MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nngt0d Structured version   Unicode version

Theorem nngt0d 10579
Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nngt0d  |-  ( ph  ->  0  <  A )

Proof of Theorem nngt0d
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nngt0 10565 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  0  <  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   0cc0 9492    < clt 9628   NNcn 10536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537
This theorem is referenced by:  expmulnbnd  12266  faclbnd5  12344  facubnd  12346  harmonic  13633  efcllem  13675  ege2le3  13687  eftlub  13705  eflegeo  13717  eirrlem  13798  bitsfzo  13944  sqgcd  14055  prmind2  14087  nprm  14090  isprm5  14112  divdenle  14141  qnumgt0  14142  hashdvds  14164  odzdvds  14181  pythagtriplem11  14208  pythagtriplem13  14210  pythagtriplem19  14216  pcadd  14267  pcfaclem  14276  qexpz  14279  pockthlem  14282  pockthg  14283  prmreclem1  14293  prmreclem5  14297  4sqlem12  14333  4sqlem14  14335  4sqlem16  14337  vdwlem3  14360  vdwlem9  14366  psgnunilem3  16327  pgpfaclem2  16935  fvmptnn04ifd  19149  lebnumii  21229  dyadf  21763  dyadovol  21765  dyaddisjlem  21767  dyadmaxlem  21769  opnmbllem  21773  mbfi1fseqlem1  21885  mbfi1fseqlem4  21888  mbfi1fseqlem5  21889  mbfi1fseqlem6  21890  itg2gt0  21930  itg2cnlem2  21932  dgrcolem2  22433  leibpi  23029  log2tlbnd  23032  birthdaylem3  23039  amgm  23076  emcllem2  23082  harmonicbnd4  23096  basellem1  23110  basellem4  23113  basellem6  23115  dvdsflf1o  23219  fsumfldivdiaglem  23221  fsumvma2  23245  chpchtsum  23250  perfectlem2  23261  bposlem1  23315  bposlem2  23316  bposlem6  23320  lgsqrlem4  23375  lgseisenlem1  23380  lgsquadlem1  23385  lgsquadlem2  23386  2sqlem8  23403  chebbnd1lem3  23412  rplogsumlem1  23425  rplogsumlem2  23426  rpvmasumlem  23428  dchrisumlema  23429  dchrisumlem1  23430  dchrisumlem3  23432  dchrisum0flblem2  23450  dchrisum0re  23454  logdivbnd  23497  pntpbnd1a  23526  pntpbnd1  23527  ostth2lem2  23575  ostth2lem3  23576  numclwwlkovf2ex  24791  minvecolem4  25500  eulerpartlemgc  27969  lgamgulmlem1  28239  subfaclim  28300  cvmliftlem2  28399  cvmliftlem6  28403  cvmliftlem7  28404  cvmliftlem8  28405  cvmliftlem9  28406  cvmliftlem10  28407  cvmliftlem13  28409  opnmbllem0  29655  mblfinlem2  29657  irrapxlem4  30393  irrapxlem5  30394  pellexlem2  30398  pellexlem6  30402  rmxypos  30517  jm2.17b  30531  jm2.17c  30532  jm2.27a  30579  jm2.27c  30581  jm3.1lem1  30591  jm3.1lem2  30592  jm3.1lem3  30593  hashnzfz2  30854  sumnnodd  31200  stoweidlem1  31329  stoweidlem11  31339  stoweidlem26  31354  stoweidlem38  31366  stoweidlem42  31370  stoweidlem44  31372  stoweidlem51  31379  stoweidlem59  31387  stirlinglem3  31404  stirlinglem15  31416  dirkertrigeqlem3  31428  dirkercncflem2  31432  fourierdlem11  31446  fourierdlem14  31449  fourierdlem20  31455  fourierdlem25  31460  fourierdlem37  31472  fourierdlem41  31476  fourierdlem48  31483  fourierdlem64  31499  fourierdlem73  31508  fourierdlem79  31514  fourierdlem93  31528  ztprmneprm  32032
  Copyright terms: Public domain W3C validator