HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hicl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hicl 27321
Description: Closure of inner product. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hicl ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem hicl
StepHypRef Expression
1 ax-hfi 27320 . 2 ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
21fovcl 6663 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 1977  (class class class)co 6549  cc 9813  chil 27160   ·ih csp 27163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-hfi 27320
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552
This theorem is referenced by:  hicli  27322  his5  27327  his35  27329  his7  27331  his2sub  27333  his2sub2  27334  hire  27335  hi01  27337  abshicom  27342  hi2eq  27346  hial2eq2  27348  bcs2  27423  pjhthlem1  27634  normcan  27819  pjspansn  27820  adjsym  28076  cnvadj  28135  adj2  28177  brafn  28190  kbop  28196  kbmul  28198  kbpj  28199  eigvalcl  28204  lnopeqi  28251  riesz3i  28305  cnlnadjlem2  28311  cnlnadjlem7  28316  nmopcoadji  28344  kbass2  28360  kbass5  28363  kbass6  28364  hmopidmpji  28395  pjclem4  28442  pj3si  28450
  Copyright terms: Public domain W3C validator