Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2pthnloop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2pthnloop 40937
 Description: A path of length at least 2 does not contain a loop. In contrast, a path of length 1 can contain/be a loop, see lppthon 41318. (Contributed by AV, 6-Feb-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2pthnloop.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
2pthnloop ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼   𝑃,𝑖

Proof of Theorem 2pthnloop
StepHypRef Expression
1 pthis1wlk 40933 . . . . 5 (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
2 wlkv 40815 . . . . 5 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
4 isPth 40929 . . . . 5 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)))
5 isTrl 40904 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝐹)))
6 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
7 2pthnloop.i . . . . . . . . . . . . 13 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
86, 7is1wlk 40813 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))))))
98anbi1d 737 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝐹) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))) ∧ Fun 𝐹)))
105, 9bitrd 267 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))) ∧ Fun 𝐹)))
11 pthdadjvtx 40936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃‘(𝑖 + 1)))
1211ad5ant245 1299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun 𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))) ∧ 1 < (#‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃‘(𝑖 + 1)))
1312neneqd 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun 𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))) ∧ 1 < (#‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ¬ (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
14 ifpfal 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (¬ (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))))
1514adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun 𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))) ∧ 1 < (#‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ ¬ (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1))) → (if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))))
16 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃𝑖) ∈ V
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (¬ (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (𝑃𝑖) ∈ V)
18 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (¬ (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ V)
20 neqne 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (¬ (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃‘(𝑖 + 1)))
21 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐼‘(𝐹𝑖)) ∈ V
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (¬ (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (𝐼‘(𝐹𝑖)) ∈ V)
23 prsshashgt1 13059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑃𝑖) ∈ V ∧ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ V ∧ (𝑃𝑖) ≠ (𝑃‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐼‘(𝐹𝑖)) ∈ V) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)) → 2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))
2417, 19, 20, 22, 23syl31anc 1321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (¬ (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)) → 2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))
2524adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun 𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))) ∧ 1 < (#‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ ¬ (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1))) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)) → 2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))
2615, 25sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun 𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))) ∧ 1 < (#‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ ¬ (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1))) → (if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) → 2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))
2713, 26mpdan 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun 𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))) ∧ 1 < (#‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) → 2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))
2827ralimdva 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun 𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))) ∧ 1 < (#‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))
2928ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun 𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))) → (1 < (#‘𝐹) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))))
3029com23 84 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun 𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) → (1 < (#‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))))
3130exp31 628 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (((Fun 𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) → (1 < (#‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))))))
3231com24 93 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) → (((Fun 𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (1 < (#‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))))))
33323impia 1253 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))) → (((Fun 𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (1 < (#‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))))
3433exp4c 634 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))) → (Fun 𝐹 → (((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅ → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (1 < (#‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))))))
3534imp 444 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))) ∧ Fun 𝐹) → (((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅ → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (1 < (#‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))))))
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))) ∧ Fun 𝐹) → (((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅ → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (1 < (#‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))))))
3710, 36sylbid 229 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 → (((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅ → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (1 < (#‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))))))
3837com24 93 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅ → (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (1 < (#‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))))))
3938com14 94 . . . . . . 7 (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (1 < (#‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))))))
40393imp 1249 . . . . . 6 ((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (1 < (#‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))))
4140com12 32 . . . . 5 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → ((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (1 < (#‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))))
424, 41sylbid 229 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (1 < (#‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))))
433, 42mpcom 37 . . 3 (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (1 < (#‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))))
4443pm2.43i 50 . 2 (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (1 < (#‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))
4544imp 444 1 ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383  if-wif 1006   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038   ↾ cres 5040   “ cima 5041  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954  2c2 10947  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  1Walksc1wlks 40796  TrailSctrls 40899  PathScpths 40919 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-1wlks 40800  df-trls 40901  df-pths 40923 This theorem is referenced by:  upgr2pthnlp  40938
 Copyright terms: Public domain W3C validator