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Theorem chebbnd1lem3 22679
Description: Lemma for chebbnd1 22680: get a lower bound on π ( N )  /  ( N  /  log ( N ) ) that is independent of  N. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
chebbnd1lem2.1  |-  M  =  ( |_ `  ( N  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
chebbnd1lem3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  /  2
)  <  ( (π `  N )  x.  (
( log `  N
)  /  N ) ) )

Proof of Theorem chebbnd1lem3
StepHypRef Expression
1 2rp 10992 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
2 relogcl 21986 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( log `  2 )  e.  RR
4 1re 9381 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
5 2re 10387 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
6 ere 13370 . . . . . . 7  |-  _e  e.  RR
75, 6remulcli 9396 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  _e )  e.  RR
8 2pos 10409 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
9 epos 13485 . . . . . . . 8  |-  0  <  _e
105, 6, 8, 9mulgt0ii 9503 . . . . . . 7  |-  0  <  ( 2  x.  _e )
117, 10gt0ne0ii 9872 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  _e )  =/=  0
124, 7, 11redivcli 10094 . . . . 5  |-  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) )  e.  RR
133, 12resubcli 9667 . . . 4  |-  ( ( log `  2 )  -  ( 1  / 
( 2  x.  _e ) ) )  e.  RR
14 2ne0 10410 . . . 4  |-  2  =/=  0
1513, 5, 14redivcli 10094 . . 3  |-  ( ( ( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  /  2 )  e.  RR
1615a1i 11 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  /  2
)  e.  RR )
175a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  e.  RR )
18 8re 10402 . . . . . . . 8  |-  8  e.  RR
1918a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
8  e.  RR )
20 simpl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  N  e.  RR )
21 2lt8 10510 . . . . . . . . 9  |-  2  <  8
225, 18, 21ltleii 9493 . . . . . . . 8  |-  2  <_  8
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  <_  8 )
24 simpr 458 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
8  <_  N )
2517, 19, 20, 23, 24letrd 9524 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  <_  N )
26 ppinncl 22471 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <_  N )  -> 
(π `  N )  e.  NN )
2725, 26syldan 467 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
(π `  N )  e.  NN )
2827nnred 10333 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
(π `  N )  e.  RR )
29 chebbnd1lem2.1 . . . . . . . . . 10  |-  M  =  ( |_ `  ( N  /  2 ) )
30 rehalfcl 10547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  /  2 )  e.  RR )
3130adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  e.  RR )
3231flcld 11644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( |_ `  ( N  /  2 ) )  e.  ZZ )
3329, 32syl5eqel 2525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
3433zred 10743 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  RR )
35 remulcl 9363 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  RR )
365, 34, 35sylancr 658 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  e.  RR )
374a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
1  e.  RR )
38 1lt2 10484 . . . . . . . . 9  |-  1  <  2
3938a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
1  <  2 )
40 2t1e2 10466 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
41 4nn 10477 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  NN
4241nnzi 10666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  ZZ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  e.  ZZ )
44 4t2e8 10471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
4544, 24syl5eqbr 4322 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 4  x.  2 )  <_  N )
46 4re 10394 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  4  e.  RR
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  e.  RR )
488a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  2 )
49 lemuldiv 10207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 4  x.  2 )  <_  N 
<->  4  <_  ( N  /  2 ) ) )
5047, 20, 17, 48, 49syl112anc 1217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 4  x.  2 )  <_  N  <->  4  <_  ( N  / 
2 ) ) )
5145, 50mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  <_  ( N  /  2 ) )
52 flge 11651 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  /  2
)  e.  RR  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( 4  <_  ( N  /  2 )  <->  4  <_  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) )
5331, 42, 52sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 4  <_  ( N  /  2 )  <->  4  <_  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) )
5451, 53mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  <_  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )
5554, 29syl6breqr 4329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  <_  M )
56 eluz2 10863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  4
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  4  <_  M ) )
5743, 33, 55, 56syl3anbrc 1167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )
58 eluznn 10921 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )  ->  M  e.  NN )
