Theorem hvaddcl 27253

Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvadd 27241	. 2 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 6663	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549   ℋchil 27160   +_ℎ cva 27161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-hfvadd 27241

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552

This theorem is referenced by:  hvsubf  27256  hvsubcl  27258  hvaddcli  27259  hvadd4  27277  hvsub4  27278  hvpncan  27280  hvaddsubass  27282  hvsubass  27285  hv2times  27302  hvaddsub4  27319  his7  27331  normpyc  27387  hhph  27419  hlimadd  27434  helch  27484  ocsh  27526  spanunsni  27822  3oalem1  27905  pjcompi  27915  mayete3i  27971  hoscl  27988  hoaddcl  28001  unoplin  28163  hmoplin  28185  braadd  28188  0lnfn  28228  lnopmi  28243  lnophsi  28244  lnopcoi  28246  lnopeq0i  28250  nlelshi  28303  cnlnadjlem2  28311  cnlnadjlem6  28315  adjlnop  28329  superpos  28597  cdj3lem2b  28680  cdj3i  28684