MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltleii Unicode version

Theorem ltleii 9152
Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
lt.2  |-  B  e.  RR
ltlei.1  |-  A  < 
B
Assertion
Ref Expression
ltleii  |-  A  <_  B

Proof of Theorem ltleii
StepHypRef Expression
1 ltlei.1 . 2  |-  A  < 
B
2 lt.1 . . 3  |-  A  e.  RR
3 lt.2 . . 3  |-  B  e.  RR
42, 3ltlei 9151 . 2  |-  ( A  <  B  ->  A  <_  B )
51, 4ax-mp 8 1  |-  A  <_  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   RRcr 8945    < clt 9076    <_ cle 9077
This theorem is referenced by:  0le1  9507  ledivp1i  9892  ltdivp1i  9893  4fvwrd4  11076  fzo0to42pr  11141  expubnd  11395  faclbnd4lem1  11539  sqr4  12033  sqr9  12034  sqr2gt1lt2  12035  absrdbnd  12100  sqreulem  12118  amgm2  12128  sqrpclii  12141  climcndslem1  12584  climcndslem2  12585  geo2lim  12607  0.999...  12613  efcllem  12635  ege2le3  12647  ef01bndlem  12740  sin01bnd  12741  cos01bnd  12742  cos2bnd  12744  sin01gt0  12746  rpnnen2lem3  12771  rpnnen2lem4  12772  rpnnen2lem9  12777  rpnnen2  12780  bitsp1o  12900  bitsmod  12903  isprm3  13043  strlemor1  13511  strleun  13514  abvtrivd  15883  iihalf1  18909  elii1  18913  htpycc  18958  pcoval1  18991  pco0  18992  pcoval2  18994  pcocn  18995  pcohtpylem  18997  pcopt  19000  pcopt2  19001  pcoass  19002  pcorevlem  19004  minveclem2  19280  vitalilem4  19456  vitali  19458  mbfi1fseqlem6  19565  iblcnlem1  19632  dveflem  19816  aaliou3lem2  20213  aaliou3lem8  20215  sinhalfpilem  20327  sincosq1lem  20358  sincos4thpi  20374  tan4thpi  20375  sincos6thpi  20376  tanregt0  20394  efif1olem4  20400  relogrn  20412  argregt0  20458  argrege0  20459  logneg2  20463  asin1  20687  reasinsin  20689  log2cnv  20737  log2tlbnd  20738  log2ub  20742  harmonicbnd3  20799  ppisval  20839  ppiublem1  20939  ppiub  20941  bcmono  21014  bposlem1  21021  bposlem3  21023  bposlem4  21024  bposlem5  21025  bposlem7  21027  bposlem8  21028  bposlem9  21029  lgsdir2lem1  21060  m1lgs  21099  2sqlem11  21112  chebbnd1lem3  21118  chpchtlim  21126  dchrvmasumlem2  21145  dchrvmasumlema  21147  dchrvmasumiflem1  21148  logdivsum  21180  mulog2sumlem2  21182  log2sumbnd  21191  chpdifbndlem1  21200  pntpbnd1a  21232  pntpbnd2  21234  pntibndlem3  21239  pntlemk  21253  usgraexvlem  21367  usgraex0elv  21368  usgraex1elv  21369  usgraex2elv  21370  usgraex3elv  21371  constr3pthlem3  21597  4cycl4v4e  21606  4cycl4dv4e  21608  konigsberg  21662  ex-fl  21708  ipidsq  22162  minvecolem2  22330  normlem6  22570  normpar2i  22611  sqsscirc1  24259  rnlogblem  24352  4bc2eq6  25157  axlowdimlem3  25787  axlowdimlem6  25790  axlowdimlem7  25791  axlowdimlem16  25800  axlowdimlem17  25801  axlowdim  25804  fdc  26339  heiborlem8  26417  jm2.20nn  26958  lhe4.4ex1a  27414  itgsin0pilem1  27611  itgsinexplem1  27615  stoweidlem26  27642  wallispilem2  27682  wallispilem4  27684  wallispi  27686  wallispi2  27689  stirlinglem1  27690  stirlinglem6  27695  stirlinglem7  27696  stirlinglem15  27704  stirlingr  27706  usgra2pthlem1  28040
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-pre-lttri 9020
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082
  Copyright terms: Public domain W3C validator