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Theorem chebbnd1lem3 22742
Description: Lemma for chebbnd1 22743: get a lower bound on π ( N )  /  ( N  /  log ( N ) ) that is independent of  N. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
chebbnd1lem2.1  |-  M  =  ( |_ `  ( N  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
chebbnd1lem3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  /  2
)  <  ( (π `  N )  x.  (
( log `  N
)  /  N ) ) )

Proof of Theorem chebbnd1lem3
StepHypRef Expression
1 2rp 11017 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
2 relogcl 22049 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( log `  2 )  e.  RR
4 1re 9406 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
5 2re 10412 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
6 ere 13395 . . . . . . 7  |-  _e  e.  RR
75, 6remulcli 9421 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  _e )  e.  RR
8 2pos 10434 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
9 epos 13510 . . . . . . . 8  |-  0  <  _e
105, 6, 8, 9mulgt0ii 9528 . . . . . . 7  |-  0  <  ( 2  x.  _e )
117, 10gt0ne0ii 9897 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  _e )  =/=  0
124, 7, 11redivcli 10119 . . . . 5  |-  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) )  e.  RR
133, 12resubcli 9692 . . . 4  |-  ( ( log `  2 )  -  ( 1  / 
( 2  x.  _e ) ) )  e.  RR
14 2ne0 10435 . . . 4  |-  2  =/=  0
1513, 5, 14redivcli 10119 . . 3  |-  ( ( ( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  /  2 )  e.  RR
1615a1i 11 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  /  2
)  e.  RR )
175a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  e.  RR )
18 8re 10427 . . . . . . . 8  |-  8  e.  RR
1918a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
8  e.  RR )
20 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  N  e.  RR )
21 2lt8 10535 . . . . . . . . 9  |-  2  <  8
225, 18, 21ltleii 9518 . . . . . . . 8  |-  2  <_  8
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  <_  8 )
24 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
8  <_  N )
2517, 19, 20, 23, 24letrd 9549 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  <_  N )
26 ppinncl 22534 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <_  N )  -> 
(π `  N )  e.  NN )
2725, 26syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
(π `  N )  e.  NN )
2827nnred 10358 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
(π `  N )  e.  RR )
29 chebbnd1lem2.1 . . . . . . . . . 10  |-  M  =  ( |_ `  ( N  /  2 ) )
30 rehalfcl 10572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  /  2 )  e.  RR )
3130adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  e.  RR )
3231flcld 11669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( |_ `  ( N  /  2 ) )  e.  ZZ )
3329, 32syl5eqel 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
3433zred 10768 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  RR )
35 remulcl 9388 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  RR )
365, 34, 35sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  e.  RR )
374a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
1  e.  RR )
38 1lt2 10509 . . . . . . . . 9  |-  1  <  2
3938a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
1  <  2 )
40 2t1e2 10491 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
41 4nn 10502 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  NN
4241nnzi 10691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  ZZ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  e.  ZZ )
44 4t2e8 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
4544, 24syl5eqbr 4346 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 4  x.  2 )  <_  N )
46 4re 10419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  4  e.  RR
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  e.  RR )
488a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  2 )
49 lemuldiv 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 4  x.  2 )  <_  N 
<->  4  <_  ( N  /  2 ) ) )
5047, 20, 17, 48, 49syl112anc 1222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 4  x.  2 )  <_  N  <->  4  <_  ( N  / 
2 ) ) )
5145, 50mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  <_  ( N  /  2 ) )
52 flge 11676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  /  2
)  e.  RR  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( 4  <_  ( N  /  2 )  <->  4  <_  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) )
5331, 42, 52sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 4  <_  ( N  /  2 )  <->  4  <_  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) )
5451, 53mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  <_  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )
5554, 29syl6breqr 4353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  <_  M )
56 eluz2 10888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  4
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  4  <_  M ) )
5743, 33, 55, 56syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )
58 eluznn 10946 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )  ->  M  e.  NN )
5941, 57, 58sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  NN )
6059nnge1d 10385 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
1  <_  M )