5941, 57, 58sylancr 658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  NN )
6059nnge1d 10360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
1  <_  M )
61 lemul2 10178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 1  <_  M 
<->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  M ) ) )
6237, 34, 17, 48, 61syl112anc 1217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 1  <_  M  <->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  M ) ) )
6360, 62mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  M ) )
6440, 63syl5eqbrr 4323 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  <_  ( 2  x.  M ) )
6537, 17, 36, 39, 64ltletrd 9527 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
1  <  ( 2  x.  M ) )
6636, 65rplogcld 22037 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
2  x.  M ) )  e.  RR+ )
6766rpred 11023 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
2  x.  M ) )  e.  RR )
68 2nn 10475 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
69 nnmulcl 10341 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  NN )
7068, 59, 69sylancr 658 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  e.  NN )
7167, 70nndivred 10366 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  e.  RR )
7228, 71remulcld 9410 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  e.  RR )
73 rehalfcl 10547 . . 3  |-  ( ( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  e.  RR  ->  ( ( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 )  e.  RR )
7472, 73syl 16 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  ( 2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 )  e.  RR )
75 0red 9383 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  e.  RR )
76 8pos 10418 . . . . . . . 8  |-  0  <  8
7776a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  8 )
7875, 19, 20, 77, 24ltletrd 9527 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  N )
7920, 78elrpd 11021 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  N  e.  RR+ )
8079relogcld 22031 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  N
)  e.  RR )
8180, 79rerpdivcld 11050 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  N
)  /  N )  e.  RR )
8228, 81remulcld 9410 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  N )  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) )  e.  RR )
8313a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  e.  RR )
84 ppinncl 22471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  e.  RR  /\  2  <_  ( 2  x.  M ) )  -> 
(π `  ( 2  x.  M ) )  e.  NN )
8536, 64, 84syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
(π `  ( 2  x.  M ) )  e.  NN )
8685nnred 10333 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
(π `  ( 2  x.  M ) )  e.  RR )
8786, 71remulcld 9410 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  e.  RR )
88 remulcl 9363 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  e.  RR  /\  (
2  x.  M )  e.  RR )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  x.  (
2  x.  M ) )  e.  RR )
8913, 36, 88sylancr 658 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  x.  (
2  x.  M ) )  e.  RR )
90 4pos 10413 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  4
9146, 90elrpii 10990 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR+
92 rpexpcl 11880 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  RR+  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
4 ^ M )  e.  RR+ )
9391, 33, 92sylancr 658 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 4 ^ M
)  e.  RR+ )
9459nnrpd 11022 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  RR+ )
9593, 94rpdivcld 11040 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 4 ^ M )  /  M
)  e.  RR+ )
9695relogcld 22031 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
( 4 ^ M
)  /  M ) )  e.  RR )
9786, 67remulcld 9410 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( log `  (
2  x.  M ) ) )  e.  RR )
9894relogcld 22031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  M
)  e.  RR )
99 epr 13486 . . . . . . . . . 10  |-  _e  e.  RR+
100 rerpdivcl 11014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR  /\  _e  e.  RR+ )  ->  ( M  /  _e )  e.  RR )
10134, 99, 100sylancl 657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( M  /  _e )  e.  RR )
10293relogcld 22031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
4 ^ M ) )  e.  RR )
1036a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  e.  RR )
104 egt2lt3 13484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
105104simpri 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _e  <  3
106 3lt4 10487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  <  4
107 3re 10391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  e.  RR
1086, 107, 46lttri 9496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _e  <  3  /\  3  <  4 )  ->  _e  <  4
)
109105, 106, 108mp2an 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  <  4
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <  4 )
111103, 47, 34, 110, 55ltletrd 9527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <  M )
112103, 34, 111ltled 9518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <_  M )
1136leidi 9870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  <_  _e
114 logdivlt 22029 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( _e  e.  RR  /\  _e  <_  _e )  /\  ( M  e.  RR  /\  _e  <_  M )
)  ->  ( _e  <  M  <->  ( ( log `  M )  /  M
)  <  ( ( log `  _e )  /  _e ) ) )
1156, 113, 114mpanl12 677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  RR  /\  _e  <_  M )  -> 
( _e  <  M  <->  ( ( log `  M
)  /  M )  <  ( ( log `  _e )  /  _e ) ) )
11634, 112, 115syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( _e  <  M  <->  ( ( log `  M
)  /  M )  <  ( ( log `  _e )  /  _e ) ) )
117111, 116mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  M
)  /  M )  <  ( ( log `  _e )  /  _e ) )
118 loge 21994 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( log `  _e )  =  1
119118oveq1i 6100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( log `  _e )  /  _e )  =  ( 1  /  _e )
120117, 119syl6breq 4328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  M
)  /  M )  <  ( 1  /  _e ) )
1216, 9pm3.2i 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _e  e.  RR  /\  0  <  _e )
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( _e  e.  RR  /\  0  <  _e ) )
12359nngt0d 10361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  M )
12434, 123jca 529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( M  e.  RR  /\  0  <  M ) )
125 lt2mul2div 10204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( log `  M
)  e.  RR  /\  ( _e  e.  RR  /\  0  <  _e ) )  /\  ( 1  e.  RR  /\  ( M  e.  RR  /\  0  <  M ) ) )  ->  ( ( ( log `  M )  x.  _e )  < 
( 1  x.  M
)  <->  ( ( log `  M )  /  M
)  <  ( 1  /  _e ) ) )
12698, 122, 37, 124, 125syl22anc 1214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  M )  x.  _e )  <  ( 1  x.  M )  <->  ( ( log `  M )  /  M )  <  (
1  /  _e ) ) )
127120, 126mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  M
)  x.  _e )  <  ( 1  x.  M ) )
12834recnd 9408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  CC )
129128mulid2d 9400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 1  x.  M
)  =  M )
130127, 129breqtrd 4313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  M
)  x.  _e )  <  M )
131 ltmuldiv 10198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( log `  M
)  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  (
_e  e.  RR  /\  0  <  _e ) )  ->  ( ( ( log `  M )  x.  _e )  < 
M  <->  ( log `  M
)  <  ( M  /  _e ) ) )
13298, 34, 122, 131syl3anc 1213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  M )  x.  _e )  <  M  <->  ( log `  M )  <  ( M  /  _e ) ) )
133130, 132mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  M
)  <  ( M  /  _e ) )
13498, 101, 102, 133ltsub2dd 9948 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
4 ^ M ) )  -  ( M  /  _e ) )  <  ( ( log `  ( 4 ^ M
) )  -  ( log `  M ) ) )
1353recni 9394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( log `  2 )  e.  CC
136135a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  2
)  e.  CC )
13712recni 9394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) )  e.  CC
138137a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 1  /  (
2  x.  _e ) )  e.  CC )
13970nnrpd 11022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  e.  RR+ )
140139rpcnd 11025 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  e.  CC )
141136, 138, 140subdird 9797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  x.  (
2  x.  M ) )  =  ( ( ( log `  2
)  x.  ( 2  x.  M ) )  -  ( ( 1  /  ( 2  x.  _e ) )  x.  ( 2  x.  M
) ) ) )
142136, 140mulcomd 9403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( 2  x.  M ) )  =  ( ( 2  x.  M )  x.  ( log `  2
) ) )
143 2z 10674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  ZZ
144 zmulcl 10689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  ZZ )
145143, 33, 144sylancr 658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  e.  ZZ )
146 relogexp 22003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
2  x.  M )  e.  ZZ )  -> 
( log `  (
2 ^ ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( 2  x.  M )  x.  ( log `  2
) ) )
1471, 145, 146sylancr 658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
2 ^ ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( 2  x.  M )  x.  ( log `  2
) ) )
148 2cnd 10390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  e.  CC )
14959nnnn0d 10632 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  NN0 )
150 2nn0 10592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN0
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  e.  NN0 )
152148, 149, 151expmuld 12007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2 ^ (
2  x.  M ) )  =  ( ( 2 ^ 2 ) ^ M ) )
153 sq2 11958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
154153oveq1i 6100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 2 ) ^ M )  =  ( 4 ^ M
)
155152, 154syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2 ^ (
2  x.  M ) )  =  ( 4 ^ M ) )
156155fveq2d 5692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
2 ^ ( 2  x.  M ) ) )  =  ( log `  ( 4 ^ M
) ) )
157142, 147, 1563eqtr2d 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( 2  x.  M ) )  =  ( log `  (
4 ^ M ) ) )
1587recni 9394 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  _e )  e.  CC
