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Theorem heron 23751
Description: Heron's formula gives the area of a triangle given only the side lengths. If points A, B, C form a triangle, then the area of the triangle, represented here as 
( 1  /  2
)  x.  X  x.  Y  x.  abs ( sin O ), is equal to the square root of  S  x.  ( S  -  X )  x.  ( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ), where  S  =  ( X  +  Y  +  Z )  /  2 is half the perimeter of the triangle. Based on work by Jon Pennant. This is Metamath 100 proof #57. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
heron.f  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
heron.x  |-  X  =  ( abs `  ( B  -  C )
)
heron.y  |-  Y  =  ( abs `  ( A  -  C )
)
heron.z  |-  Z  =  ( abs `  ( A  -  B )
)
heron.o  |-  O  =  ( ( B  -  C ) F ( A  -  C ) )
heron.s  |-  S  =  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  2
)
heron.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
heron.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
heron.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
heron.ac  |-  ( ph  ->  A  =/=  C )
heron.bc  |-  ( ph  ->  B  =/=  C )
Assertion
Ref Expression
heron  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y
) )  x.  ( abs `  ( sin `  O
) ) )  =  ( sqr `  (
( S  x.  ( S  -  X )
)  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    x, C, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    S( x, y)    F( x, y)    O( x, y)    X( x, y)    Y( x, y)    Z( x, y)

Proof of Theorem heron
StepHypRef Expression
1 1red 9659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
21rehalfcld 10860 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
3 heron.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( abs `  ( B  -  C )
)
4 heron.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
5 heron.c . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
64, 5subcld 9987 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  -  C
)  e.  CC )
76abscld 13486 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  e.  RR )
83, 7syl5eqel 2514 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
9 heron.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( abs `  ( A  -  C )
)
10 heron.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
1110, 5subcld 9987 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  -  C
)  e.  CC )
1211abscld 13486 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  C )
)  e.  RR )
139, 12syl5eqel 2514 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
148, 13remulcld 9672 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  x.  Y
)  e.  RR )
152, 14remulcld 9672 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( X  x.  Y )
)  e.  RR )
16 heron.o . . . . . . 7  |-  O  =  ( ( B  -  C ) F ( A  -  C ) )
17 negpitopissre 23476 . . . . . . . . 9  |-  ( -u pi (,] pi )  C_  RR
18 heron.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
19 heron.bc . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  =/=  C )
204, 5, 19subne0d 9996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  -  C
)  =/=  0 )
21 heron.ac . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  =/=  C )
2210, 5, 21subne0d 9996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  -  C
)  =/=  0 )
2318, 6, 20, 11, 22angcld 23721 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  C ) F ( A  -  C ) )  e.  ( -u pi (,] pi ) )
2417, 23sseldi 3462 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  C ) F ( A  -  C ) )  e.  RR )
2524recnd 9670 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  C ) F ( A  -  C ) )  e.  CC )
2616, 25syl5eqel 2514 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O  e.  CC )
2726sincld 14172 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sin `  O
)  e.  CC )
2827abscld 13486 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( sin `  O ) )  e.  RR )
2915, 28remulcld 9672 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y
) )  x.  ( abs `  ( sin `  O
) ) )  e.  RR )
30 0re 9644 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
31 halfre 10829 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
32 halfgt0 10831 . . . . . . 7  |-  0  <  ( 1  /  2
)
3330, 31, 32ltleii 9758 . . . . . 6  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
3433a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 1  /  2 ) )
356absge0d 13494 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  ( B  -  C
) ) )
3635, 3syl6breqr 4461 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  X )
3711absge0d 13494 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  ( A  -  C
) ) )
3837, 9syl6breqr 4461 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  Y )
398, 13, 36, 38mulge0d 10191 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  x.  Y ) )
402, 14, 34, 39mulge0d 10191 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y ) ) )
4127absge0d 13494 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  ( sin `  O
) ) )
4215, 28, 40, 41mulge0d 10191 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( 1  /  2
)  x.  ( X  x.  Y ) )  x.  ( abs `  ( sin `  O ) ) ) )
4329, 42sqrtsqd 13470 . 2  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y
) )  x.  ( abs `  ( sin `  O
) ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y
) )  x.  ( abs `  ( sin `  O
) ) ) )
44 halfcn 10830 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
4544a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
468recnd 9670 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
4713recnd 9670 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
4846, 47mulcld 9664 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  x.  Y
)  e.  CC )
4945, 48mulcld 9664 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( X  x.  Y )
)  e.  CC )
5028recnd 9670 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( sin `  O ) )  e.  CC )
5149, 50sqmuld 12428 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y ) )  x.  ( abs `  ( sin `  O ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( X  x.  Y ) ) ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( sin `  O ) ) ^ 2 ) ) )
52 2cnd 10683 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
53 2ne0 10703 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
5453a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
5548, 52, 54sqdivd 12429 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  Y )  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( X  x.  Y
) ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) ) )
5648, 52, 54divrec2d 10388 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  Y )  /  2
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y ) ) )
5756oveq1d 6317 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  Y )  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( X  x.  Y ) ) ^ 2 ) )
58 sq2 12371 . . . . . . . 8  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
5958a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ 2 )  =  4 )
6059oveq2d 6318 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  Y ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( X  x.  Y
) ^ 2 )  /  4 ) )
6155, 57, 603eqtr3d 2471 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( X  x.  Y
) ^ 2 )  /  4 ) )
6216, 24syl5eqel 2514 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O  e.  RR )
6362resincld 14185 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sin `  O
)  e.  RR )
64 absresq 13354 . . . . . 6  |-  ( ( sin `  O )  e.  RR  ->  (
( abs `  ( sin `  O ) ) ^ 2 )  =  ( ( sin `  O
) ^ 2 ) )
6563, 64syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( sin `  O ) ) ^ 2 )  =  ( ( sin `  O
) ^ 2 ) )
6661, 65oveq12d 6320 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  (
( abs `  ( sin `  O ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( X  x.  Y
) ^ 2 )  /  4 )  x.  ( ( sin `  O
) ^ 2 ) ) )
6748sqcld 12414 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  Y ) ^ 2 )  e.  CC )
6827sqcld 12414 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  O
) ^ 2 )  e.  CC )
6967, 68mulcld 9664 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  Y ) ^
2 )  x.  (
( sin `  O
) ^ 2 ) )  e.  CC )
70 4cn 10688 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
7170a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
72 heron.s . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  2
)
738, 13readdcld 9671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  +  Y
)  e.  RR )
74 heron.z . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Z  =  ( abs `  ( A  -  B )
)
7510, 4subcld 9987 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
7675abscld 13486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  RR )
7774, 76syl5eqel 2514 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR )
7873, 77readdcld 9671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  Y )  +  Z
)  e.  RR )
7978rehalfcld 10860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  2
)  e.  RR )
8072, 79syl5eqel 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
8180recnd 9670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
8281, 46subcld 9987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  -  X
)  e.  CC )
8381, 82mulcld 9664 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  x.  ( S  -  X )
)  e.  CC )
8481, 47subcld 9987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  -  Y
)  e.  CC )
8577recnd 9670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  CC )
8681, 85subcld 9987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  -  Z
)  e.  CC )
8784, 86mulcld 9664 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z )
)  e.  CC )
8883, 87mulcld 9664 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  x.  ( S  -  X
) )  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) )  e.  CC )
8971, 88mulcld 9664 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( S  x.  ( S  -  X )
)  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z ) ) ) )  e.  CC )
90 4ne0 10707 . . . . . . . 8  |-  4  =/=  0
9190a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  4  =/=  0 )
9252, 48sqmuld 12428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y
) ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( X  x.  Y ) ^
2 ) ) )
9359oveq1d 6317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ 2 )  x.  (
( X  x.  Y
) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( X  x.  Y ) ^
2 ) ) )
9492, 93eqtr2d 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( X  x.  Y
) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^ 2 ) )
9594oveq1d 6317 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( X  x.  Y ) ^ 2 ) )  x.  (
( sin `  O
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y )
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  O ) ^ 2 ) ) )
9671, 67, 68mulassd 9667 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( X  x.  Y ) ^ 2 ) )  x.  (
( sin `  O
) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( ( X  x.  Y ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  O
) ^ 2 ) ) ) )
9752, 48mulcld 9664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( X  x.  Y )
)  e.  CC )
9897sqcld 12414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y
) ) ^ 2 )  e.  CC )
9998, 68mulcld 9664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  (
( sin `  O
) ^ 2 ) )  e.  CC )
10047, 85mulcld 9664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  x.  Z
)  e.  CC )
10152, 100mulcld 9664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
)  e.  CC )
102101sqcld 12414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) ) ^ 2 )  e.  CC )
10347sqcld 12414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  e.  CC )
10485sqcld 12414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Z ^ 2 )  e.  CC )
10546sqcld 12414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  CC )
106104, 105subcld 9987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
107103, 106addcld 9663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  e.  CC )
108107sqcld 12414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
109102, 108subcld 9987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^
2 )  -  (
( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
11026coscld 14173 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( cos `  O
)  e.  CC )
111110sqcld 12414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( cos `  O
) ^ 2 )  e.  CC )
11298, 111mulcld 9664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  (
( cos `  O
) ^ 2 ) )  e.  CC )
113 sincossq 14218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( O  e.  CC  ->  (
( ( sin `  O
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  O ) ^ 2 ) )  =  1 )
11426, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  O ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  O ) ^ 2 ) )  =  1 )
115114oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  (
( ( sin `  O
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  O ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  1 ) )
11698, 68, 111adddid 9668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  (
( ( sin `  O
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  O ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  O
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y )
) ^ 2 )  x.  ( ( cos `  O ) ^ 2 ) ) ) )
1171032timesd 10856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( Y ^ 2 ) )  =  ( ( Y ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )
118103, 106, 103ppncand 10027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( Y ^
2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )
119117, 118eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( Y ^ 2 ) )  =  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ) )
1201062timesd 10856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )
121103, 106, 106pnncand 10026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  -  ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) )
122120, 121eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) )  -  ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ) )
123119, 122oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  (
2  x.  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  -  ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ) ) )
124 2t2e4 10760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
125124, 71syl5eqel 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  2 )  e.  CC )
126125, 103, 106mulassd 9667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( ( Y ^ 2 )  x.  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ) )
127125, 103mulcld 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  e.  CC )
128127, 104, 105subdid 10075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( Z ^
2 ) )  -  ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
12952sqvald 12413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ 2 )  =  ( 2  x.  2 ) )
13047, 85sqmuld 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( Y  x.  Z ) ^ 2 )  =  ( ( Y ^ 2 )  x.  ( Z ^
2 ) ) )
131129, 130oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ 2 )  x.  (
( Y  x.  Z
) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( ( Y ^ 2 )  x.  ( Z ^ 2 ) ) ) )
13252, 100sqmuld 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( Y  x.  Z ) ^
2 ) ) )
133125, 103, 104mulassd 9667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( Z ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( ( Y ^
2 )  x.  ( Z ^ 2 ) ) ) )
134131, 132, 1333eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( Z ^
2 ) ) )
13546, 47sqmuld 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  Y ) ^ 2 )  =  ( ( X ^ 2 )  x.  ( Y ^
2 ) ) )
136105, 103mulcomd 9665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  =  ( ( Y ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) ) )
137135, 136eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  Y ) ^ 2 )  =  ( ( Y ^ 2 )  x.  ( X ^
2 ) ) )
138129, 137oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ 2 )  x.  (
( X  x.  Y
) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( ( Y ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
139125, 103, 105mulassd 9667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( ( Y ^
2 )  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
140138, 92, 1393eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) ) )
141134, 140oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^
2 )  -  (
( 2  x.  ( X  x.  Y )
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( Z ^
2 ) )  -  ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
142128, 141eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 ) ) )
14352, 52, 103, 106mul4d 9846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  2 )  x.  (
( Y ^ 2 )  x.  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( 2  x.  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ) )
144126, 142, 1433eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^
2 )  -  (
( 2  x.  ( X  x.  Y )
) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( 2  x.  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ) )
145103, 106subcld 9987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
2 )  -  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  e.  CC )
146 subsq 12382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( ( Y ^
2 )  -  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  -  ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ) ) )
147107, 145, 146syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) )  +  ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  -  ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ) ) )
148123, 144, 1473eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^
2 )  -  (
( 2  x.  ( X  x.  Y )
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
149148oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^
2 )  -  (
( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
150102, 98nncand 9992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^
2 )  -  (
( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^ 2 ) )
151145sqcld 12414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
152102, 108, 151subsubd 10015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^
2 )  -  (
( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
153149, 150, 1523eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
15498mulid1d 9661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  1 )  =  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^ 2 ) )
155105, 103addcld 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  e.  CC )
15648, 110mulcld 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  Y )  x.  ( cos `  O ) )  e.  CC )
15752, 156mulcld 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( X  x.  Y
)  x.  ( cos `  O ) ) )  e.  CC )
158155, 157nncand 9992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  -  (
( ( X ^
2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( X  x.  Y )  x.  ( cos `  O
) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( X  x.  Y )  x.  ( cos `  O
) ) ) )
159103, 104subcld 9987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
2 )  -  ( Z ^ 2 ) )  e.  CC )
160159, 105addcomd 9836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( Z ^ 2 ) )  +  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( ( Y ^
2 )  -  ( Z ^ 2 ) ) ) )
161103, 104, 105subsubd 10015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
2 )  -  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( Z ^ 2 ) )  +  ( X ^
2 ) ) )
162105, 103, 104addsubassd 10007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  -  ( Z ^ 2 ) )  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( ( Y ^
2 )  -  ( Z ^ 2 ) ) ) )
163160, 161, 1623eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
2 )  -  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  -  ( Z ^
2 ) ) )
16418, 3, 9, 74, 16lawcos 23732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( Z ^ 2 )  =  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( ( X  x.  Y )  x.  ( cos `  O
) ) ) ) )
16510, 4, 5, 21, 19, 164syl32anc 1272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( Z ^ 2 )  =  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( X  x.  Y )  x.  ( cos `  O ) ) ) ) )
166165oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  -  ( Z ^ 2 ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^
2 ) )  -  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( ( X  x.  Y )  x.  ( cos `  O
) ) ) ) ) )
167163, 166eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
2 )  -  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  -  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^
2 ) )  -  ( 2  x.  (
( X  x.  Y
)  x.  ( cos `  O ) ) ) ) ) )
16852, 48, 110mulassd 9667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y
) )  x.  ( cos `  O ) )  =  ( 2  x.  ( ( X  x.  Y )  x.  ( cos `  O ) ) ) )
169158, 167, 1683eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
2 )  -  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) )  x.  ( cos `  O
) ) )
170169oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) )  x.  ( cos `  O
) ) ^ 2 ) )
17197, 110sqmuld 12428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) )  x.  ( cos `  O
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y )
) ^ 2 )  x.  ( ( cos `  O ) ^ 2 ) ) )
172170, 171eqtr2d 2464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  (
( cos `  O
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ^ 2 ) )
173172oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y )
) ^ 2 )  x.  ( ( cos `  O ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
174153, 154, 1733eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  1 )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^ 2 )  x.  ( ( cos `  O
) ^ 2 ) ) ) )
175115, 116, 1743eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  O
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y )
) ^ 2 )  x.  ( ( cos `  O ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y )
) ^ 2 )  x.  ( ( cos `  O ) ^ 2 ) ) ) )
17699, 109, 112, 175addcan2ad 9840 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  (
( sin `  O
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
177 subsq 12382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
)  e.  CC  /\  ( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
)  +  ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  -  (
( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ) ) )
178101, 107, 177syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^
2 )  -  (
( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
)  +  ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  -  (
( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ) ) )
179103, 104addcld 9663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  e.  CC )
