Theorem nngt0d 10653

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	|- ( ph -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nngt0 10638	. 2 |- ( A e. NN -> 0 < A )
3	1, 2	syl 17	1 |- ( ph -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1870   class class class wbr 4426   0cc0 9538   < clt 9674   NNcn 10609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610

This theorem is referenced by:  expmulnbnd  12401  faclbnd5  12480  facubnd  12482  harmonic  13895  efcllem  14110  ege2le3  14122  eftlub  14141  eflegeo  14153  eirrlem  14234  bitsfzo  14383  sqgcd  14497  prmind2  14606  nprm  14609  isprm5  14622  divdenle  14669  qnumgt0  14670  hashdvds  14692  odzdvds  14709  pythagtriplem11  14738  pythagtriplem13  14740  pythagtriplem19  14746  pcadd  14797  pcfaclem  14806  qexpz  14809  pockthlem  14812  pockthg  14813  prmreclem1  14823  prmreclem5  14827  4sqlem12  14863  4sqlem14OLD  14865  4sqlem16OLD  14867  4sqlem14  14871  4sqlem16  14873  vdwlem3  14896  vdwlem9  14902  psgnunilem3  17088  pgpfaclem2  17650  fvmptnn04ifd  19808  lebnumii  21890  dyadf  22426  dyadovol  22428  dyaddisjlem  22430  dyadmaxlem  22432  opnmbllem  22436  mbfi1fseqlem1  22550  mbfi1fseqlem4  22553  mbfi1fseqlem5  22554  mbfi1fseqlem6  22555  itg2gt0  22595  itg2cnlem2  22597  dgrcolem2  23096  leibpi  23733  log2tlbnd  23736  birthdaylem3  23744  amgm  23781  emcllem2  23787  harmonicbnd4  23801  lgamgulmlem1  23819  basellem1  23870  basellem4  23873  basellem6  23875  dvdsflf1o  23979  fsumfldivdiaglem  23981  fsumvma2  24005  chpchtsum  24010  perfectlem2  24021  bposlem1  24075  bposlem2  24076  bposlem6  24080  lgsqrlem4  24135  lgseisenlem1  24140  lgsquadlem1  24145  lgsquadlem2  24146  2sqlem8  24163  chebbnd1lem3  24172  rplogsumlem1  24185  rplogsumlem2  24186  rpvmasumlem  24188  dchrisumlema  24189  dchrisumlem1  24190  dchrisumlem3  24192  dchrisum0flblem2  24210  dchrisum0re  24214  logdivbnd  24257  pntpbnd1a  24286  pntpbnd1  24287  ostth2lem2  24335  ostth2lem3  24336  numclwwlkovf2ex  25659  minvecolem4  26367  eulerpartlemgc  29021  subfaclim  29699  cvmliftlem2  29797  cvmliftlem6  29801  cvmliftlem7  29802  cvmliftlem8  29803  cvmliftlem9  29804  cvmliftlem10  29805  cvmliftlem13  29807  poimirlem12  31655  poimirlem14  31657  poimirlem22  31665  opnmbllem0  31679  mblfinlem2  31681  irrapxlem4  35378  irrapxlem5  35379  pellexlem2  35383  pellexlem6  35387  rmxypos  35502  jm2.17b  35516  jm2.17c  35517  jm2.27a  35565  jm2.27c  35567  jm3.1lem1  35577  jm3.1lem2  35578  jm3.1lem3  35579  relexpxpmin  35947  hashnzfz2  36306  sumnnodd  37281  stoweidlem1  37429  stoweidlem11  37439  stoweidlem26  37454  stoweidlem38  37467  stoweidlem42  37471  stoweidlem44  37473  stoweidlem51  37480  stoweidlem59  37488  stirlinglem3  37506  stirlinglem15  37518  dirkertrigeqlem3  37530  dirkercncflem2  37534  fourierdlem11  37548  fourierdlem14  37551  fourierdlem20  37557  fourierdlem25  37562  fourierdlem37  37574  fourierdlem41  37578  fourierdlem48  37585  fourierdlem64  37601  fourierdlem73  37610  fourierdlem79  37616  fourierdlem93  37630  etransclem35  37700  etransclem48  37713  proththdlem  38302  ztprmneprm  38887  expnegico01  39074  dignnld  39174