Theorem 0.999...OLD 14452

Description: Obsolete version of 0.999... 14451 as of 8-Sep-2021. (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0.999...OLD	⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = 1

Proof of Theorem 0.999...OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10reOLD 10986	. . . . . . 7 ⊢ 10 ∈ ℝ
2	1	recni 9931	. . . . . 6 ⊢ 10 ∈ ℂ
3		nnnn0 11176	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
4		expcl 12740	. . . . . 6 ⊢ ((10 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (10↑𝑘) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	sylancr 694	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (10↑𝑘) ∈ ℂ)
6	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 10 ∈ ℂ)
7		10posOLD 11000	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 10
8	1, 7	gt0ne0ii 10443	. . . . . . 7 ⊢ 10 ≠ 0
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 10 ≠ 0)
10		nnz 11276	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
11	6, 9, 10	expne0d 12876	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (10↑𝑘) ≠ 0)
12		9cn 10985	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
13		divrec 10580	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℂ ∧ (10↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (10↑𝑘) ≠ 0) → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
14	12, 13	mp3an1 1403	. . . . 5 ⊢ (((10↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (10↑𝑘) ≠ 0) → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
15	5, 11, 14	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
16	6, 9, 10	exprecd 12878	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 10)↑𝑘) = (1 / (10↑𝑘)))
17	16	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
18	15, 17	eqtr4d 2647	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · ((1 / 10)↑𝑘)))
19	18	sumeq2i 14277	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘))
20	1, 8	rereccli 10669	. . . . 5 ⊢ (1 / 10) ∈ ℝ
21	20	recni 9931	. . . 4 ⊢ (1 / 10) ∈ ℂ
22		0re 9919	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
23	1, 7	recgt0ii 10808	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (1 / 10)
24	22, 20, 23	ltleii 10039	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ (1 / 10)
25	20	absidi 13965	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ (1 / 10) → (abs‘(1 / 10)) = (1 / 10))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (abs‘(1 / 10)) = (1 / 10)
27		1lt10OLD 11115	. . . . . 6 ⊢ 1 < 10
28		recgt1 10798	. . . . . . 7 ⊢ ((10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10) → (1 < 10 ↔ (1 / 10) < 1))
29	1, 7, 28	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ (1 < 10 ↔ (1 / 10) < 1)
30	27, 29	mpbi 219	. . . . 5 ⊢ (1 / 10) < 1
31	26, 30	eqbrtri 4604	. . . 4 ⊢ (abs‘(1 / 10)) < 1
32		geoisum1c 14450	. . . 4 ⊢ ((9 ∈ ℂ ∧ (1 / 10) ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 / 10)) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10))))
33	12, 21, 31, 32	mp3an 1416	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10)))
34	12, 2, 8	divreci 10649	. . . 4 ⊢ (9 / 10) = (9 · (1 / 10))
35	12, 2, 8	divcan2i 10647	. . . . . 6 ⊢ (10 · (9 / 10)) = 9
36		ax-1cn 9873	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
37	2, 36, 21	subdii 10358	. . . . . . 7 ⊢ (10 · (1 − (1 / 10))) = ((10 · 1) − (10 · (1 / 10)))
38	2	mulid1i 9921	. . . . . . . 8 ⊢ (10 · 1) = 10
39	2, 8	recidi 10635	. . . . . . . 8 ⊢ (10 · (1 / 10)) = 1
40	38, 39	oveq12i 6561	. . . . . . 7 ⊢ ((10 · 1) − (10 · (1 / 10))) = (10 − 1)
41	36, 12	addcomi 10106	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 9) = (9 + 1)
42		df-10OLD 10964	. . . . . . . . 9 ⊢ 10 = (9 + 1)
43	41, 42	eqtr4i 2635	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 9) = 10
44	2, 36, 12, 43	subaddrii 10249	. . . . . . 7 ⊢ (10 − 1) = 9
45	37, 40, 44	3eqtrri 2637	. . . . . 6 ⊢ 9 = (10 · (1 − (1 / 10)))
46	35, 45	eqtri 2632	. . . . 5 ⊢ (10 · (9 / 10)) = (10 · (1 − (1 / 10)))
47		9re 10984	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℝ
48	47, 1, 8	redivcli 10671	. . . . . . 7 ⊢ (9 / 10) ∈ ℝ
49	48	recni 9931	. . . . . 6 ⊢ (9 / 10) ∈ ℂ
50	36, 21	subcli 10236	. . . . . 6 ⊢ (1 − (1 / 10)) ∈ ℂ
51	49, 50, 2, 8	mulcani 10545	. . . . 5 ⊢ ((10 · (9 / 10)) = (10 · (1 − (1 / 10))) ↔ (9 / 10) = (1 − (1 / 10)))
52	46, 51	mpbi 219	. . . 4 ⊢ (9 / 10) = (1 − (1 / 10))
53	34, 52	oveq12i 6561	. . 3 ⊢ ((9 / 10) / (9 / 10)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10)))
54		9pos 10999	. . . . . 6 ⊢ 0 < 9
55	47, 1, 54, 7	divgt0ii 10820	. . . . 5 ⊢ 0 < (9 / 10)
56	48, 55	gt0ne0ii 10443	. . . 4 ⊢ (9 / 10) ≠ 0
57	49, 56	dividi 10637	. . 3 ⊢ ((9 / 10) / (9 / 10)) = 1
58	33, 53, 57	3eqtr2i 2638	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = 1
59	19, 58	eqtri 2632	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = 1

Syntax hints:   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  9c9 10954  10c10 10955  ℕ₀cn0 11169  ↑cexp 12722  abscabs 13822  Σcsu 14264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-10OLD 10964  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265

This theorem is referenced by: (None)