Theorem dnizeq0 31635

Description: The distance to nearest integer is zero for integers. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnizeq0.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnizeq0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
dnizeq0	⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) = 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnizeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnizeq0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zred 11358	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		dnizeq0.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
4	3	dnival 31631	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑇‘𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
6		halfre 11123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
8	1, 7	jca 553	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
9		flzadd 12489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))))
11	6	rexri 9976	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ*
12		0re 9919	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		halfgt0 11125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < (1 / 2)
14	12, 6, 13	ltleii 10039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
15		halflt1 11127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) < 1
16	11, 14, 15	3pm3.2i 1232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
17		0xr 9965	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ*
18		1re 9918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
19	18	rexri 9976	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ*
20	17, 19	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*)
21		elico1 12089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 / 2) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 / 2) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1))
23	16, 22	mpbir 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 2) ∈ (0[,)1)
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ (0[,)1))
25		ico01fl0 12482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) ∈ (0[,)1) → (⌊‘(1 / 2)) = 0)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(1 / 2)) = 0)
27	26	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))) = (𝐴 + 0))
28	2	recnd 9947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
29	28	addid1d 10115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)
30	27, 29	eqtrd 2644	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))) = 𝐴)
31	10, 30	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = 𝐴)
32	31	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) = (𝐴 − 𝐴))
33	28	subidd 10259	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = 0)
34	32, 33	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) = 0)
35	34	fveq2d 6107	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) = (abs‘0))
36		abs0 13873	. . . 4 ⊢ (abs‘0) = 0
37	36	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘0) = 0)
38	35, 37	eqtrd 2644	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) = 0)
39	5, 38	eqtrd 2644	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  2c2 10947  ℤcz 11254  [,)cico 12048  ⌊cfl 12453  abscabs 13822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824

This theorem is referenced by:  knoppndvlem6  31678  knoppndvlem8  31680