Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  upgr2pthnlp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgr2pthnlp 40938
 Description: A path of length at least 2 in a pseudograph does not contain a loop. (Contributed by AV, 6-Feb-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2pthnloop.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
upgr2pthnlp ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼   𝑃,𝑖

Proof of Theorem upgr2pthnlp
StepHypRef Expression
1 2pthnloop.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
212pthnloop 40937 . . 3 ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))
323adant1 1072 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))
4 pthis1wlk 40933 . . . . . . 7 (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
511wlkf 40819 . . . . . . 7 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
6 simp2 1055 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝐺 ∈ UPGraph )
7 wrdsymbcl 13173 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐼)
81upgrle2 25771 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐼) → (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ≤ 2)
96, 7, 83imp3i2an 1270 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ≤ 2)
10 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼‘(𝐹𝑖)) ∈ V
11 hashxnn0 12989 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼‘(𝐹𝑖)) ∈ V → (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ∈ ℕ0*)
12 xnn0xr 11245 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ∈ ℕ0* → (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ∈ ℝ*)
1310, 11, 12mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ∈ ℝ*
14 2re 10967 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
1514rexri 9976 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ*
1613, 15pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 ((#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*)
17 xrletri3 11861 . . . . . . . . . . 11 (((#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) → ((#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2 ↔ ((#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))))
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2 ↔ ((#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))))
1918biimprd 237 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (((#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))) → (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2))
209, 19mpand 707 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) → (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2))
21203exp 1256 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) → (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2))))
224, 5, 213syl 18 . . . . . 6 (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) → (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2))))
2322impcom 445 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) → (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2)))
24233adant3 1074 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) → (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2)))
2524imp 444 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) → (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2))
2625ralimdva 2945 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2))
273, 26mpd 15 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  2c2 10947  ℕ0*cxnn0 11240  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  iEdgciedg 25674   UPGraph cupgr 25747  1Walksc1wlks 40796  PathScpths 40919 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-uhgr 25724  df-upgr 25749  df-1wlks 40800  df-trls 40901  df-pths 40923 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator