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Theorem chebbnd1lem3 21118
Description: Lemma for chebbnd1 21119: get a lower bound on π ( N )  /  ( N  /  log ( N ) ) that is independent of  N. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
chebbnd1lem2.1  |-  M  =  ( |_ `  ( N  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
chebbnd1lem3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  /  2
)  <  ( (π `  N )  x.  (
( log `  N
)  /  N ) ) )

Proof of Theorem chebbnd1lem3
StepHypRef Expression
1 2rp 10573 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
2 relogcl 20426 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
31, 2ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( log `  2 )  e.  RR
4 1re 9046 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
5 2re 10025 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
6 ere 12646 . . . . . . 7  |-  _e  e.  RR
75, 6remulcli 9060 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  _e )  e.  RR
8 2pos 10038 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
9 epos 12761 . . . . . . . 8  |-  0  <  _e
105, 6, 8, 9mulgt0ii 9162 . . . . . . 7  |-  0  <  ( 2  x.  _e )
117, 10gt0ne0ii 9519 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  _e )  =/=  0
124, 7, 11redivcli 9737 . . . . 5  |-  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) )  e.  RR
133, 12resubcli 9319 . . . 4  |-  ( ( log `  2 )  -  ( 1  / 
( 2  x.  _e ) ) )  e.  RR
14 2ne0 10039 . . . 4  |-  2  =/=  0
1513, 5, 14redivcli 9737 . . 3  |-  ( ( ( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  /  2 )  e.  RR
1615a1i 11 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  /  2
)  e.  RR )
175a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  e.  RR )
18 8re 10034 . . . . . . . 8  |-  8  e.  RR
1918a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
8  e.  RR )
20 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  N  e.  RR )
21 2lt8 10124 . . . . . . . . 9  |-  2  <  8
225, 18, 21ltleii 9152 . . . . . . . 8  |-  2  <_  8
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  <_  8 )
24 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
8  <_  N )
2517, 19, 20, 23, 24letrd 9183 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  <_  N )
26 ppinncl 20910 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <_  N )  -> 
(π `  N )  e.  NN )
2725, 26syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
(π `  N )  e.  NN )
2827nnred 9971 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
(π `  N )  e.  RR )
29 chebbnd1lem2.1 . . . . . . . . . 10  |-  M  =  ( |_ `  ( N  /  2 ) )
30 rehalfcl 10150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  /  2 )  e.  RR )
3130adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  e.  RR )
3231flcld 11162 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( |_ `  ( N  /  2 ) )  e.  ZZ )
3329, 32syl5eqel 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
3433zred 10331 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  RR )
35 remulcl 9031 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  RR )
365, 34, 35sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  e.  RR )
374a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
1  e.  RR )
38 1lt2 10098 . . . . . . . . 9  |-  1  <  2
3938a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
1  <  2 )
40 2cn 10026 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
4140mulid1i 9048 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
42 4nn 10091 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  NN
4342nnzi 10261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  ZZ
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  e.  ZZ )
45 4t2e8 10086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
4645, 24syl5eqbr 4205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 4  x.  2 )  <_  N )
47 4re 10029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  4  e.  RR
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  e.  RR )
498a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  2 )
50 lemuldiv 9845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 4  x.  2 )  <_  N 
<->  4  <_  ( N  /  2 ) ) )
5148, 20, 17, 49, 50syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 4  x.  2 )  <_  N  <->  4  <_  ( N  / 
2 ) ) )
5246, 51mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  <_  ( N  /  2 ) )
53 flge 11169 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  /  2
)  e.  RR  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( 4  <_  ( N  /  2 )  <->  4  <_  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) )
5431, 43, 53sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 4  <_  ( N  /  2 )  <->  4  <_  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) )
5552, 54mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  <_  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )
5655, 29syl6breqr 4212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  <_  M )
57 eluz2 10450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  4
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  4  <_  M ) )
5844, 33, 56, 57syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )
59 nnuz 10477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6059uztrn2 10459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )  ->  M  e.  NN )
6142, 58, 60sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  NN )
6261nnge1d 9998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
1  <_  M )
63 lemul2 9819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 1  <_  M 
<->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  M ) ) )
6437, 34, 17, 49, 63syl112anc 1188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 1  <_  M  <->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  M ) ) )
6562, 64mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  M ) )
6641, 65syl5eqbrr 4206 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  <_  ( 2  x.  M ) )
6737, 17, 36, 39, 66ltletrd 9186 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
1  <  ( 2  x.  M ) )
6836, 67rplogcld 20477 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
2  x.  M ) )  e.  RR+ )
6968rpred 10604 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
2  x.  M ) )  e.  RR )
70 2nn 10089 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
71 nnmulcl 9979 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  NN )
7270, 61, 71sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  e.  NN )
7369, 72nndivred 10004 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  e.  RR )
7428, 73remulcld 9072 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  e.  RR )
75 rehalfcl 10150 . . 3  |-  ( ( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  e.  RR  ->  ( ( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 )  e.  RR )
7674, 75syl 16 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  ( 2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 )  e.  RR )
77 0re 9047 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
7877a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  e.  RR )
79 8pos 10046 . . . . . . . 8  |-  0  <  8
8079a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  8 )
8178, 19, 20, 80, 24ltletrd 9186 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  N )
8220, 81elrpd 10602 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  N  e.  RR+ )
8382relogcld 20471 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  N
)  e.  RR )
8483, 82rerpdivcld 10631 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  N
)  /  N )  e.  RR )
8528, 84remulcld 9072 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  N )  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) )  e.  RR )
8613a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  e.  RR )
87 ppinncl 20910 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  e.  RR  /\  2  <_  ( 2  x.  M ) )  -> 
(π `  ( 2  x.  M ) )  e.  NN )
8836, 66, 87syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
(π `  ( 2  x.  M ) )  e.  NN )
8988nnred 9971 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
(π `  ( 2  x.  M ) )  e.  RR )
9089, 73remulcld 9072 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  e.  RR )
91 remulcl 9031 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  e.  RR  /\  (
2  x.  M )  e.  RR )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  x.  (
2  x.  M ) )  e.  RR )
9213, 36, 91sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  x.  (
2  x.  M ) )  e.  RR )
93 4pos 10042 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  4
9447, 93elrpii 10571 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR+
95 rpexpcl 11355 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  RR+  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
4 ^ M )  e.  RR+ )
9694, 33, 95sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 4 ^ M
)  e.  RR+ )
9761nnrpd 10603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  RR+ )
9896, 97rpdivcld 10621 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 4 ^ M )  /  M
)  e.  RR+ )
9998relogcld 20471 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
( 4 ^ M
)  /  M ) )  e.  RR )
10089, 69remulcld 9072 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( log `  (
2  x.  M ) ) )  e.  RR )
10197relogcld 20471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  M
)  e.  RR )
102 epr 12762 . . . . . . . . . 10  |-  _e  e.  RR+
103 rerpdivcl 10595 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR  /\  _e  e.  RR+ )  ->  ( M  /  _e )  e.  RR )
10434, 102, 103sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( M  /  _e )  e.  RR )
10596relogcld 20471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
4 ^ M ) )  e.  RR )
1066a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  e.  RR )
107 egt2lt3 12760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
108107simpri 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _e  <  3
109 3lt4 10101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  <  4
110 3re 10027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  e.  RR
1116, 110, 47lttri 9155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _e  <  3  /\  3  <  4 )  ->  _e  <  4
)
112108, 109, 111mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  <  4
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <  4 )
