Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-gcd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-gcd 26706
 Description: Example for df-gcd 15055. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-gcd (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd
StepHypRef Expression
1 6nn 11066 . . . 4 6 ∈ ℕ
21nnzi 11278 . . 3 6 ∈ ℤ
3 9nn 11069 . . . 4 9 ∈ ℕ
43nnzi 11278 . . 3 9 ∈ ℤ
5 neggcd 15082 . . 3 ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
62, 4, 5mp2an 704 . 2 (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7 6cn 10979 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
8 3cn 10972 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
9 6p3e9 11047 . . . . . 6 (6 + 3) = 9
107, 8, 9addcomli 10107 . . . . 5 (3 + 6) = 9
1110eqcomi 2619 . . . 4 9 = (3 + 6)
1211oveq2i 6560 . . 3 (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13 3z 11287 . . . . . 6 3 ∈ ℤ
14 gcdcom 15073 . . . . . 6 ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
152, 13, 14mp2an 704 . . . . 5 (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16 3p3e6 11038 . . . . . . 7 (3 + 3) = 6
1716eqcomi 2619 . . . . . 6 6 = (3 + 3)
1817oveq2i 6560 . . . . 5 (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
1915, 18eqtri 2632 . . . 4 (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20 gcdadd 15085 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
212, 13, 20mp2an 704 . . . 4 (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22 gcdid 15086 . . . . . 6 (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
2313, 22ax-mp 5 . . . . 5 (3 gcd 3) = (abs‘3)
24 gcdadd 15085 . . . . . 6 ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
2513, 13, 24mp2an 704 . . . . 5 (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26 3re 10971 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
27 0re 9919 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
28 3pos 10991 . . . . . . 7 0 < 3
2927, 26, 28ltleii 10039 . . . . . 6 0 ≤ 3
30 absid 13884 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
3126, 29, 30mp2an 704 . . . . 5 (abs‘3) = 3
3223, 25, 313eqtr3i 2640 . . . 4 (3 gcd (3 + 3)) = 3
3319, 21, 323eqtr3i 2640 . . 3 (6 gcd (3 + 6)) = 3
3412, 33eqtri 2632 . 2 (6 gcd 9) = 3
356, 34eqtri 2632 1 (-6 gcd 9) = 3
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   ≤ cle 9954  -cneg 10146  3c3 10948  6c6 10951  9c9 10954  ℤcz 11254  abscabs 13822   gcd cgcd 15054 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055 This theorem is referenced by:  ex-lcm  26707
 Copyright terms: Public domain W3C validator