MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nprm 15239
Description: A product of two integers greater than one is composite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
nprm ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ)

Proof of Theorem nprm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 11573 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
21adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ ℤ)
32zred 11358 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 eluz2b2 11637 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐵))
54simprbi 479 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐵)
65adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 1 < 𝐵)
7 eluzelz 11573 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
87adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐵 ∈ ℤ)
98zred 11358 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10 eluz2nn 11602 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ ℕ)
1211nngt0d 10941 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 0 < 𝐴)
13 ltmulgt11 10762 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝐵𝐴 < (𝐴 · 𝐵)))
143, 9, 12, 13syl3anc 1318 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (1 < 𝐵𝐴 < (𝐴 · 𝐵)))
156, 14mpbid 221 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 < (𝐴 · 𝐵))
163, 15ltned 10052 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ≠ (𝐴 · 𝐵))
17 dvdsmul1 14841 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
181, 7, 17syl2an 493 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
19 isprm4 15235 . . . . . . 7 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ‘2)(𝑥 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝑥 = (𝐴 · 𝐵))))
2019simprbi 479 . . . . . 6 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ → ∀𝑥 ∈ (ℤ‘2)(𝑥 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝑥 = (𝐴 · 𝐵)))
21 breq1 4586 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∥ (𝐴 · 𝐵) ↔ 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵)))
22 eqeq1 2614 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = (𝐴 · 𝐵) ↔ 𝐴 = (𝐴 · 𝐵)))
2321, 22imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝑥 = (𝐴 · 𝐵)) ↔ (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = (𝐴 · 𝐵))))
2423rspcv 3278 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑥 ∈ (ℤ‘2)(𝑥 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝑥 = (𝐴 · 𝐵)) → (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = (𝐴 · 𝐵))))
2520, 24syl5 33 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ → (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = (𝐴 · 𝐵))))
2625adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ → (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = (𝐴 · 𝐵))))
2718, 26mpid 43 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ → 𝐴 = (𝐴 · 𝐵)))
2827necon3ad 2795 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 ≠ (𝐴 · 𝐵) → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ))
2916, 28mpd 15 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   < clt 9953  cn 10897  2c2 10947  cz 11254  cuz 11563  cdvds 14821  cprime 15223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-prm 15224
This theorem is referenced by:  nprmi  15240  dvdsnprmd  15241  sqnprm  15252  mersenne  24752  ztprmneprm  41918
  Copyright terms: Public domain W3C validator