61 lemul2 10203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 1  <_  M 
<->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  M ) ) )
6237, 34, 17, 48, 61syl112anc 1222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 1  <_  M  <->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  M ) ) )
6360, 62mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  M ) )
6440, 63syl5eqbrr 4347 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  <_  ( 2  x.  M ) )
6537, 17, 36, 39, 64ltletrd 9552 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
1  <  ( 2  x.  M ) )
6636, 65rplogcld 22100 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
2  x.  M ) )  e.  RR+ )
6766rpred 11048 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
2  x.  M ) )  e.  RR )
68 2nn 10500 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
69 nnmulcl 10366 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  NN )
7068, 59, 69sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  e.  NN )
7167, 70nndivred 10391 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  e.  RR )
7228, 71remulcld 9435 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  e.  RR )
73 rehalfcl 10572 . . 3  |-  ( ( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  e.  RR  ->  ( ( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 )  e.  RR )
7472, 73syl 16 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  ( 2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 )  e.  RR )
75 0red 9408 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  e.  RR )
76 8pos 10443 . . . . . . . 8  |-  0  <  8
7776a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  8 )
7875, 19, 20, 77, 24ltletrd 9552 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  N )
7920, 78elrpd 11046 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  N  e.  RR+ )
8079relogcld 22094 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  N
)  e.  RR )
8180, 79rerpdivcld 11075 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  N
)  /  N )  e.  RR )
8228, 81remulcld 9435 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  N )  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) )  e.  RR )
8313a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  e.  RR )
84 ppinncl 22534 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  e.  RR  /\  2  <_  ( 2  x.  M ) )  -> 
(π `  ( 2  x.  M ) )  e.  NN )
8536, 64, 84syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
(π `  ( 2  x.  M ) )  e.  NN )
8685nnred 10358 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
(π `  ( 2  x.  M ) )  e.  RR )
8786, 71remulcld 9435 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  e.  RR )
88 remulcl 9388 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  e.  RR  /\  (
2  x.  M )  e.  RR )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  x.  (
2  x.  M ) )  e.  RR )
8913, 36, 88sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  x.  (
2  x.  M ) )  e.  RR )
90 4pos 10438 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  4
9146, 90elrpii 11015 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR+
92 rpexpcl 11905 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  RR+  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
4 ^ M )  e.  RR+ )
9391, 33, 92sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 4 ^ M
)  e.  RR+ )
9459nnrpd 11047 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  RR+ )
9593, 94rpdivcld 11065 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 4 ^ M )  /  M
)  e.  RR+ )
9695relogcld 22094 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
( 4 ^ M
)  /  M ) )  e.  RR )
9786, 67remulcld 9435 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( log `  (
2  x.  M ) ) )  e.  RR )
9894relogcld 22094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  M
)  e.  RR )
99 epr 13511 . . . . . . . . . 10  |-  _e  e.  RR+
100 rerpdivcl 11039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR  /\  _e  e.  RR+ )  ->  ( M  /  _e )  e.  RR )
10134, 99, 100sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( M  /  _e )  e.  RR )
10293relogcld 22094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
4 ^ M ) )  e.  RR )
1036a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  e.  RR )
104 egt2lt3 13509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
105104simpri 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _e  <  3
106 3lt4 10512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  <  4
107 3re 10416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  e.  RR
1086, 107, 46lttri 9521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _e  <  3  /\  3  <  4 )  ->  _e  <  4
)
109105, 106, 108mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  <  4
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <  4 )
111103, 47, 34, 110, 55ltletrd 9552 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <  M )
112103, 34, 111ltled 9543 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <_  M )
1136leidi 9895 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  <_  _e
114 logdivlt 22092 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( _e  e.  RR  /\  _e  <_  _e )  /\  ( M  e.  RR  /\  _e  <_  M )
)  ->  ( _e  <  M  <->  ( ( log `  M )  /  M
)  <  ( ( log `  _e )  /  _e ) ) )
1156, 113, 114mpanl12 682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  RR  /\  _e  <_  M )  -> 
