MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzoel2 Structured version   Unicode version

Theorem elfzoel2 11856
Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzoel2  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  C  e.  ZZ )

Proof of Theorem elfzoel2
StepHypRef Expression
1 ne0i 3743 . . 3  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  ( B..^ C )  =/=  (/) )
2 fzof 11854 . . . . . 6  |- ..^ : ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ
32fdmi 5718 . . . . 5  |-  dom ..^  =  ( ZZ  X.  ZZ )
43ndmov 6439 . . . 4  |-  ( -.  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B..^ C
)  =  (/) )
54necon1ai 2634 . . 3  |-  ( ( B..^ C )  =/=  (/)  ->  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ ) )
61, 5syl 17 . 2  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ ) )
76simprd 461 1  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  C  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1842    =/= wne 2598   (/)c0 3737   ~Pcpw 3954    X. cxp 4820  (class class class)co 6277   ZZcz 10904  ..^cfzo 11852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-neg 9843  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853
This theorem is referenced by:  elfzoelz  11857  elfzo2  11860  elfzole1  11865  elfzolt2  11866  elfzolt3  11867  elfzolt2b  11868  elfzolt3b  11869  fzonel  11870  elfzouz2  11871  fzonnsub  11880  fzoss1  11882  fzospliti  11887  fzodisj  11889  fzoaddel  11903  fzo0addelr  11905  elfzoext  11907  elincfzoext  11908  fzosubel  11909  fzoend  11938  ssfzo12  11940  fzofzp1  11944  fzonfzoufzol  11948  elfznelfzob  11951  peano2fzor  11952  fzostep1  11957  cshwidxm1  12831  fzomaxdiflem  13322  fzo0dvdseq  14246  fzocongeq  14247  efgsp1  17077  efgsres  17078  fzssfzo  28982  signsvfn  29031  elfzop1le2  36830  dvnmul  37089  iblspltprt  37121  stoweidlem3  37134  fourierdlem12  37250  fourierdlem50  37288  fourierdlem64  37302  fourierdlem79  37317  iccpartiltu  37670  iccpartgt  37675  bgoldbtbndlem2  37835  fzoopth  37952
  Copyright terms: Public domain W3C validator