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Theorem efgsres 15325
Description: An initial segment of an extension sequence is an extension sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
efgval2.m  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
efgval2.t  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
efgred.d  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
efgred.s  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
efgsres  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F  |`  (
0..^ N ) )  e.  dom  S )
Distinct variable groups:    y, z    t, n, v, w, y, z, m, x    m, M    x, n, M, t, v, w    k, m, t, x, T    k, n, v, w, y, z, W, m, t, x    .~ , m, t, x, y, z    m, I, n, t, v, w, x, y, z    D, m, t
Allowed substitution hints:    D( x, y, z, w, v, k, n)    .~ ( w, v, k, n)    S( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    T( y,
z, w, v, n)    F( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    I( k)    M( y, z, k)    N( x, y, z, w, v, t, k, m, n)

Proof of Theorem efgsres
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . . 9  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
2 efgval.r . . . . . . . . 9  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
3 efgval2.m . . . . . . . . 9  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
4 efgval2.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
5 efgred.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
6 efgred.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 15317 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S  <->  ( F  e.  (Word  W  \  { (/)
} )  /\  ( F `  0 )  e.  D  /\  A. i  e.  ( 1..^ ( # `  F ) ) ( F `  i )  e.  ran  ( T `
 ( F `  ( i  -  1 ) ) ) ) )
87simp1bi 972 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S  ->  F  e.  (Word  W  \  { (/) } ) )
98adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  F  e.  (Word  W  \  { (/) } ) )
109eldifad 3292 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  F  e. Word  W )
11 1nn0 10193 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
12 nn0uz 10476 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1311, 12eleqtri 2476 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
14 fzss1 11047 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... ( # `  F
) )  C_  (
0 ... ( # `  F
) ) )
1513, 14ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( 1 ... ( # `  F
) )  C_  (
0 ... ( # `  F
) )
16 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  N  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )
1715, 16sseldi 3306 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) )
18 swrd0val 11723 . . . . 5  |-  ( ( F  e. Word  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( F  |`  ( 0..^ N ) ) )
1910, 17, 18syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( F  |`  ( 0..^ N ) ) )
20 swrdcl 11721 . . . . 5  |-  ( F  e. Word  W  ->  ( F substr  <. 0 ,  N >. )  e. Word  W )
2110, 20syl 16 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F substr  <. 0 ,  N >. )  e. Word  W
)
2219, 21eqeltrrd 2479 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F  |`  (
0..^ N ) )  e. Word  W )
23 swrd0len 11724 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. Word  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( # `  ( F substr  <. 0 ,  N >. ) )  =  N )
2410, 17, 23syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( # `  ( F substr  <. 0 ,  N >. ) )  =  N )
25 elfznn 11036 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  ->  N  e.  NN )
2625adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  N  e.  NN )
2724, 26eqeltrd 2478 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( # `  ( F substr  <. 0 ,  N >. ) )  e.  NN )
28 wrdfin 11689 . . . . . 6  |-  ( ( F substr  <. 0 ,  N >. )  e. Word  W  -> 
( F substr  <. 0 ,  N >. )  e.  Fin )
29 hashnncl 11600 . . . . . 6  |-  ( ( F substr  <. 0 ,  N >. )  e.  Fin  ->  ( ( # `  ( F substr  <. 0 ,  N >. ) )  e.  NN  <->  ( F substr  <. 0 ,  N >. )  =/=  (/) ) )
3021, 28, 293syl 19 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( ( # `  ( F substr  <. 0 ,  N >. ) )  e.  NN  <->  ( F substr  <. 0 ,  N >. )  =/=  (/) ) )
3127, 30mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F substr  <. 0 ,  N >. )  =/=  (/) )
3219, 31eqnetrrd 2587 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F  |`  (
0..^ N ) )  =/=  (/) )
33 eldifsn 3887 . . 3  |-  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) )  e.  (Word  W  \  { (/)
} )  <->  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) )  e. Word  W  /\  ( F  |`  (
0..^ N ) )  =/=  (/) ) )
3422, 32, 33sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F  |`  (
0..^ N ) )  e.  (Word  W  \  { (/) } ) )
35 lbfzo0 11125 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0..^ N )  <->  N  e.  NN )
3626, 35sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
0  e.  ( 0..^ N ) )
37 fvres 5704 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  0
)  =  ( F `
 0 ) )
3836, 37syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 0 )  =  ( F `  0
) )
397simp2bi 973 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S  -> 
( F `  0
)  e.  D )
4039adantr 452 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F `  0
)  e.  D )
4138, 40eqeltrd 2478 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 0 )  e.  D )
42 elfzuz3 11012 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  ->  ( # `
 F )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
4342adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( # `  F )  e.  ( ZZ>= `  N
) )
44 fzoss2 11118 . . . . . 6  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  ( 1..^ N ) 
C_  ( 1..^ (
# `  F )
) )
4543, 44syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( 1..^ N ) 
C_  ( 1..^ (
# `  F )
) )
467simp3bi 974 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S  ->  A. i  e.  (
1..^ ( # `  F
) ) ( F `
 i )  e. 