159158a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  _e )  e.  CC )
16011a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  _e )  =/=  0 )
161140, 159, 160divrec2d 10107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  M )  /  (
2  x.  _e ) )  =  ( ( 1  /  ( 2  x.  _e ) )  x.  ( 2  x.  M ) ) )
1626recni 9394 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  e.  CC
163162a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  e.  CC )
1646, 9gt0ne0ii 9872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  =/=  0
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  =/=  0 )
16614a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  =/=  0 )
167128, 163, 148, 165, 166divcan5d 10129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  M )  /  (
2  x.  _e ) )  =  ( M  /  _e ) )
168161, 167eqtr3d 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 1  / 
( 2  x.  _e ) )  x.  (
2  x.  M ) )  =  ( M  /  _e ) )
169157, 168oveq12d 6108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  x.  ( 2  x.  M
) )  -  (
( 1  /  (
2  x.  _e ) )  x.  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( log `  ( 4 ^ M ) )  -  ( M  /  _e ) ) )
170141, 169eqtrd 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  x.  (
2  x.  M ) )  =  ( ( log `  ( 4 ^ M ) )  -  ( M  /  _e ) ) )
17193, 94relogdivd 22034 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
( 4 ^ M
)  /  M ) )  =  ( ( log `  ( 4 ^ M ) )  -  ( log `  M
) ) )
172134, 170, 1713brtr4d 4319 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  x.  (
2  x.  M ) )  <  ( log `  ( ( 4 ^ M )  /  M
) ) )
173 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  if ( ( 2  x.  M
)  <_  ( (
2  x.  M )  _C  M ) ,  ( 2  x.  M
) ,  ( ( 2  x.  M )  _C  M ) )  =  if ( ( 2  x.  M )  <_  ( ( 2  x.  M )  _C  M ) ,  ( 2  x.  M ) ,  ( ( 2  x.  M )  _C  M ) )
174173chebbnd1lem1 22677 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 4 ^ M )  /  M
) )  <  (
(π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( log `  (
2  x.  M ) ) ) )
17557, 174syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
( 4 ^ M
)  /  M ) )  <  ( (π `  ( 2  x.  M
) )  x.  ( log `  ( 2  x.  M ) ) ) )
17689, 96, 97, 172, 175lttrd 9528 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  x.  (
2  x.  M ) )  <  ( (π `  ( 2  x.  M
) )  x.  ( log `  ( 2  x.  M ) ) ) )
17783, 97, 139ltmuldivd 11066 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( ( log `  2 )  -  ( 1  / 
( 2  x.  _e ) ) )  x.  ( 2  x.  M
) )  <  (
(π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( log `  (
2  x.  M ) ) )  <->  ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  <  (
( (π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( log `  (
2  x.  M ) ) )  /  (
2  x.  M ) ) ) )
178176, 177mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  <  ( ( (π `  ( 2  x.  M
) )  x.  ( log `  ( 2  x.  M ) ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )
17986recnd 9408 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
(π `  ( 2  x.  M ) )  e.  CC )
18066rpcnd 11025 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
2  x.  M ) )  e.  CC )
181139rpcnne0d 11032 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  M )  e.  CC  /\  ( 2  x.  M
)  =/=  0 ) )
182 divass 10008 . . . . . 6  |-  ( ( (π `  ( 2  x.  M ) )  e.  CC  /\  ( log `  ( 2  x.  M
) )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  e.  CC  /\  ( 2  x.  M
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
(π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( log `  (
2  x.  M ) ) )  /  (
2  x.  M ) )  =  ( (π `  ( 2  x.  M
) )  x.  (
( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) )
183179, 180, 181, 182syl3anc 1213 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( (π `  (
2  x.  M ) )  x.  ( log `  ( 2  x.  M
) ) )  / 
( 2  x.  M
) )  =  ( (π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) )
184178, 183breqtrd 4313 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  <  ( (π `  (
2  x.  M ) )  x.  ( ( log `  ( 2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) )
185 flle 11645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  /  2 )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  <_ 
( N  /  2
) )
18631, 185syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( |_ `  ( N  /  2 ) )  <_  ( N  / 
2 ) )
18729, 186syl5eqbr 4322 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  <_  ( N  / 
2 ) )
188 lemuldiv2 10208 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 2  x.  M )  <_  N 
<->  M  <_  ( N  /  2 ) ) )
18934, 20, 17, 48, 188syl112anc 1217 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  M )  <_  N  <->  M  <_  ( N  / 
2 ) ) )
190187, 189mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  <_  N )
191 ppiwordi 22459 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  x.  M )  <_  N )  -> 
(π `  ( 2  x.  M ) )  <_ 
(π `  N ) )
19236, 20, 190, 191syl3anc 1213 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
(π `  ( 2  x.  M ) )  <_ 
(π `  N ) )
19366, 139rpdivcld 11040 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  e.  RR+ )
19486, 28, 193lemul1d 11062 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  ( 2  x.  M ) )  <_ 
