MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nngt0d Structured version   Unicode version

Theorem nngt0d 10365
Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nngt0d  |-  ( ph  ->  0  <  A )

Proof of Theorem nngt0d
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nngt0 10351 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  0  <  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   class class class wbr 4292   0cc0 9282    < clt 9418   NNcn 10322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323
This theorem is referenced by:  expmulnbnd  11996  faclbnd5  12074  facubnd  12076  harmonic  13321  efcllem  13363  ege2le3  13375  eftlub  13393  eflegeo  13405  eirrlem  13486  bitsfzo  13631  sqgcd  13742  prmind2  13774  nprm  13777  isprm5  13798  divdenle  13827  qnumgt0  13828  hashdvds  13850  odzdvds  13867  pythagtriplem11  13892  pythagtriplem13  13894  pythagtriplem19  13900  pcadd  13951  pcfaclem  13960  qexpz  13963  pockthlem  13966  pockthg  13967  prmreclem1  13977  prmreclem5  13981  4sqlem12  14017  4sqlem14  14019  4sqlem16  14021  vdwlem3  14044  vdwlem9  14050  psgnunilem3  16002  pgpfaclem2  16583  lebnumii  20538  dyadf  21071  dyadovol  21073  dyaddisjlem  21075  dyadmaxlem  21077  opnmbllem  21081  mbfi1fseqlem1  21193  mbfi1fseqlem4  21196  mbfi1fseqlem5  21197  mbfi1fseqlem6  21198  itg2gt0  21238  itg2cnlem2  21240  dgrcolem2  21741  leibpi  22337  log2tlbnd  22340  birthdaylem3  22347  amgm  22384  emcllem2  22390  harmonicbnd4  22404  basellem1  22418  basellem4  22421  basellem6  22423  dvdsflf1o  22527  fsumfldivdiaglem  22529  fsumvma2  22553  chpchtsum  22558  perfectlem2  22569  bposlem1  22623  bposlem2  22624  bposlem6  22628  lgsqrlem4  22683  lgseisenlem1  22688  lgsquadlem1  22693  lgsquadlem2  22694  2sqlem8  22711  chebbnd1lem3  22720  rplogsumlem1  22733  rplogsumlem2  22734  rpvmasumlem  22736  dchrisumlema  22737  dchrisumlem1  22738  dchrisumlem3  22740  dchrisum0flblem2  22758  dchrisum0re  22762  logdivbnd  22805  pntpbnd1a  22834  pntpbnd1  22835  ostth2lem2  22883  ostth2lem3  22884  minvecolem4  24281  eulerpartlemgc  26745  lgamgulmlem1  27015  subfaclim  27076  cvmliftlem2  27175  cvmliftlem6  27179  cvmliftlem7  27180  cvmliftlem8  27181  cvmliftlem9  27182  cvmliftlem10  27183  cvmliftlem13  27185  opnmbllem0  28427  mblfinlem2  28429  irrapxlem4  29166  irrapxlem5  29167  pellexlem2  29171  pellexlem6  29175  rmxypos  29290  jm2.17b  29304  jm2.17c  29305  jm2.27a  29354  jm2.27c  29356  jm3.1lem1  29366  jm3.1lem2  29367  jm3.1lem3  29368  stoweidlem1  29796  stoweidlem11  29806  stoweidlem26  29821  stoweidlem38  29833  stoweidlem42  29837  stoweidlem44  29839  stoweidlem51  29846  stoweidlem59  29854  stirlinglem3  29871  stirlinglem15  29883  numclwwlkovf2ex  30679  ztprmneprm  30739
  Copyright terms: Public domain W3C validator