( _e  <  M  <->  ( ( log `  M
)  /  M )  <  ( ( log `  _e )  /  _e ) ) )
11634, 112, 115syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( _e  <  M  <->  ( ( log `  M
)  /  M )  <  ( ( log `  _e )  /  _e ) ) )
117111, 116mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  M
)  /  M )  <  ( ( log `  _e )  /  _e ) )
118 loge 22057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( log `  _e )  =  1
119118oveq1i 6122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( log `  _e )  /  _e )  =  ( 1  /  _e )
120117, 119syl6breq 4352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  M
)  /  M )  <  ( 1  /  _e ) )
1216, 9pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _e  e.  RR  /\  0  <  _e )
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( _e  e.  RR  /\  0  <  _e ) )
12359nngt0d 10386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  M )
12434, 123jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( M  e.  RR  /\  0  <  M ) )
125 lt2mul2div 10229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( log `  M
)  e.  RR  /\  ( _e  e.  RR  /\  0  <  _e ) )  /\  ( 1  e.  RR  /\  ( M  e.  RR  /\  0  <  M ) ) )  ->  ( ( ( log `  M )  x.  _e )  < 
( 1  x.  M
)  <->  ( ( log `  M )  /  M
)  <  ( 1  /  _e ) ) )
12698, 122, 37, 124, 125syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  M )  x.  _e )  <  ( 1  x.  M )  <->  ( ( log `  M )  /  M )  <  (
1  /  _e ) ) )
127120, 126mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  M
)  x.  _e )  <  ( 1  x.  M ) )
12834recnd 9433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  CC )
129128mulid2d 9425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 1  x.  M
)  =  M )
130127, 129breqtrd 4337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  M
)  x.  _e )  <  M )
131 ltmuldiv 10223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( log `  M
)  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  (
_e  e.  RR  /\  0  <  _e ) )  ->  ( ( ( log `  M )  x.  _e )  < 
M  <->  ( log `  M
)  <  ( M  /  _e ) ) )
13298, 34, 122, 131syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  M )  x.  _e )  <  M  <->  ( log `  M )  <  ( M  /  _e ) ) )
133130, 132mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  M
)  <  ( M  /  _e ) )
13498, 101, 102, 133ltsub2dd 9973 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
4 ^ M ) )  -  ( M  /  _e ) )  <  ( ( log `  ( 4 ^ M
) )  -  ( log `  M ) ) )
1353recni 9419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( log `  2 )  e.  CC
136135a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  2
)  e.  CC )
13712recni 9419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) )  e.  CC
138137a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 1  /  (
2  x.  _e ) )  e.  CC )
13970nnrpd 11047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  e.  RR+ )
140139rpcnd 11050 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  e.  CC )
141136, 138, 140subdird 9822 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  x.  (
2  x.  M ) )  =  ( ( ( log `  2
)  x.  ( 2  x.  M ) )  -  ( ( 1  /  ( 2  x.  _e ) )  x.  ( 2  x.  M
) ) ) )
142136, 140mulcomd 9428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( 2  x.  M ) )  =  ( ( 2  x.  M )  x.  ( log `  2
) ) )
143 2z 10699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  ZZ
144 zmulcl 10714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  ZZ )
145143, 33, 144sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  e.  ZZ )
146 relogexp 22066 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
2  x.  M )  e.  ZZ )  -> 
( log `  (
2 ^ ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( 2  x.  M )  x.  ( log `  2
) ) )
1471, 145, 146sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
2 ^ ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( 2  x.  M )  x.  ( log `  2
) ) )
148 2cnd 10415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  e.  CC )
14959nnnn0d 10657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  NN0 )
150 2nn0 10617 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN0
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  e.  NN0 )
152148, 149, 151expmuld 12032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2 ^ (
2  x.  M ) )  =  ( ( 2 ^ 2 ) ^ M ) )
153 sq2 11983 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
154153oveq1i 6122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 2 ) ^ M )  =  ( 4 ^ M
)
155152, 154syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2 ^ (
2  x.  M ) )  =  ( 4 ^ M ) )
156155fveq2d 5716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
2 ^ ( 2  x.  M ) ) )  =  ( log `  ( 4 ^ M
) ) )
157142, 147, 1563eqtr2d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( 2  x.  M ) )  =  ( log `  (
4 ^ M ) ) )
1587recni 9419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  _e )  e.  CC
159158a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  _e )  e.  CC )
16011a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  _e )  =/=  0 )
161140, 159, 160divrec2d 10132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  M )  /  (
2  x.  _e ) )  =  ( ( 1  /  ( 2  x.  _e ) )  x.  ( 2  x.  M ) ) )
1626recni 9419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  e.  CC
163162a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  e.  CC )
