MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nngt0d Structured version   Unicode version

Theorem nngt0d 10361
Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nngt0d  |-  ( ph  ->  0  <  A )

Proof of Theorem nngt0d
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nngt0 10347 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  0  <  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1761   class class class wbr 4289   0cc0 9278    < clt 9414   NNcn 10318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319
This theorem is referenced by:  expmulnbnd  11992  faclbnd5  12070  facubnd  12072  harmonic  13317  efcllem  13359  ege2le3  13371  eftlub  13389  eflegeo  13401  eirrlem  13482  bitsfzo  13627  sqgcd  13738  prmind2  13770  nprm  13773  isprm5  13794  divdenle  13823  qnumgt0  13824  hashdvds  13846  odzdvds  13863  pythagtriplem11  13888  pythagtriplem13  13890  pythagtriplem19  13896  pcadd  13947  pcfaclem  13956  qexpz  13959  pockthlem  13962  pockthg  13963  prmreclem1  13973  prmreclem5  13977  4sqlem12  14013  4sqlem14  14015  4sqlem16  14017  vdwlem3  14040  vdwlem9  14046  psgnunilem3  15995  pgpfaclem2  16573  lebnumii  20438  dyadf  20971  dyadovol  20973  dyaddisjlem  20975  dyadmaxlem  20977  opnmbllem  20981  mbfi1fseqlem1  21093  mbfi1fseqlem4  21096  mbfi1fseqlem5  21097  mbfi1fseqlem6  21098  itg2gt0  21138  itg2cnlem2  21140  dgrcolem2  21684  leibpi  22280  log2tlbnd  22283  birthdaylem3  22290  amgm  22327  emcllem2  22333  harmonicbnd4  22347  basellem1  22361  basellem4  22364  basellem6  22366  dvdsflf1o  22470  fsumfldivdiaglem  22472  fsumvma2  22496  chpchtsum  22501  perfectlem2  22512  bposlem1  22566  bposlem2  22567  bposlem6  22571  lgsqrlem4  22626  lgseisenlem1  22631  lgsquadlem1  22636  lgsquadlem2  22637  2sqlem8  22654  chebbnd1lem3  22663  rplogsumlem1  22676  rplogsumlem2  22677  rpvmasumlem  22679  dchrisumlema  22680  dchrisumlem1  22681  dchrisumlem3  22683  dchrisum0flblem2  22701  dchrisum0re  22705  logdivbnd  22748  pntpbnd1a  22777  pntpbnd1  22778  ostth2lem2  22826  ostth2lem3  22827  minvecolem4  24200  eulerpartlemgc  26659  lgamgulmlem1  26929  subfaclim  26990  cvmliftlem2  27089  cvmliftlem6  27093  cvmliftlem7  27094  cvmliftlem8  27095  cvmliftlem9  27096  cvmliftlem10  27097  cvmliftlem13  27099  opnmbllem0  28336  mblfinlem2  28338  irrapxlem4  29075  irrapxlem5  29076  pellexlem2  29080  pellexlem6  29084  rmxypos  29199  jm2.17b  29213  jm2.17c  29214  jm2.27a  29263  jm2.27c  29265  jm3.1lem1  29275  jm3.1lem2  29276  jm3.1lem3  29277  stoweidlem1  29705  stoweidlem11  29715  stoweidlem26  29730  stoweidlem38  29742  stoweidlem42  29746  stoweidlem44  29748  stoweidlem51  29755  stoweidlem59  29763  stirlinglem3  29780  stirlinglem15  29792  numclwwlkovf2ex  30588  ztprmneprm  30647
  Copyright terms: Public domain W3C validator