114106, 48, 34, 113, 56ltletrd 9186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <  M )
115106, 34, 114ltled 9177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <_  M )
1166leidi 9517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  <_  _e
117 logdivlt 20469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( _e  e.  RR  /\  _e  <_  _e )  /\  ( M  e.  RR  /\  _e  <_  M )
)  ->  ( _e  <  M  <->  ( ( log `  M )  /  M
)  <  ( ( log `  _e )  /  _e ) ) )
1186, 116, 117mpanl12 664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  RR  /\  _e  <_  M )  -> 
( _e  <  M  <->  ( ( log `  M
)  /  M )  <  ( ( log `  _e )  /  _e ) ) )
11934, 115, 118syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( _e  <  M  <->  ( ( log `  M
)  /  M )  <  ( ( log `  _e )  /  _e ) ) )
120114, 119mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  M
)  /  M )  <  ( ( log `  _e )  /  _e ) )
121 loge 20434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( log `  _e )  =  1
122121oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( log `  _e )  /  _e )  =  ( 1  /  _e )
123120, 122syl6breq 4211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  M
)  /  M )  <  ( 1  /  _e ) )
1246, 9pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _e  e.  RR  /\  0  <  _e )
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( _e  e.  RR  /\  0  <  _e ) )
12661nngt0d 9999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  M )
12734, 126jca 519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( M  e.  RR  /\  0  <  M ) )
128 lt2mul2div 9842 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( log `  M
)  e.  RR  /\  ( _e  e.  RR  /\  0  <  _e ) )  /\  ( 1  e.  RR  /\  ( M  e.  RR  /\  0  <  M ) ) )  ->  ( ( ( log `  M )  x.  _e )  < 
( 1  x.  M
)  <->  ( ( log `  M )  /  M
)  <  ( 1  /  _e ) ) )
129101, 125, 37, 127, 128syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  M )  x.  _e )  <  ( 1  x.  M )  <->  ( ( log `  M )  /  M )  <  (
1  /  _e ) ) )
130123, 129mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  M
)  x.  _e )  <  ( 1  x.  M ) )
13134recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  CC )
132131mulid2d 9062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 1  x.  M
)  =  M )
133130, 132breqtrd 4196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  M
)  x.  _e )  <  M )
134 ltmuldiv 9836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( log `  M
)  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  (
_e  e.  RR  /\  0  <  _e ) )  ->  ( ( ( log `  M )  x.  _e )  < 
M  <->  ( log `  M
)  <  ( M  /  _e ) ) )
135101, 34, 125, 134syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  M )  x.  _e )  <  M  <->  ( log `  M )  <  ( M  /  _e ) ) )
136133, 135mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  M
)  <  ( M  /  _e ) )
137101, 104, 105, 136ltsub2dd 9595 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
4 ^ M ) )  -  ( M  /  _e ) )  <  ( ( log `  ( 4 ^ M
) )  -  ( log `  M ) ) )
1383recni 9058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( log `  2 )  e.  CC
139138a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  2
)  e.  CC )
14012recni 9058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) )  e.  CC
141140a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 1  /  (
2  x.  _e ) )  e.  CC )
14272nnrpd 10603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  e.  RR+ )
143142rpcnd 10606 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  e.  CC )
144139, 141, 143subdird 9446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  x.  (
2  x.  M ) )  =  ( ( ( log `  2
)  x.  ( 2  x.  M ) )  -  ( ( 1  /  ( 2  x.  _e ) )  x.  ( 2  x.  M
) ) ) )
145139, 143mulcomd 9065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( 2  x.  M ) )  =  ( ( 2  x.  M )  x.  ( log `  2
) ) )
146 2z 10268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  ZZ
147 zmulcl 10280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  ZZ )
148146, 33, 147sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  e.  ZZ )
149 relogexp 20443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
2  x.  M )  e.  ZZ )  -> 
( log `  (
2 ^ ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( 2  x.  M )  x.  ( log `  2
) ) )
1501, 148, 149sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
2 ^ ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( 2  x.  M )  x.  ( log `  2
) ) )
15140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  e.  CC )
15261nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  NN0 )
153 2nn0 10194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN0
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  e.  NN0 )
155151, 152, 154expmuld 11481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2 ^ (
2  x.  M ) )  =  ( ( 2 ^ 2 ) ^ M ) )
156 sq2 11432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
157156oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 2 ) ^ M )  =  ( 4 ^ M
)
158155, 157syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2 ^ (
2  x.  M ) )  =  ( 4 ^ M ) )
159158fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
2 ^ ( 2  x.  M ) ) )  =  ( log `  ( 4 ^ M
