Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eulerthlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerthlem1 15324
 Description: Lemma for eulerth 15326. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerth.1 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
eulerth.2 𝑆 = {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1}
eulerth.3 𝑇 = (1...(ϕ‘𝑁))
eulerth.4 (𝜑𝐹:𝑇1-1-onto𝑆)
eulerth.5 𝐺 = (𝑥𝑇 ↦ ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁))
Assertion
Ref Expression
eulerthlem1 (𝜑𝐺:𝑇𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem eulerthlem1
StepHypRef Expression
1 eulerth.1 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
21simp2d 1067 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
32adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝐴 ∈ ℤ)
4 eulerth.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑇1-1-onto𝑆)
5 f1of 6050 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑇1-1-onto𝑆𝐹:𝑇𝑆)
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑇𝑆)
76ffvelrnda 6267 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
8 oveq1 6556 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑥) → (𝑦 gcd 𝑁) = ((𝐹𝑥) gcd 𝑁))
98eqeq1d 2612 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑥) → ((𝑦 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝐹𝑥) gcd 𝑁) = 1))
10 eulerth.2 . . . . . . . . 9 𝑆 = {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1}
119, 10elrab2 3333 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐹𝑥) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐹𝑥) gcd 𝑁) = 1))
127, 11sylib 207 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑇) → ((𝐹𝑥) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐹𝑥) gcd 𝑁) = 1))
1312simpld 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐹𝑥) ∈ (0..^𝑁))
14 elfzoelz 12339 . . . . . 6 ((𝐹𝑥) ∈ (0..^𝑁) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
1513, 14syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
163, 15zmulcld 11364 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐴 · (𝐹𝑥)) ∈ ℤ)
171simp1d 1066 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1817adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝑁 ∈ ℕ)
19 zmodfzo 12555 . . . 4 (((𝐴 · (𝐹𝑥)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
2016, 18, 19syl2anc 691 . . 3 ((𝜑𝑥𝑇) → ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
21 modgcd 15091 . . . . 5 (((𝐴 · (𝐹𝑥)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹𝑥)) gcd 𝑁))
2216, 18, 21syl2anc 691 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → (((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹𝑥)) gcd 𝑁))
2317nnzd 11357 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2423adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝑁 ∈ ℤ)
25 gcdcom 15073 . . . . 5 (((𝐴 · (𝐹𝑥)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 · (𝐹𝑥)) gcd 𝑁) = (𝑁 gcd (𝐴 · (𝐹𝑥))))
2616, 24, 25syl2anc 691 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → ((𝐴 · (𝐹𝑥)) gcd 𝑁) = (𝑁 gcd (𝐴 · (𝐹𝑥))))
27 gcdcom 15073 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑁))
2823, 2, 27syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑁))
291simp3d 1068 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
3028, 29eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝐴) = 1)
3130adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝑁 gcd 𝐴) = 1)
32 gcdcom 15073 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℤ) → (𝑁 gcd (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑥) gcd 𝑁))
3324, 15, 32syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝑁 gcd (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑥) gcd 𝑁))
3412simprd 478 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑇) → ((𝐹𝑥) gcd 𝑁) = 1)
3533, 34eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝑁 gcd (𝐹𝑥)) = 1)
36 rpmul 15211 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℤ) → (((𝑁 gcd 𝐴) = 1 ∧ (𝑁 gcd (𝐹𝑥)) = 1) → (𝑁 gcd (𝐴 · (𝐹𝑥))) = 1))
3724, 3, 15, 36syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → (((𝑁 gcd 𝐴) = 1 ∧ (𝑁 gcd (𝐹𝑥)) = 1) → (𝑁 gcd (𝐴 · (𝐹𝑥))) = 1))
3831, 35, 37mp2and 711 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝑁 gcd (𝐴 · (𝐹𝑥))) = 1)
3922, 26, 383eqtrd 2648 . . 3 ((𝜑𝑥𝑇) → (((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = 1)
40 oveq1 6556 . . . . 5 (𝑦 = ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) → (𝑦 gcd 𝑁) = (((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) gcd 𝑁))
4140eqeq1d 2612 . . . 4 (𝑦 = ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) → ((𝑦 gcd 𝑁) = 1 ↔ (((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = 1))
4241, 10elrab2 3333 . . 3 (((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) ∈ 𝑆 ↔ (((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁) ∧ (((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = 1))
4320, 39, 42sylanbrc 695 . 2 ((𝜑𝑥𝑇) → ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) ∈ 𝑆)
44 eulerth.5 . 2 𝐺 = (𝑥𝑇 ↦ ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁))
4543, 44fmptd 6292 1 (𝜑𝐺:𝑇𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820  ℕcn 10897  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334   mod cmo 12530   gcd cgcd 15054  ϕcphi 15307 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055 This theorem is referenced by:  eulerthlem2  15325
 Copyright terms: Public domain W3C validator