ran  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) ) )
4746adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  A. i  e.  (
1..^ ( # `  F
) ) ( F `
 i )  e. 
ran  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) ) )
48 ssralv 3367 . . . . 5  |-  ( ( 1..^ N )  C_  ( 1..^ ( # `  F
) )  ->  ( A. i  e.  (
1..^ ( # `  F
) ) ( F `
 i )  e. 
ran  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) )  ->  A. i  e.  ( 1..^ N ) ( F `  i
)  e.  ran  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) ) ) )
4945, 47, 48sylc 58 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  A. i  e.  (
1..^ N ) ( F `  i )  e.  ran  ( T `
 ( F `  ( i  -  1 ) ) ) )
50 fzoss1 11117 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1..^ N )  C_  (
0..^ N ) )
5113, 50ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 1..^ N )  C_  (
0..^ N )
5251sseli 3304 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  i  e.  ( 0..^ N ) )
53 fvres 5704 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  i
)  =  ( F `
 i ) )
5452, 53syl 16 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  i
)  =  ( F `
 i ) )
55 elfzoel2 11094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  N  e.  ZZ )
56 peano2zm 10276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
58 uzid 10456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
5955, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
6055zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  N  e.  CC )
61 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
62 npcan 9270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
6360, 61, 62sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
6463fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( ZZ>= `  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  N ) )
6559, 64eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  1 )  +  1 ) ) )
66 peano2uzr 10488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1
) ) )
6757, 65, 66syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
68 fzoss2 11118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) )  ->  ( 0..^ ( N  -  1 ) )  C_  (
0..^ N ) )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( 0..^ ( N  -  1 ) )  C_  (
0..^ N ) )
70 elfzoelz 11095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  i  e.  ZZ )
71 elfzom1b 11146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( i  e.  ( 1..^ N )  <->  ( i  -  1 )  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) ) )
7270, 55, 71syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( i  e.  ( 1..^ N )  <-> 
( i  -  1 )  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) ) )
7372ibi 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( i  -  1 )  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )
7469, 73sseldd 3309 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( i  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
75 fvres 5704 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  -  1 )  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  (
i  -  1 ) )  =  ( F `
 ( i  - 
1 ) ) )
7674, 75syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  (
i  -  1 ) )  =  ( F `
 ( i  - 
1 ) ) )
7776fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( T `  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 ( i  - 
1 ) ) )  =  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) ) )
7877rneqd 5056 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ran  ( T `
 ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  ( i  -  1 ) ) )  =  ran  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) ) )
7954, 78eleq12d 2472 . . . . 5  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( (
( F  |`  (
0..^ N ) ) `
 i )  e. 
ran  ( T `  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 ( i  - 
1 ) ) )  <-> 
( F `  i
)  e.  ran  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) ) ) )
8079ralbiia 2698 . . . 4  |-  ( A. i  e.  ( 1..^ N ) ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  i )  e.  ran  ( T `  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  ( i  -  1 ) ) )  <->  A. i  e.  ( 1..^ N ) ( F `  i
)  e.  ran  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) ) )
8149, 80sylibr 204 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  A. i  e.  (
1..^ N ) ( ( F  |`  (
0..^ N ) ) `
 i )  e. 
ran  ( T `  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 ( i  - 
1 ) ) ) )
8219fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( # `  ( F substr  <. 0 ,  N >. ) )  =  ( # `  ( F  |`  (
0..^ N ) ) ) )
8382, 24eqtr3d 2438 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( # `  ( F  |`  ( 0..^ N ) ) )  =  N )
8483oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( 1..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ N ) ) ) )  =  ( 1..^ N ) )
8584raleqdv 2870 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( A. i  e.  ( 1..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ N ) ) ) ) ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  i )  e.  ran  ( T `  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  ( i  -  1 ) ) )  <->  A. i  e.  ( 1..^ N ) ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 i )  e. 
ran  ( T `  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 ( i  - 
1 ) ) ) ) )
8681, 85mpbird 224 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  A. i  e.  (
1..^ ( # `  ( F  |`  ( 0..^ N ) ) ) ) ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 i )  e. 
ran  ( T `  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 ( i  - 
1 ) ) ) )
871, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 15317 . 2  |-  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) )  e. 
dom  S  <->  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) )  e.  (Word  W  \  { (/) } )  /\  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
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8834, 41, 86, 87syl3anbrc 1138 1  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F  |`  (
0..^ N ) )  e.  dom  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   {crab 2670    \ cdif 3277    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   <.cop 3777   <.cotp 3778   U_ciun 4053    e. cmpt 4226    _I cid 4453    X. cxp 4835   dom cdm 4837   ran crn 4838    |` cres 4839   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   1oc1o 6676   2oc2o 6677   Fincfn 7068   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    - cmin 9247   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999  ..^cfzo 11090   #chash 11573  Word cword 11672   substr csubstr 11675   splice csplice 11676   <"cs2 11760   ~FG cefg 15293
This theorem is referenced by:  efgredlemd  15331  efgredlem  15334
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-hash 11574  df-word 11678  df-substr 11681
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