Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pthdivtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthdivtx 40935
 Description: The inner vertices of a path are distinct from all other vertices. (Contributed by AV, 5-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
pthdivtx ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽)) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))

Proof of Theorem pthdivtx
StepHypRef Expression
1 pthis1wlk 40933 . . . 4 (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
2 wlkv 40815 . . . 4 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
31, 2syl 17 . . 3 (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
4 isPth 40929 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)))
5 trlis1wlk 40905 . . . . . 6 (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
6 eqid 2610 . . . . . . 7 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
761wlkp 40821 . . . . . 6 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
8 elfz0lmr 40367 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (0...(#‘𝐹)) → (𝐽 = 0 ∨ 𝐽 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∨ 𝐽 = (#‘𝐹)))
9 elfzo1 12385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (#‘𝐹)))
10 nnnn0 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((#‘𝐹) ∈ ℕ → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
11103ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 ∈ ℕ ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (#‘𝐹)) → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
129, 11sylbi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
1312adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹))) → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
14 fvinim0ffz 12449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → (((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹))) ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹))))))
1513, 14sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → (((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹))) ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹))))))
16 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐽 = 0 → (𝑃𝐽) = (𝑃‘0))
1716eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐽 = 0 → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) ↔ (𝑃𝐼) = (𝑃‘0)))
1817ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) ↔ (𝑃𝐼) = (𝑃‘0)))
19 ffun 5961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → Fun 𝑃)
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹))) → Fun 𝑃)
21 fdm 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → dom 𝑃 = (0...(#‘𝐹)))
22 fzo0ss1 12367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (1..^(#‘𝐹)) ⊆ (0..^(#‘𝐹))
23 fzossfz 12357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (0..^(#‘𝐹)) ⊆ (0...(#‘𝐹))
2422, 23sstri 3577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (1..^(#‘𝐹)) ⊆ (0...(#‘𝐹))
2524sseli 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → 𝐼 ∈ (0...(#‘𝐹)))
26 eleq2 2677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (dom 𝑃 = (0...(#‘𝐹)) → (𝐼 ∈ dom 𝑃𝐼 ∈ (0...(#‘𝐹))))
2725, 26syl5ibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (dom 𝑃 = (0...(#‘𝐹)) → (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → 𝐼 ∈ dom 𝑃))
2821, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → 𝐼 ∈ dom 𝑃))
2928imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹))) → 𝐼 ∈ dom 𝑃)
3020, 29jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹))) → (Fun 𝑃𝐼 ∈ dom 𝑃))
3130adantrl 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → (Fun 𝑃𝐼 ∈ dom 𝑃))
32 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))
33 funfvima 6396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((Fun 𝑃𝐼 ∈ dom 𝑃) → (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → (𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))))
3431, 32, 33sylc 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → (𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹))))
35 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃𝐼) = (𝑃‘0) → ((𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹))) ↔ (𝑃‘0) ∈ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))))
3634, 35syl5ibcom 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃‘0) → (𝑃‘0) ∈ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))))
3718, 36sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) → (𝑃‘0) ∈ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))))
38 nnel 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (¬ (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹))) ↔ (𝑃‘0) ∈ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹))))
3937, 38syl6ibr 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) → ¬ (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))))
4039necon2ad 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
4140adantrd 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → (((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹))) ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
4215, 41sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → (((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅ → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
4342ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅ → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
4443com23 84 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
4544a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
46453imp 1249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) → ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
4746com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹))) → ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
4847a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 = 0 ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹))) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
4948ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 = 0 → (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
50 fvres 6117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → ((𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))‘𝐼) = (𝑃𝐼))
5150adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹))) → ((𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))‘𝐼) = (𝑃𝐼))
5251adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → ((𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))‘𝐼) = (𝑃𝐼))
5352eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → (𝑃𝐼) = ((𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))‘𝐼))
54 fvres 6117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐽 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → ((𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))‘𝐽) = (𝑃𝐽))
5554ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → ((𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))‘𝐽) = (𝑃𝐽))
5655eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → (𝑃𝐽) = ((𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))‘𝐽))
5753, 56eqeq12d 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) ↔ ((𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))‘𝐼) = ((𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))‘𝐽)))
58 fssres 5983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (1..^(#‘𝐹)) ⊆ (0...(#‘𝐹))) → (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))):(1..^(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
5924, 58mpan2 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))):(1..^(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
60 df-f1 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))):(1..^(#‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ↔ ((𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))):(1..^(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))))
6160biimpri 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))):(1..^(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) → (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))):(1..^(#‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺))
