i  28250  nmbdoplbi  28267  nmcexi  28269  nmcoplbi  28271  lnfnmuli  28287  lnfnaddmuli  28288  nmbdfnlbi  28292  nmcfnlbi  28295  nlelshi  28303  riesz3i  28305  cnlnadjlem2  28311  cnlnadjlem6  28315  adjlnop  28329  nmopcoi  28338  branmfn  28348  cnvbramul  28358  kbass2  28360  kbass5  28363  superpos  28597  cdj1i  28676