Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnizeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnizeq0 31635
 Description: The distance to nearest integer is zero for integers. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dnizeq0.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnizeq0.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
dnizeq0 (𝜑 → (𝑇𝐴) = 0)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnizeq0
StepHypRef Expression
1 dnizeq0.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
21zred 11358 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 dnizeq0.t . . . 4 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
43dnival 31631 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑇𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
52, 4syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑇𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
6 halfre 11123 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
81, 7jca 553 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
9 flzadd 12489 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))))
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))))
116rexri 9976 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℝ*
12 0re 9919 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
13 halfgt0 11125 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < (1 / 2)
1412, 6, 13ltleii 10039 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ (1 / 2)
15 halflt1 11127 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) < 1
1611, 14, 153pm3.2i 1232 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
17 0xr 9965 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ*
18 1re 9918 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
1918rexri 9976 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ*
2017, 19pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*)
21 elico1 12089 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 / 2) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 2) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1))
2316, 22mpbir 220 . . . . . . . . . . 11 (1 / 2) ∈ (0[,)1)
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / 2) ∈ (0[,)1))
25 ico01fl0 12482 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) ∈ (0[,)1) → (⌊‘(1 / 2)) = 0)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(1 / 2)) = 0)
2726oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))) = (𝐴 + 0))
282recnd 9947 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2928addid1d 10115 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)
3027, 29eqtrd 2644 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))) = 𝐴)
3110, 30eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = 𝐴)
3231oveq1d 6564 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) = (𝐴𝐴))
3328subidd 10259 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐴) = 0)
3432, 33eqtrd 2644 . . . 4 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) = 0)
3534fveq2d 6107 . . 3 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) = (abs‘0))
36 abs0 13873 . . . 4 (abs‘0) = 0
3736a1i 11 . . 3 (𝜑 → (abs‘0) = 0)
3835, 37eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) = 0)
395, 38eqtrd 2644 1 (𝜑 → (𝑇𝐴) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  2c2 10947  ℤcz 11254  [,)cico 12048  ⌊cfl 12453  abscabs 13822 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824 This theorem is referenced by:  knoppndvlem6  31678  knoppndvlem8  31680
 Copyright terms: Public domain W3C validator