6259, 61sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) → (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))):(1..^(#‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺))
63623adant3 1074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))):(1..^(#‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺))
64 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → (𝐽 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹))))
6564ancomd 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (1..^(#‘𝐹))))
66 f1veqaeq 6418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))):(1..^(#‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → (((𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))‘𝐼) = ((𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))‘𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
6763, 65, 66syl2an2r 872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → (((𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))‘𝐼) = ((𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))‘𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
6857, 67sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝐽 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
6968ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹))) ∧ (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
7069necon3d 2803 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹))) ∧ (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)) → (𝐼𝐽 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
7170ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹))) → ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) → (𝐼𝐽 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
7271com23 84 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹))) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
7372ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
7412adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 = (#‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹))) → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
7574, 14sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (#‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → (((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹))) ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹))))))
76 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐽 = (#‘𝐹) → (𝑃𝐽) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
7776eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐽 = (#‘𝐹) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) ↔ (𝑃𝐼) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
7877ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (#‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) ↔ (𝑃𝐼) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
7930adantrl 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (#‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → (Fun 𝑃𝐼 ∈ dom 𝑃))
80 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (#‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))
8179, 80, 33sylc 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (#‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → (𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹))))
82 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃𝐼) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → ((𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹))) ↔ (𝑃‘(#‘𝐹)) ∈ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))))
8381, 82syl5ibcom 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (#‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (𝑃‘(#‘𝐹)) ∈ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))))
8478, 83sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (#‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) → (𝑃‘(#‘𝐹)) ∈ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))))
85 nnel 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (¬ (𝑃‘(#‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹))) ↔ (𝑃‘(#‘𝐹)) ∈ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹))))
8684, 85syl6ibr 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (#‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → ((𝑃𝐼) = (𝑃𝐽) → ¬ (𝑃‘(#‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))))
8786necon2ad 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (#‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → ((𝑃‘(#‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
8887adantld 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (#‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → (((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹))) ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) ∉ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
8975, 88sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝐽 = (#‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))) → (((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅ → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
9089ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → ((𝐽 = (#‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅ → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
9190com23 84 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐽 = (#‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
9291a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐽 = (#‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
93923imp 1249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) → ((𝐽 = (#‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
9493com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 = (#‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹))) → ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
9594a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 = (#‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹))) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
9695ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 = (#‘𝐹) → (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
9749, 73, 963jaoi 1383 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 = 0 ∨ 𝐽 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∨ 𝐽 = (#‘𝐹)) → (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
988, 97syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (0...(#‘𝐹)) → (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → (𝐼𝐽 → ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
99983imp21 1269 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽) → ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
10099com12 32 . . . . . . 7 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) → ((𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
1011003exp 1256 . . . . . 6 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
1025, 7, 1013syl 18 . . . . 5 (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))))
1031023imp 1249 . . . 4 ((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) → ((𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
1044, 103syl6bi 242 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → ((𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))))
1053, 104mpcom 37 . 2 (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → ((𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽)))
106105imp 444 1 ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 𝐽 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 𝐼𝐽)) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∉ wnel 2781  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038   ↾ cres 5040   “ cima 5041  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  1Walksc1wlks 40796  TrailSctrls 40899  PathScpths 40919 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-1wlks 40800  df-trls 40901  df-pths 40923 This theorem is referenced by:  pthdadjvtx  40936  upgr4cycl4dv4e  41352
 Copyright terms: Public domain W3C validator