) ) )
160145, 150, 1593eqtr2d 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( 2  x.  M ) )  =  ( log `  (
4 ^ M ) ) )
1617recni 9058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  _e )  e.  CC
162161a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  _e )  e.  CC )
16311a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  _e )  =/=  0 )
164143, 162, 163divrec2d 9750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  M )  /  (
2  x.  _e ) )  =  ( ( 1  /  ( 2  x.  _e ) )  x.  ( 2  x.  M ) ) )
1656recni 9058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  e.  CC
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  e.  CC )
1676, 9gt0ne0ii 9519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  =/=  0
168167a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  =/=  0 )
16914a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  =/=  0 )
170131, 166, 151, 168, 169divcan5d 9772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  M )  /  (
2  x.  _e ) )  =  ( M  /  _e ) )
171164, 170eqtr3d 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 1  / 
( 2  x.  _e ) )  x.  (
2  x.  M ) )  =  ( M  /  _e ) )
172160, 171oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  x.  ( 2  x.  M
) )  -  (
( 1  /  (
2  x.  _e ) )  x.  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( log `  ( 4 ^ M ) )  -  ( M  /  _e ) ) )
173144, 172eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  x.  (
2  x.  M ) )  =  ( ( log `  ( 4 ^ M ) )  -  ( M  /  _e ) ) )
17496, 97relogdivd 20474 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
( 4 ^ M
)  /  M ) )  =  ( ( log `  ( 4 ^ M ) )  -  ( log `  M
) ) )
175137, 173, 1743brtr4d 4202 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  x.  (
2  x.  M ) )  <  ( log `  ( ( 4 ^ M )  /  M
) ) )
176 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  if ( ( 2  x.  M
)  <_  ( (
2  x.  M )  _C  M ) ,  ( 2  x.  M
) ,  ( ( 2  x.  M )  _C  M ) )  =  if ( ( 2  x.  M )  <_  ( ( 2  x.  M )  _C  M ) ,  ( 2  x.  M ) ,  ( ( 2  x.  M )  _C  M ) )
177176chebbnd1lem1 21116 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 4 ^ M )  /  M
) )  <  (
(π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( log `  (
2  x.  M ) ) ) )
17858, 177syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
( 4 ^ M
)  /  M ) )  <  ( (π `  ( 2  x.  M
) )  x.  ( log `  ( 2  x.  M ) ) ) )
17992, 99, 100, 175, 178lttrd 9187 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  x.  (
2  x.  M ) )  <  ( (π `  ( 2  x.  M
) )  x.  ( log `  ( 2  x.  M ) ) ) )
18086, 100, 142ltmuldivd 10647 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( ( log `  2 )  -  ( 1  / 
( 2  x.  _e ) ) )  x.  ( 2  x.  M
) )  <  (
(π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( log `  (
2  x.  M ) ) )  <->  ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  <  (
( (π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( log `  (
2  x.  M ) ) )  /  (
2  x.  M ) ) ) )
181179, 180mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  <  ( ( (π `  ( 2  x.  M
) )  x.  ( log `  ( 2  x.  M ) ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )
18289recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
(π `  ( 2  x.  M ) )  e.  CC )
18368rpcnd 10606 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
2  x.  M ) )  e.  CC )
184142rpcnne0d 10613 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  M )  e.  CC  /\  ( 2  x.  M
)  =/=  0 ) )
185 divass 9652 . . . . . 6  |-  ( ( (π `  ( 2  x.  M ) )  e.  CC  /\  ( log `  ( 2  x.  M
) )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  e.  CC  /\  ( 2  x.  M
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
(π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( log `  (
2  x.  M ) ) )  /  (
2  x.  M ) )  =  ( (π `  ( 2  x.  M
) )  x.  (
( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) )
186182, 183, 184, 185syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( (π `  (
2  x.  M ) )  x.  ( log `  ( 2  x.  M
) ) )  / 
( 2  x.  M
) )  =  ( (π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) )
187181, 186breqtrd 4196 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  <  ( (π `  (
2  x.  M ) )  x.  ( ( log `  ( 2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) )
188 flle 11163 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  /  2 )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  <_ 
( N  /  2
) )
18931, 188syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( |_ `  ( N  /  2 ) )  <_  ( N  / 
2 ) )
19029, 189syl5eqbr 4205 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  <_  ( N  / 
2 ) )
191 lemuldiv2 9846 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 2  x.  M )  <_  N 
<->  M  <_  ( N  /  2 ) ) )
19234, 20, 17, 49, 191syl112anc 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  M )  <_  N  <->  M  <_  ( N  / 
2 ) ) )
193190, 192mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  <_  N )
194 ppiwordi 20898 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  x.  M )  <_  N )  -> 
(π `  ( 2  x.  M ) )  <_ 
(π `  N ) )
19536, 20, 193, 194syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
(π `  ( 2  x.  M ) )  <_ 
(π `  N ) )