(π `  N )  <->  ( (π `  ( 2  x.  M
) )  x.  (
( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <_  ( (π `  N )  x.  (
( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) ) )
195192, 194mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <_  ( (π `  N )  x.  (
( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) )
19683, 87, 72, 184, 195ltletrd 9527 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  <  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  ( 2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) )
197 ltdiv1 10189 . . . 4  |-  ( ( ( ( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  e.  RR  /\  (
(π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  <  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  ( 2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <-> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  /  2
)  <  ( (
(π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 ) ) )
19883, 72, 17, 48, 197syl112anc 1217 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  <  (
(π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <->  ( ( ( log `  2 )  -  ( 1  / 
( 2  x.  _e ) ) )  / 
2 )  <  (
( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 ) ) )
199196, 198mpbid 210 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  /  2
)  <  ( (
(π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 ) )
20029chebbnd1lem2 22678 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  <  ( 2  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) ) )
201 remulcl 9363 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( log `  N
)  /  N )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  (
( log `  N
)  /  N ) )  e.  RR )
2025, 81, 201sylancr 658 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  (
( log `  N
)  /  N ) )  e.  RR )
20327nngt0d 10361 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  (π `  N
) )
204 ltmul2 10176 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  e.  RR  /\  (
2  x.  ( ( log `  N )  /  N ) )  e.  RR  /\  (
(π `  N )  e.  RR  /\  0  < 
(π `  N ) ) )  ->  ( (
( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  <  ( 2  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) )  <->  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  ( 2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <  ( (π `  N
)  x.  ( 2  x.  ( ( log `  N )  /  N
) ) ) ) )
20571, 202, 28, 203, 204syl112anc 1217 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  ( 2  x.  M
) )  /  (
2  x.  M ) )  <  ( 2  x.  ( ( log `  N )  /  N
) )  <->  ( (π `  N )  x.  (
( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <  ( (π `  N )  x.  (
2  x.  ( ( log `  N )  /  N ) ) ) ) )
206200, 205mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <  ( (π `  N )  x.  (
2  x.  ( ( log `  N )  /  N ) ) ) )
20728recnd 9408 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
(π `  N )  e.  CC )
20881recnd 9408 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  N
)  /  N )  e.  CC )
209207, 148, 208mul12d 9574 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  N )  x.  ( 2  x.  (
( log `  N
)  /  N ) ) )  =  ( 2  x.  ( (π `  N )  x.  (
( log `  N
)  /  N ) ) ) )
210206, 209breqtrd 4313 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <  ( 2  x.  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  N )  /  N ) ) ) )
211 ltdivmul 10200 . . . 4  |-  ( ( ( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  e.  RR  /\  ( (π `  N )  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 )  <  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  N )  /  N ) )  <-> 
( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <  ( 2  x.  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  N )  /  N ) ) ) ) )
21272, 82, 17, 48, 211syl112anc 1217 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( (π `  N )  x.  (
( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 )  <  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  N )  /  N ) )  <-> 
( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <  ( 2  x.  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  N )  /  N ) ) ) ) )
213210, 212mpbird 232 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  ( 2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 )  < 
( (π `  N )  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) ) )
21416, 74, 82, 199, 213lttrd 9528 1  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  /  2
)  <  ( (π `  N )  x.  (
( log `  N
)  /  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   ifcif 3788   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    x. cmul 9283    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591    / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   3c3 10368   4c4 10369   8c8 10373   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   RR+crp 10987   |_cfl 11636   ^cexp 11861    _C cbc 12074   _eceu 13344   logclog 21965  πcppi 22390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-e 13350  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-dvds 13532  df-gcd 13687  df-prm 13760  df-pc 13900  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301  df-log 21967  df-ppi 22396
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