Theorem nngt0d 9999

Description: A natural number is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	|- ( ph -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nngt0 9985	. 2 |- ( A e. NN -> 0 < A )
3	1, 2	syl 16	1 |- ( ph -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1721   class class class wbr 4172   0cc0 8946   < clt 9076   NNcn 9956

This theorem is referenced by:  expmulnbnd  11466  faclbnd5  11544  facubnd  11546  harmonic  12593  efcllem  12635  ege2le3  12647  eftlub  12665  eflegeo  12677  eirrlem  12758  bitsfzo  12902  sqgcd  13013  prmind2  13045  nprm  13048  isprm5  13067  divdenle  13096  qnumgt0  13097  hashdvds  13119  odzdvds  13136  pythagtriplem11  13154  pythagtriplem13  13156  pythagtriplem19  13162  pcadd  13213  pcfaclem  13222  qexpz  13225  pockthlem  13228  pockthg  13229  prmreclem1  13239  prmreclem5  13243  4sqlem12  13279  4sqlem14  13281  4sqlem16  13283  vdwlem3  13306  vdwlem9  13312  pgpfaclem2  15595  lebnumii  18944  dyadf  19436  dyadovol  19438  dyaddisjlem  19440  dyadmaxlem  19442  opnmbllem  19446  mbfi1fseqlem1  19560  mbfi1fseqlem4  19563  mbfi1fseqlem5  19564  mbfi1fseqlem6  19565  itg2gt0  19605  itg2cnlem2  19607  dgrcolem2  20145  leibpi  20735  log2tlbnd  20738  birthdaylem3  20745  amgm  20782  emcllem2  20788  harmonicbnd4  20802  basellem1  20816  basellem4  20819  basellem6  20821  dvdsflf1o  20925  fsumfldivdiaglem  20927  fsumvma2  20951  chpchtsum  20956  perfectlem2  20967  bposlem1  21021  bposlem2  21022  bposlem6  21026  lgsqrlem4  21081  lgseisenlem1  21086  lgsquadlem1  21091  lgsquadlem2  21092  2sqlem8  21109  chebbnd1lem3  21118  rplogsumlem1  21131  rplogsumlem2  21132  rpvmasumlem  21134  dchrisumlema  21135  dchrisumlem1  21136  dchrisumlem3  21138  dchrisum0flblem2  21156  dchrisum0re  21160  logdivbnd  21203  pntpbnd1a  21232  pntpbnd1  21233  ostth2lem2  21281  ostth2lem3  21282  minvecolem4  22335  lgamgulmlem1  24766  subfaclim  24827  cvmliftlem2  24926  cvmliftlem6  24930  cvmliftlem7  24931  cvmliftlem8  24932  cvmliftlem9  24933  cvmliftlem10  24934  cvmliftlem13  24936  mblfinlem  26143  irrapxlem4  26778  irrapxlem5  26779  pellexlem2  26783  pellexlem6  26787  rmxypos  26902  jm2.17b  26916  jm2.17c  26917  jm2.27a  26966  jm2.27c  26968  jm3.1lem1  26978  jm3.1lem2  26979  jm3.1lem3  26980  psgnunilem3  27287  stoweidlem1  27617  stoweidlem11  27627  stoweidlem26  27642  stoweidlem38  27654  stoweidlem42  27658  stoweidlem44  27660  stoweidlem51  27667  stoweidlem59  27675  stirlinglem3  27692  stirlinglem15  27704

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957