Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftlem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmliftlem13 30532
 Description: Lemma for cvmlift 30535. The initial value of 𝐾 is 𝑃 because 𝑄(1) is a subset of 𝐾 which takes value 𝑃 at 0. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
cvmliftlem.b 𝐵 = 𝐶
cvmliftlem.x 𝑋 = 𝐽
cvmliftlem.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmliftlem.e (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t (𝜑𝑇:(1...𝑁)⟶ 𝑗𝐽 ({𝑗} × (𝑆𝑗)))
cvmliftlem.a (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)))
cvmliftlem.l 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem.q 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
cvmliftlem.k 𝐾 = 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑘)
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem13 (𝜑 → (𝐾‘0) = 𝑃)
Distinct variable groups:   𝑣,𝑏,𝑧,𝐵   𝑗,𝑏,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑥,𝐹,𝑣,𝑧   𝑧,𝐿   𝑃,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐶,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑧   𝜑,𝑗,𝑠,𝑥,𝑧   𝑁,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑆,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑗,𝑋   𝐺,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑇,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐽,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑄,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑏)   𝐵(𝑥,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠)   𝐶(𝑥,𝑚)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝑄(𝑗,𝑠)   𝑆(𝑚)   𝐽(𝑚)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝐿(𝑥,𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑗,𝑠)   𝑋(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cvmliftlem13
StepHypRef Expression
1 cvmliftlem.1 . . . . . . 7 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
2 cvmliftlem.b . . . . . . 7 𝐵 = 𝐶
3 cvmliftlem.x . . . . . . 7 𝑋 = 𝐽
4 cvmliftlem.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
5 cvmliftlem.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
6 cvmliftlem.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃𝐵)
7 cvmliftlem.e . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
8 cvmliftlem.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
9 cvmliftlem.t . . . . . . 7 (𝜑𝑇:(1...𝑁)⟶ 𝑗𝐽 ({𝑗} × (𝑆𝑗)))
10 cvmliftlem.a . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)))
11 cvmliftlem.l . . . . . . 7 𝐿 = (topGen‘ran (,))
12 cvmliftlem.q . . . . . . 7 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
13 cvmliftlem.k . . . . . . 7 𝐾 = 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑘)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13cvmliftlem11 30531 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝐾) = 𝐺))
1514simpld 474 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (II Cn 𝐶))
16 iiuni 22492 . . . . . 6 (0[,]1) = II
1716, 2cnf 20860 . . . . 5 (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) → 𝐾:(0[,]1)⟶𝐵)
1815, 17syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾:(0[,]1)⟶𝐵)
19 ffun 5961 . . . 4 (𝐾:(0[,]1)⟶𝐵 → Fun 𝐾)
2018, 19syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐾)
21 nnuz 11599 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
228, 21syl6eleq 2698 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
23 eluzfz1 12219 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
2422, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ (1...𝑁))
25 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (𝑄𝑘) = (𝑄‘1))
2625ssiun2s 4500 . . . . 5 (1 ∈ (1...𝑁) → (𝑄‘1) ⊆ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑘))
2724, 26syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘1) ⊆ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑘))
2827, 13syl6sseqr 3615 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘1) ⊆ 𝐾)
29 0xr 9965 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
3029a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
318nnrecred 10943 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
3231rexrd 9968 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ*)
33 1red 9934 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
34 0le1 10430 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
3534a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 1)
368nnred 10912 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
378nngt0d 10941 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝑁)