1646, 9gt0ne0ii 9897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  =/=  0
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  =/=  0 )
16614a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  =/=  0 )
167128, 163, 148, 165, 166divcan5d 10154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  M )  /  (
2  x.  _e ) )  =  ( M  /  _e ) )
168161, 167eqtr3d 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 1  / 
( 2  x.  _e ) )  x.  (
2  x.  M ) )  =  ( M  /  _e ) )
169157, 168oveq12d 6130 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  x.  ( 2  x.  M
) )  -  (
( 1  /  (
2  x.  _e ) )  x.  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( log `  ( 4 ^ M ) )  -  ( M  /  _e ) ) )
170141, 169eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  x.  (
2  x.  M ) )  =  ( ( log `  ( 4 ^ M ) )  -  ( M  /  _e ) ) )
17193, 94relogdivd 22097 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
( 4 ^ M
)  /  M ) )  =  ( ( log `  ( 4 ^ M ) )  -  ( log `  M
) ) )
172134, 170, 1713brtr4d 4343 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  x.  (
2  x.  M ) )  <  ( log `  ( ( 4 ^ M )  /  M
) ) )
173 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  if ( ( 2  x.  M
)  <_  ( (
2  x.  M )  _C  M ) ,  ( 2  x.  M
) ,  ( ( 2  x.  M )  _C  M ) )  =  if ( ( 2  x.  M )  <_  ( ( 2  x.  M )  _C  M ) ,  ( 2  x.  M ) ,  ( ( 2  x.  M )  _C  M ) )
174173chebbnd1lem1 22740 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 4 ^ M )  /  M
) )  <  (
(π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( log `  (
2  x.  M ) ) ) )
17557, 174syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
( 4 ^ M
)  /  M ) )  <  ( (π `  ( 2  x.  M
) )  x.  ( log `  ( 2  x.  M ) ) ) )
17689, 96, 97, 172, 175lttrd 9553 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  x.  (
2  x.  M ) )  <  ( (π `  ( 2  x.  M
) )  x.  ( log `  ( 2  x.  M ) ) ) )
17783, 97, 139ltmuldivd 11091 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( ( log `  2 )  -  ( 1  / 
( 2  x.  _e ) ) )  x.  ( 2  x.  M
) )  <  (
(π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( log `  (
2  x.  M ) ) )  <->  ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  <  (
( (π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( log `  (
2  x.  M ) ) )  /  (
2  x.  M ) ) ) )
178176, 177mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  <  ( ( (π `  ( 2  x.  M
) )  x.  ( log `  ( 2  x.  M ) ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )
17986recnd 9433 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
(π `  ( 2  x.  M ) )  e.  CC )
18066rpcnd 11050 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
2  x.  M ) )  e.  CC )
181139rpcnne0d 11057 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  M )  e.  CC  /\  ( 2  x.  M
)  =/=  0 ) )
182 divass 10033 . . . . . 6  |-  ( ( (π `  ( 2  x.  M ) )  e.  CC  /\  ( log `  ( 2  x.  M
) )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  e.  CC  /\  ( 2  x.  M
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
(π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( log `  (
2  x.  M ) ) )  /  (
2  x.  M ) )  =  ( (π `  ( 2  x.  M
) )  x.  (
( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) )
183179, 180, 181, 182syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( (π `  (
2  x.  M ) )  x.  ( log `  ( 2  x.  M
) ) )  / 
( 2  x.  M
) )  =  ( (π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) )
184178, 183breqtrd 4337 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  <  ( (π `  (
2  x.  M ) )  x.  ( ( log `  ( 2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) )
185 flle 11670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  /  2 )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  <_ 
( N  /  2
) )
18631, 185syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( |_ `  ( N  /  2 ) )  <_  ( N  / 
2 ) )
18729, 186syl5eqbr 4346 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  <_  ( N  / 
2 ) )
188 lemuldiv2 10233 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 2  x.  M )  <_  N 
<->  M  <_  ( N  /  2 ) ) )
18934, 20, 17, 48, 188syl112anc 1222 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  M )  <_  N  <->  M  <_  ( N  / 
2 ) ) )
190187, 189mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  <_  N )
191 ppiwordi 22522 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  x.  M )  <_  N )  -> 
(π `  ( 2  x.  M ) )  <_ 
(π `  N ) )
19236, 20, 190, 191syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
(π `  ( 2  x.  M ) )  <_ 
(π `  N ) )
19366, 139rpdivcld 11065 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  e.  RR+ )
19486, 28, 193lemul1d 11087 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  ( 2  x.  M ) )  <_ 
(π `  N )  <->  ( (π `  ( 2  x.  M
) )  x.  (
( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <_  ( (π `  N )  x.  (
( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) ) )
195192, 194mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <_  ( (π `  N )  x.  (
( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) )
19683, 87, 72, 184, 195ltletrd 9552 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  <  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  ( 2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) )
197 ltdiv1 10214 . . . 4  |-  ( ( ( ( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  e.  RR  /\  (
