Theorem nngt0d 10496

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	|- ( ph -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nngt0 10481	. 2 |- ( A e. NN -> 0 < A )
3	1, 2	syl 16	1 |- ( ph -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1826   class class class wbr 4367   0cc0 9403   < clt 9539   NNcn 10452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453

This theorem is referenced by:  expmulnbnd  12200  faclbnd5  12278  facubnd  12280  harmonic  13672  efcllem  13815  ege2le3  13827  eftlub  13846  eflegeo  13858  eirrlem  13939  bitsfzo  14087  sqgcd  14198  prmind2  14230  nprm  14233  isprm5  14255  divdenle  14284  qnumgt0  14285  hashdvds  14307  odzdvds  14324  pythagtriplem11  14351  pythagtriplem13  14353  pythagtriplem19  14359  pcadd  14410  pcfaclem  14419  qexpz  14422  pockthlem  14425  pockthg  14426  prmreclem1  14436  prmreclem5  14440  4sqlem12  14476  4sqlem14  14478  4sqlem16  14480  vdwlem3  14503  vdwlem9  14509  psgnunilem3  16638  pgpfaclem2  17246  fvmptnn04ifd  19439  lebnumii  21551  dyadf  22085  dyadovol  22087  dyaddisjlem  22089  dyadmaxlem  22091  opnmbllem  22095  mbfi1fseqlem1  22207  mbfi1fseqlem4  22210  mbfi1fseqlem5  22211  mbfi1fseqlem6  22212  itg2gt0  22252  itg2cnlem2  22254  dgrcolem2  22756  leibpi  23389  log2tlbnd  23392  birthdaylem3  23400  amgm  23437  emcllem2  23443  harmonicbnd4  23457  basellem1  23471  basellem4  23474  basellem6  23476  dvdsflf1o  23580  fsumfldivdiaglem  23582  fsumvma2  23606  chpchtsum  23611  perfectlem2  23622  bposlem1  23676  bposlem2  23677  bposlem6  23681  lgsqrlem4  23736  lgseisenlem1  23741  lgsquadlem1  23746  lgsquadlem2  23747  2sqlem8  23764  chebbnd1lem3  23773  rplogsumlem1  23786  rplogsumlem2  23787  rpvmasumlem  23789  dchrisumlema  23790  dchrisumlem1  23791  dchrisumlem3  23793  dchrisum0flblem2  23811  dchrisum0re  23815  logdivbnd  23858  pntpbnd1a  23887  pntpbnd1  23888  ostth2lem2  23936  ostth2lem3  23937  numclwwlkovf2ex  25207  minvecolem4  25913  eulerpartlemgc  28484  lgamgulmlem1  28760  subfaclim  28821  cvmliftlem2  28920  cvmliftlem6  28924  cvmliftlem7  28925  cvmliftlem8  28926  cvmliftlem9  28927  cvmliftlem10  28928  cvmliftlem13  28930  opnmbllem0  30215  mblfinlem2  30217  irrapxlem4  30926  irrapxlem5  30927  pellexlem2  30931  pellexlem6  30935  rmxypos  31050  jm2.17b  31064  jm2.17c  31065  jm2.27a  31113  jm2.27c  31115  jm3.1lem1  31125  jm3.1lem2  31126  jm3.1lem3  31127  hashnzfz2  31394  sumnnodd  31802  stoweidlem1  31949  stoweidlem11  31959  stoweidlem26  31974  stoweidlem38  31986  stoweidlem42  31990  stoweidlem44  31992  stoweidlem51  31999  stoweidlem59  32007  stirlinglem3  32024  stirlinglem15  32036  dirkertrigeqlem3  32048  dirkercncflem2  32052  fourierdlem11  32066  fourierdlem14  32069  fourierdlem20  32075  fourierdlem25  32080  fourierdlem37  32092  fourierdlem41  32096  fourierdlem48  32103  fourierdlem64  32119  fourierdlem73  32128  fourierdlem79  32134  fourierdlem93  32148  etransclem35  32218  etransclem48  32231  proththdlem  32547  ztprmneprm  33136  expnegico01  33323  dignnld  33424  relexpxpmin  38244