Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  declecOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem declecOLD 11420
 Description: Obsolete version of decleh 11417 as of 8-Sep-2021. (Contributed by AV, 17-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
decleOLD.1 𝐴 ∈ ℕ0
decleOLD.2 𝐵 ∈ ℕ0
decleOLD.3 𝐶 ∈ ℕ0
declecOLD.4 𝐷 ∈ ℕ0
declecOLD.5 𝐶 ≤ 9
declecOLD.6 𝐴 < 𝐵
Assertion
Ref Expression
declecOLD 𝐴𝐶𝐵𝐷

Proof of Theorem declecOLD
StepHypRef Expression
1 decleOLD.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℕ0
2 decleOLD.3 . . . 4 𝐶 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11388 . . 3 𝐴𝐶 ∈ ℕ0
43nn0rei 11180 . 2 𝐴𝐶 ∈ ℝ
5 decleOLD.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℕ0
6 declecOLD.4 . . . 4 𝐷 ∈ ℕ0
75, 6deccl 11388 . . 3 𝐵𝐷 ∈ ℕ0
87nn0rei 11180 . 2 𝐵𝐷 ∈ ℝ
9 declecOLD.5 . . . 4 𝐶 ≤ 9
102nn0zi 11279 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℤ
11 9nn0 11193 . . . . . . 7 9 ∈ ℕ0
1211nn0zi 11279 . . . . . 6 9 ∈ ℤ
13 zleltp1 11305 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (𝐶 ≤ 9 ↔ 𝐶 < (9 + 1)))
1410, 12, 13mp2an 704 . . . . 5 (𝐶 ≤ 9 ↔ 𝐶 < (9 + 1))
15 9p1e10OLD 11036 . . . . . 6 (9 + 1) = 10
1615breq2i 4591 . . . . 5 (𝐶 < (9 + 1) ↔ 𝐶 < 10)
1714, 16bitri 263 . . . 4 (𝐶 ≤ 9 ↔ 𝐶 < 10)
189, 17mpbi 219 . . 3 𝐶 < 10
19 declecOLD.6 . . 3 𝐴 < 𝐵
201, 5, 2, 6, 18, 19decltcOLD 11409 . 2 𝐴𝐶 < 𝐵𝐷
214, 8, 20ltleii 10039 1 𝐴𝐶𝐵𝐷
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 195   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954  9c9 10954  10c10 10955  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ;cdc 11369 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-10OLD 10964  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator