Theorem ltleii 6756

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference).

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
ltlei.1	|- A < B

Assertion

Ref	Expression
ltleii	|- A <_ B

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 |- A < B
2		lt.1	. . 3 |- A e. RR
3		lt.2	. . 3 |- B e. RR
4	2, 3	ltlei 6755	. 2 |- (A < B -> A <_ B)
5	1, 4	ax-mp 7	1 |- A <_ B

Syntax hints:   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  RRcr 6385   <_ cle 6448   < clt 6653

This theorem is referenced by:  lemulge11 7030  ledivp1i 7089  ltdivp1i 7090  flhalf 7487  expge0 7833  exple1 7852  expubnd 7853  sqrlem6 7928  sqrlem24 7946  sqrgt0ii 7947  sqrlem26 7948  sqr1 7966  sqr2gt1lt2 7969  sqr2irrlem1 7974  sqr2irrlem4 7977  absexp 8119  abs1mi 8156  faclbnd3 8199  faclbnd4lem1 8200  bcpasc2i 8219  expcnvlem2 8489  georeclim 8502  geoisumr 8505  0.999... 8508  ivthlem4 8546  ivthlem7 8549  ivthlem8 8550  isupivthi 8552  dsupivthlem 8553  erelem2 8582  efaddlem10 8609  efaddlem20 8619  ef01tllem2 8646  ef01tllem2OLD 8647  absef01tlubi 8650  reeff1olem1 8689  sinbnd 8731  cosbnd 8732  cos2bnd 8741  efieq1re 8751  dscmet 9196  nvm1 9624  nvmtri 9631  nv1 9636  ipid 9702  nmosetn0 9767  nmo0 9791  ubthlem12 9883  ubthlem12OLD 9884  ubthlem13 9885  ubthlem13OLD 9886  minveclem16 9905  minveclem21 9910  minveclem25 9914  minveclem35 9924  minveclem38 9927  pilem2 10021  sinhalfpilem 10028  sincosq1lem 10052  sincos4thpi 10060  sincos6thpi 10061  coskpi 10064  sineq0 10065  sineq0OLD 10066  sineq0re 10067  efifolem4 10079  efifolem5 10080  efifolem6 10081  efifolem7 10082  efif1lem7 10090  resslogrn 10107  normlem6 10614  normlem7tALT 10618  norm-ii.i 10637  normsubi 10641  normpar2i 10656  norm1 10754  projlem2 10820  projlem4 10822  projlem5 10823  projlem6 10824  projlem18 10836  projlem28 10846  nmopsetn0 11429  nmfnsetn0 11442  nmopge0 11472  nmfnge0 11488  nmop0 11547  nmfn0 11548  nmcopexlem5 11592  nmcfnexlem5 11621  hstle1 11798  strlem1 11822  strlem3a 11824  strlem5 11827  jplem1 11840  isprm3 13776  4nprm 13781  cntrsetlem 14999  rddif 15798  absrdbnd 15799  fdc 15812  fsumltisumi 15823  mettrifi 15847  iihalf1 15872  heiborlem30 15984  heiborlem31 15985  heiborlem32 15986  heiborlem35 15989  rrntotbnd 16022  phtpyid 16049  phtpycom 16050  phtpycolem1 16051  phtpycolem2 16052  phtpycolem3 16053  phtpycolem4 16054  phtpycolem5 16055  phtpyco 16056  reparpht 16065  pcoval1 16074  pcoval2 16075  pcocn 16076  pco0 16077  pco1 16078  pcohtpylem1 16080  pcohtpylem2 16081  pcohtpylem3 16082  pcohtpy 16083  pcopt 16084  pcoass 16085  pcorevlem 16086  pcorev 16087  pi1gp 16095  stb2val1 16735  stb3val1 16739  stb3val2 16740

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-ltp 6242  df-enr 6318  df-nr 6319  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-lt 6399  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658

Copyright terms: Public domain