Theorem pthdadjvtx 40936

Description: The adjacent vertices of a path of length at least 2 are distinct. (Contributed by AV, 5-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pthdadjvtx	⊢ ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))

Proof of Theorem pthdadjvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0l 40365	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹))))
2		simpr 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 < (#‘𝐹) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) → 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃)
3		pthis1wlk 40933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
4		1wlkcl 40820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
5		1zzd 11285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → 1 ∈ ℤ)
6		nn0z 11277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℤ)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → (#‘𝐹) ∈ ℤ)
8		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → 1 < (#‘𝐹))
9		fzolb 12345	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝐹)))
10	5, 7, 8, 9	syl3anbrc 1239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → 1 ∈ (1..^(#‘𝐹)))
11		0elfz 12305	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...(#‘𝐹)))
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → 0 ∈ (0...(#‘𝐹)))
13		ax-1ne0 9884	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 0
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → 1 ≠ 0)
15	10, 12, 14	3jca 1235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → (1 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0))
16	15	ex 449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (1 < (#‘𝐹) → (1 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0)))
17	3, 4, 16	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (1 < (#‘𝐹) → (1 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0)))
18	17	impcom 445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 < (#‘𝐹) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) → (1 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0))
19		pthdivtx 40935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ (1 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0)) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘0))
20	2, 18, 19	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 < (#‘𝐹) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘0))
21	20	necomd 2837	. . . . . . 7 ⊢ ((1 < (#‘𝐹) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
22	21	3adant1 1072	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 = 0 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
23		fveq2 6103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = 0 → (𝑃‘𝐼) = (𝑃‘0))
24		oveq1 6556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = 0 → (𝐼 + 1) = (0 + 1))
25		0p1e1 11009	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
26	24, 25	syl6eq 2660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 = 0 → (𝐼 + 1) = 1)
27	26	fveq2d 6107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = 0 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘1))
28	23, 27	neeq12d 2843	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 = 0 → ((𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
29	28	3ad2ant1 1075	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 = 0 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) → ((𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
30	22, 29	mpbird 246	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 = 0 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))
31	30	3exp 1256	. . . 4 ⊢ (𝐼 = 0 → (1 < (#‘𝐹) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
32		simp3 1056	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) → 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃)
33		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))
34		fzo0ss1 12367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1..^(#‘𝐹)) ⊆ (0..^(#‘𝐹))
35	34	sseli 3564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
36		fzofzp1 12431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(#‘𝐹)))
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(#‘𝐹)))
38		elfzoelz 12339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → 𝐼 ∈ ℤ)
39	38	zcnd 11359	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → 𝐼 ∈ ℂ)
40		1cnd 9935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → 1 ∈ ℂ)
41	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → 1 ≠ 0)
42	39, 40, 41	3jca 1235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → (𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
43		addn0nid 10330	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → (𝐼 + 1) ≠ 𝐼)
44	43	necomd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → 𝐼 ≠ (𝐼 + 1))
45	42, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → 𝐼 ≠ (𝐼 + 1))
46	33, 37, 45	3jca 1235	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 𝐼 ≠ (𝐼 + 1)))
47	46	3ad2ant1 1075	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) → (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 𝐼 ≠ (𝐼 + 1)))
48		pthdivtx 40935	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 𝐼 ≠ (𝐼 + 1))) → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))
49	32, 47, 48	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))
50	49	3exp 1256	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → (1 < (#‘𝐹) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
51	31, 50	jaoi 393	. . 3 ⊢ ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹))) → (1 < (#‘𝐹) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
52	1, 51	syl 17	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (1 < (#‘𝐹) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
53	52	3imp31 1250	1 ⊢ ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  1Walksc1wlks 40796  PathScpths 40919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-1wlks 40800  df-trls 40901  df-pths 40923

This theorem is referenced by:  2pthnloop  40937  upgr3v3e3cycl  41347  upgr4cycl4dv4e  41352