(π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  <  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  ( 2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <-> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  /  2
)  <  ( (
(π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 ) ) )
19883, 72, 17, 48, 197syl112anc 1222 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  <  (
(π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <->  ( ( ( log `  2 )  -  ( 1  / 
( 2  x.  _e ) ) )  / 
2 )  <  (
( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 ) ) )
199196, 198mpbid 210 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  /  2
)  <  ( (
(π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 ) )
20029chebbnd1lem2 22741 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  <  ( 2  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) ) )
201 remulcl 9388 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( log `  N
)  /  N )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  (
( log `  N
)  /  N ) )  e.  RR )
2025, 81, 201sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  (
( log `  N
)  /  N ) )  e.  RR )
20327nngt0d 10386 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  (π `  N
) )
204 ltmul2 10201 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  e.  RR  /\  (
2  x.  ( ( log `  N )  /  N ) )  e.  RR  /\  (
(π `  N )  e.  RR  /\  0  < 
(π `  N ) ) )  ->  ( (
( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  <  ( 2  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) )  <->  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  ( 2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <  ( (π `  N
)  x.  ( 2  x.  ( ( log `  N )  /  N
) ) ) ) )
20571, 202, 28, 203, 204syl112anc 1222 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  ( 2  x.  M
) )  /  (
2  x.  M ) )  <  ( 2  x.  ( ( log `  N )  /  N
) )  <->  ( (π `  N )  x.  (
( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <  ( (π `  N )  x.  (
2  x.  ( ( log `  N )  /  N ) ) ) ) )
206200, 205mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <  ( (π `  N )  x.  (
2  x.  ( ( log `  N )  /  N ) ) ) )
20728recnd 9433 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
(π `  N )  e.  CC )
20881recnd 9433 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  N
)  /  N )  e.  CC )
209207, 148, 208mul12d 9599 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  N )  x.  ( 2  x.  (
( log `  N
)  /  N ) ) )  =  ( 2  x.  ( (π `  N )  x.  (
( log `  N
)  /  N ) ) ) )
210206, 209breqtrd 4337 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <  ( 2  x.  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  N )  /  N ) ) ) )
211 ltdivmul 10225 . . . 4  |-  ( ( ( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  e.  RR  /\  ( (π `  N )  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 )  <  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  N )  /  N ) )  <-> 
( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <  ( 2  x.  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  N )  /  N ) ) ) ) )
21272, 82, 17, 48, 211syl112anc 1222 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( (π `  N )  x.  (
( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 )  <  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  N )  /  N ) )  <-> 
( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <  ( 2  x.  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  N )  /  N ) ) ) ) )
213210, 212mpbird 232 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  ( 2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 )  < 
( (π `  N )  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) ) )
21416, 74, 82, 199, 213lttrd 9553 1  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  /  2
)  <  ( (π `  N )  x.  (
( log `  N
)  /  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   ifcif 3812   class class class wbr 4313   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304    x. cmul 9308    < clt 9439    <_ cle 9440    - cmin 9616    / cdiv 10014   NNcn 10343   2c2 10392   3c3 10393   4c4 10394   8c8 10398   NN0cn0 10600   ZZcz 10667   ZZ>=cuz 10882   RR+crp 11012   |_cfl 11661   ^cexp 11886    _C cbc 12099   _eceu 13369   logclog 22028  πcppi 22453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ioc 11326  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-mod 11730  df-seq 11828  df-exp 11887  df-fac 12073  df-bc 12100  df-hash 12125  df-shft 12577  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-limsup 12970  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-ef 13374  df-e 13375  df-sin 13376  df-cos 13377  df-pi 13379  df-dvds 13557  df-gcd 13712  df-prm 13785  df-pc 13925  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-mulg 15569  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-fbas 17836  df-fg 17837  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-nei 18724  df-lp 18762  df-perf 18763  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-haus 18941  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-fil 19441  df-fm 19533  df-flim 19534  df-flf 19535  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919  df-cncf 20476  df-limc 21363  df-dv 21364  df-log 22030  df-ppi 22459
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