MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzoel2 Structured version   Unicode version

Theorem elfzoel2 11787
Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzoel2  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  C  e.  ZZ )

Proof of Theorem elfzoel2
StepHypRef Expression
1 ne0i 3786 . . 3  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  ( B..^ C )  =/=  (/) )
2 fzof 11785 . . . . . 6  |- ..^ : ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ
32fdmi 5729 . . . . 5  |-  dom ..^  =  ( ZZ  X.  ZZ )
43ndmov 6436 . . . 4  |-  ( -.  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B..^ C
)  =  (/) )
54necon1ai 2693 . . 3  |-  ( ( B..^ C )  =/=  (/)  ->  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ ) )
61, 5syl 16 . 2  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ ) )
76simprd 463 1  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  C  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1762    =/= wne 2657   (/)c0 3780   ~Pcpw 4005    X. cxp 4992  (class class class)co 6277   ZZcz 10855  ..^cfzo 11783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-neg 9799  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-fzo 11784
This theorem is referenced by:  elfzoelz  11788  elfzo2  11791  elfzole1  11795  elfzolt2  11796  elfzolt3  11797  elfzolt2b  11798  elfzolt3b  11799  fzonel  11800  elfzouz2  11801  fzonnsub  11809  fzoss1  11811  fzospliti  11816  fzodisj  11818  fzoaddel  11832  fzosubel  11834  fzoend  11862  ssfzo12  11864  fzofzp1  11868  fzonfzoufzol  11872  elfznelfzob  11875  peano2fzor  11876  fzostep1  11881  cshwidxm1  12729  fzomaxdiflem  13126  fzo0dvdseq  13889  fzocongeq  13890  efgsp1  16546  efgsres  16547  fzssfzo  28118  signsvfn  28167  elfzop1le2  31012  iblspltprt  31248  stoweidlem3  31260  fourierdlem12  31376  fourierdlem20  31384  fourierdlem25  31389  fourierdlem50  31414  fourierdlem64  31428  fourierdlem79  31443  fzoopth  31766
  Copyright terms: Public domain W3C validator