19668, 142rpdivcld 10621 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  e.  RR+ )
19789, 28, 196lemul1d 10643 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  ( 2  x.  M ) )  <_ 
(π `  N )  <->  ( (π `  ( 2  x.  M
) )  x.  (
( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <_  ( (π `  N )  x.  (
( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) ) )
198195, 197mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <_  ( (π `  N )  x.  (
( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) )
19986, 90, 74, 187, 198ltletrd 9186 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  <  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  ( 2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) )
200 ltdiv1 9830 . . . 4  |-  ( ( ( ( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  e.  RR  /\  (
(π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  <  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  ( 2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <-> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  /  2
)  <  ( (
(π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 ) ) )
20186, 74, 17, 49, 200syl112anc 1188 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  <  (
(π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <->  ( ( ( log `  2 )  -  ( 1  / 
( 2  x.  _e ) ) )  / 
2 )  <  (
( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 ) ) )
202199, 201mpbid 202 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  /  2
)  <  ( (
(π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 ) )
20329chebbnd1lem2 21117 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  <  ( 2  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) ) )
204 remulcl 9031 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( log `  N
)  /  N )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  (
( log `  N
)  /  N ) )  e.  RR )
2055, 84, 204sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  (
( log `  N
)  /  N ) )  e.  RR )
20627nngt0d 9999 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  (π `  N
) )
207 ltmul2 9817 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  e.  RR  /\  (
2  x.  ( ( log `  N )  /  N ) )  e.  RR  /\  (
(π `  N )  e.  RR  /\  0  < 
(π `  N ) ) )  ->  ( (
( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  <  ( 2  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) )  <->  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  ( 2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <  ( (π `  N
)  x.  ( 2  x.  ( ( log `  N )  /  N
) ) ) ) )
20873, 205, 28, 206, 207syl112anc 1188 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  ( 2  x.  M
) )  /  (
2  x.  M ) )  <  ( 2  x.  ( ( log `  N )  /  N
) )  <->  ( (π `  N )  x.  (
( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <  ( (π `  N )  x.  (
2  x.  ( ( log `  N )  /  N ) ) ) ) )
209203, 208mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <  ( (π `  N )  x.  (
2  x.  ( ( log `  N )  /  N ) ) ) )
21028recnd 9070 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
(π `  N )  e.  CC )
21184recnd 9070 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  N
)  /  N )  e.  CC )
212210, 151, 211mul12d 9231 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  N )  x.  ( 2  x.  (
( log `  N
)  /  N ) ) )  =  ( 2  x.  ( (π `  N )  x.  (
( log `  N
)  /  N ) ) ) )
213209, 212breqtrd 4196 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <  ( 2  x.  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  N )  /  N ) ) ) )
214 ltdivmul 9838 . . . 4  |-  ( ( ( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  e.  RR  /\  ( (π `  N )  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 )  <  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  N )  /  N ) )  <-> 
( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <  ( 2  x.  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  N )  /  N ) ) ) ) )
21574, 85, 17, 49, 214syl112anc 1188 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( (π `  N )  x.  (
( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 )  <  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  N )  /  N ) )  <-> 
( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <  ( 2  x.  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  N )  /  N ) ) ) ) )
216213, 215mpbird 224 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  ( 2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 )  < 
( (π `  N )  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) ) )
21716, 76, 85, 202, 216lttrd 9187 1  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  /  2
)  <  ( (π `  N )  x.  (
( log `  N
)  /  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   ifcif 3699   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   3c3 10006   4c4 10007   8c8 10011   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   |_cfl 11156   ^cexp 11337    _C cbc 11548   _eceu 12620   logclog 20405  πcppi 20829
This theorem is referenced by:  chebbnd1  21119
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-e 12626  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-ppi 20835
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