38 divge0 10771 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ (1 / 𝑁))
3933, 35, 36, 37, 38syl22anc 1319 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝑁))
40 lbicc2 12159 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 𝑁)) → 0 ∈ (0[,](1 / 𝑁)))
4130, 32, 39, 40syl3anc 1318 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ (0[,](1 / 𝑁)))
42 1m1e0 10966 . . . . . . . 8 (1 − 1) = 0
4342oveq1i 6559 . . . . . . 7 ((1 − 1) / 𝑁) = (0 / 𝑁)
448nncnd 10913 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
458nnne0d 10942 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ≠ 0)
4644, 45div0d 10679 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 / 𝑁) = 0)
4743, 46syl5eq 2656 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − 1) / 𝑁) = 0)
4847oveq1d 6564 . . . . 5 (𝜑 → (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)) = (0[,](1 / 𝑁)))
4941, 48eleqtrrd 2691 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))
50 eqid 2610 . . . . . . . 8 (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)) = (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))
51 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ (1...𝑁))
521, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 50cvmliftlem7 30527 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝐹 “ {(𝐺‘((1 − 1) / 𝑁))}))
531, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 50, 51, 52cvmliftlem6 30526 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘1):(((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟶𝐵 ∧ (𝐹 ∘ (𝑄‘1)) = (𝐺 ↾ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))))
5424, 53mpdan 699 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑄‘1):(((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟶𝐵 ∧ (𝐹 ∘ (𝑄‘1)) = (𝐺 ↾ (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))))
5554simpld 474 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄‘1):(((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟶𝐵)
56 fdm 5964 . . . . 5 ((𝑄‘1):(((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟶𝐵 → dom (𝑄‘1) = (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))
5755, 56syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑄‘1) = (((1 − 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))
5849, 57eleqtrrd 2691 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ dom (𝑄‘1))
59 funssfv 6119 . . 3 ((Fun 𝐾 ∧ (𝑄‘1) ⊆ 𝐾 ∧ 0 ∈ dom (𝑄‘1)) → (𝐾‘0) = ((𝑄‘1)‘0))
6020, 28, 58, 59syl3anc 1318 . 2 (𝜑 → (𝐾‘0) = ((𝑄‘1)‘0))
611, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cvmliftlem9 30529 . . . 4 ((𝜑 ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘1)‘((1 − 1) / 𝑁)) = ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)))
6224, 61mpdan 699 . . 3 (𝜑 → ((𝑄‘1)‘((1 − 1) / 𝑁)) = ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)))
6347fveq2d 6107 . . 3 (𝜑 → ((𝑄‘1)‘((1 − 1) / 𝑁)) = ((𝑄‘1)‘0))
6442fveq2i 6106 . . . . . 6 (𝑄‘(1 − 1)) = (𝑄‘0)
651, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cvmliftlem4 30524 . . . . . 6 (𝑄‘0) = {⟨0, 𝑃⟩}
6664, 65eqtri 2632 . . . . 5 (𝑄‘(1 − 1)) = {⟨0, 𝑃⟩}
6766a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(1 − 1)) = {⟨0, 𝑃⟩})
6867, 47fveq12d 6109 . . 3 (𝜑 → ((𝑄‘(1 − 1))‘((1 − 1) / 𝑁)) = ({⟨0, 𝑃⟩}‘0))
6962, 63, 683eqtr3d 2652 . 2 (𝜑 → ((𝑄‘1)‘0) = ({⟨0, 𝑃⟩}‘0))
70 0nn0 11184 . . 3 0 ∈ ℕ0
71 fvsng 6352 . . 3 ((0 ∈ ℕ0𝑃𝐵) → ({⟨0, 𝑃⟩}‘0) = 𝑃)
7270, 6, 71sylancr 694 . 2 (𝜑 → ({⟨0, 𝑃⟩}‘0) = 𝑃)
7360, 69, 723eqtrd 2648 1 (𝜑 → (𝐾‘0) = 𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  ⟨cop 4131  ∪ cuni 4372  ∪ ciun 4455   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   I cid 4948   × cxp 5036  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039   ↾ cres 5040   “ cima 5041   ∘ ccom 5042  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  ℩crio 6510  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  1st c1st 7057  2nd c2nd 7058  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤ≥cuz 11563  (,)cioo 12046  [,]cicc 12049  ...cfz 12197  seqcseq 12663   ↾t crest 15904  topGenctg 15921   Cn ccn 20838  Homeochmeo 21366  IIcii 22486   CovMap ccvm 30491 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-icc 12053  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cld 20633  df-cn 20841  df-hmeo 21368  df-ii 22488  df-cvm 30492 This theorem is referenced by:  cvmliftlem14  30533
 Copyright terms: Public domain W3C validator