MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzoel2 Structured version   Unicode version

Theorem elfzoel2 11551
Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzoel2  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  C  e.  ZZ )

Proof of Theorem elfzoel2
StepHypRef Expression
1 ne0i 3642 . . 3  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  ( B..^ C )  =/=  (/) )
2 fzof 11549 . . . . . 6  |- ..^ : ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ
32fdmi 5563 . . . . 5  |-  dom ..^  =  ( ZZ  X.  ZZ )
43ndmov 6246 . . . 4  |-  ( -.  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B..^ C
)  =  (/) )
54necon1ai 2652 . . 3  |-  ( ( B..^ C )  =/=  (/)  ->  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ ) )
61, 5syl 16 . 2  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ ) )
76simprd 463 1  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  C  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756    =/= wne 2605   (/)c0 3636   ~Pcpw 3859    X. cxp 4837  (class class class)co 6090   ZZcz 10645  ..^cfzo 11547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-fv 5425  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-neg 9597  df-z 10646  df-uz 10861  df-fz 11437  df-fzo 11548
This theorem is referenced by:  elfzoelz  11552  elfzo2  11555  elfzole1  11559  elfzolt2  11560  elfzolt3  11561  elfzolt2b  11562  elfzolt3b  11563  fzonel  11564  elfzouz2  11565  fzonnsub  11573  fzoss1  11575  fzospliti  11580  fzodisj  11582  fzoaddel  11596  fzosubel  11598  fzoend  11617  ssfzo12  11619  fzofzp1  11623  fzonfzoufzol  11627  elfznelfzob  11630  peano2fzor  11631  fzostep1  11634  cshwidxm1  12442  fzomaxdiflem  12829  fzo0dvdseq  13585  fzocongeq  13586  efgsp1  16233  efgsres  16234  fzssfzo  26933  signsvfn  26982  stoweidlem3  29796  fzoopth  30211
  Copyright terms: Public domain W3C validator