Theorem ledivp1i 10828

Description: Less-than-or-equal-to and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 17-Sep-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltplus1.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
prodgt0.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltmul1.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
ledivp1i	⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ledivp1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltplus1.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltmul1.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
3		1re 9918	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	readdcli 9932	. . . . 5 ⊢ (𝐶 + 1) ∈ ℝ
5	2	ltp1i 10806	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 < (𝐶 + 1)
6	2, 4, 5	ltleii 10039	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ≤ (𝐶 + 1)
7		lemul2a 10757	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝐶 ≤ (𝐶 + 1)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
8	6, 7	mpan2 703	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
9	2, 4, 8	mp3an12 1406	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
10	1, 9	mpan 702	. . 3 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
11	10	3ad2ant1 1075	. 2 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
12		0re 9919	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
13	12, 2, 4	lelttri 10043	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < (𝐶 + 1)) → 0 < (𝐶 + 1))
14	5, 13	mpan2 703	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 𝐶 → 0 < (𝐶 + 1))
15	4	gt0ne0i 10442	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐶 + 1) ≠ 0)
16		prodgt0.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
17	16, 4	redivclzi 10670	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 + 1) ≠ 0 → (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
19		lemul1 10754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1))) → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
20	1, 19	mp3an1 1403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1))) → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
21	20	ex 449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ → (((𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1)) → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)))))
22	4, 21	mpani 708	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ → (0 < (𝐶 + 1) → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)))))
23	18, 22	mpcom 37	. . . . . . 7 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
24	23	biimpd 218	. . . . . 6 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
25	14, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐶 → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
26	25	imp 444	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)))
27	16	recni 9931	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
28	4	recni 9931	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 + 1) ∈ ℂ
29	27, 28	divcan1zi 10640	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 + 1) ≠ 0 → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
30	14, 15, 29	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐶 → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
32	26, 31	breqtrd 4609	. . 3 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ 𝐵)
33	32	3adant1 1072	. 2 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ 𝐵)
34	1, 2	remulcli 9933	. . 3 ⊢ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ
35	1, 4	remulcli 9933	. . 3 ⊢ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ∈ ℝ
36	34, 35, 16	letri 10045	. 2 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ∧ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ 𝐵) → (𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵)
37	11, 33, 36	syl2anc 691	1 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   / cdiv 10563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564

This theorem is referenced by: (None)