MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fovcl Structured version   Unicode version

Theorem fovcl 6344
Description: Closure law for an operation. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
fovcl.1  |-  F :
( R  X.  S
) --> C
Assertion
Ref Expression
fovcl  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  ->  ( A F B )  e.  C )

Proof of Theorem fovcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fovcl.1 . . 3  |-  F :
( R  X.  S
) --> C
2 ffnov 6343 . . . 4  |-  ( F : ( R  X.  S ) --> C  <->  ( F  Fn  ( R  X.  S
)  /\  A. x  e.  R  A. y  e.  S  ( x F y )  e.  C ) )
32simprbi 462 . . 3  |-  ( F : ( R  X.  S ) --> C  ->  A. x  e.  R  A. y  e.  S  ( x F y )  e.  C )
41, 3ax-mp 5 . 2  |-  A. x  e.  R  A. y  e.  S  ( x F y )  e.  C
5 oveq1 6241 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x F y )  =  ( A F y ) )
65eleq1d 2471 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( x F y )  e.  C  <->  ( A F y )  e.  C ) )
7 oveq2 6242 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( A F y )  =  ( A F B ) )
87eleq1d 2471 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  (
( A F y )  e.  C  <->  ( A F B )  e.  C
) )
96, 8rspc2v 3168 . 2  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  ->  ( A. x  e.  R  A. y  e.  S  ( x F y )  e.  C  ->  ( A F B )  e.  C ) )
104, 9mpi 18 1  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  ->  ( A F B )  e.  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753    X. cxp 4940    Fn wfn 5520   -->wf 5521  (class class class)co 6234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-fv 5533  df-ov 6237
This theorem is referenced by:  addclnq  9273  mulclnq  9275  adderpq  9284  mulerpq  9285  distrnq  9289  axaddcl  9478  axmulcl  9480  xaddcl  11407  xmulcl  11436  elfzoelz  11772  addcnlem  21552  sgmcl  23693  issubgoi  25606  ablomul  25651  hvaddcl  26223  hvmulcl  26224  hicl  26291  rmxynorm  35196  rmxyneg  35198  rmxy1  35200  rmxy0  35201  rmxp1  35210  rmyp1  35211  rmxm1  35212  rmym1  35213  rmxluc  35214  rmyluc  35215  rmyluc2  35216  rmxdbl  35217  rmydbl  35218  rmxypos  35227  ltrmynn0  35228  ltrmxnn0  35229  lermxnn0  35230  rmxnn  35231  ltrmy  35232  rmyeq0  35233  rmyeq  35234  lermy  35235  rmynn  35236  rmynn0  35237  rmyabs  35238  jm2.24nn  35239  jm2.17a  35240  jm2.17b  35241  jm2.17c  35242  jm2.24  35243  rmygeid  35244  jm2.18  35273  jm2.19lem1  35274  jm2.19lem2  35275  jm2.19  35278  jm2.22  35280  jm2.23  35281  jm2.20nn  35282  jm2.25  35284  jm2.26a  35285  jm2.26lem3  35286  jm2.26  35287  jm2.15nn0  35288  jm2.16nn0  35289  jm2.27a  35290  jm2.27c  35292  rmydioph  35299  rmxdiophlem  35300  jm3.1lem1  35302  jm3.1  35305  expdiophlem1  35306
  Copyright terms: Public domain W3C validator