180101, 179, 105addsubassd 10007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  +  ( ( Y ^
2 )  +  ( Z ^ 2 ) ) )  -  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  +  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )
181103, 104, 105addsubassd 10007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  -  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )
182181oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  +  ( ( ( Y ^
2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  +  ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ) )
183180, 182eqtr2d 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  +  ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
)  +  ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^
2 ) ) )  -  ( X ^
2 ) ) )
184 binom2 12389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Y  e.  CC  /\  Z  e.  CC )  ->  ( ( Y  +  Z ) ^ 2 )  =  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) )  +  ( Z ^
2 ) ) )
18547, 85, 184syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  Z ) ^ 2 )  =  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) )  +  ( Z ^
2 ) ) )
186103, 101, 104add32d 9858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
) )  +  ( Z ^ 2 ) )  =  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) ) ) )
187179, 101addcomd 9836 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  +  ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) ) ) )
188185, 186, 1873eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  Z ) ^ 2 )  =  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  +  ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) ) ) )
189188oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  +  Z ) ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  +  ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) ) )  -  ( X ^ 2 ) ) )
19047, 85addcld 9663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Y  +  Z
)  e.  CC )
191 subsq 12382 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Y  +  Z
)  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( ( Y  +  Z ) ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( ( Y  +  Z )  +  X )  x.  ( ( Y  +  Z )  -  X
) ) )
192190, 46, 191syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  +  Z ) ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( ( Y  +  Z )  +  X )  x.  ( ( Y  +  Z )  -  X
) ) )
19372oveq2i 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  x.  S )  =  ( 2  x.  (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  2 ) )
19478recnd 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  Y )  +  Z
)  e.  CC )
195194, 52, 54divcan2d 10386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  2 ) )  =  ( ( X  +  Y )  +  Z ) )
196193, 195syl5eq 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  =  ( ( X  +  Y )  +  Z ) )
19746, 47, 85addassd 9666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  Y )  +  Z
)  =  ( X  +  ( Y  +  Z ) ) )
19846, 190addcomd 9836 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( X  +  ( Y  +  Z ) )  =  ( ( Y  +  Z )  +  X ) )
199196, 197, 1983eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  =  ( ( Y  +  Z )  +  X ) )
20052, 81, 46subdid 10075 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( S  -  X )
)  =  ( ( 2  x.  S )  -  ( 2  x.  X ) ) )
201196, 197eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  =  ( X  +  ( Y  +  Z ) ) )
202462timesd 10856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  X
)  =  ( X  +  X ) )
203201, 202oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  -  (
2  x.  X ) )  =  ( ( X  +  ( Y  +  Z ) )  -  ( X  +  X ) ) )
20446, 190, 46pnpcand 10024 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( Y  +  Z
) )  -  ( X  +  X )
)  =  ( ( Y  +  Z )  -  X ) )
205200, 203, 2043eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( S  -  X )
)  =  ( ( Y  +  Z )  -  X ) )
206199, 205oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  x.  (
2  x.  ( S  -  X ) ) )  =  ( ( ( Y  +  Z
)  +  X )  x.  ( ( Y  +  Z )  -  X ) ) )
207192, 206eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  +  Z ) ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  S )  x.  ( 2  x.  ( S  -  X )
) ) )
20852, 81, 52, 82mul4d 9846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  x.  (
2  x.  ( S  -  X ) ) )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( S  x.  ( S  -  X
) ) ) )
209124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  2 )  =  4 )
210209oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( S  x.  ( S  -  X ) ) )  =  ( 4  x.  ( S  x.  ( S  -  X )
) ) )
211207, 208, 2103eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  +  Z ) ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( S  x.  ( S  -  X )
) ) )
212183, 189, 2113eqtr2d 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  +  ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) )  =  ( 4  x.  ( S  x.  ( S  -  X
) ) ) )
213101, 179subcld 9987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  -  (
( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) ) )  e.  CC )
214213, 105addcomd 9836 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  -  ( ( Y ^
2 )  +  ( Z ^ 2 ) ) )  +  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  -  ( ( Y ^
2 )  +  ( Z ^ 2 ) ) ) ) )
215181oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  -  (
( ( Y ^
2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  -  ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ) )
216101, 179, 105subsubd 10015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  -  (
( ( Y ^
2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
)  -  ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^
2 ) ) )  +  ( X ^
2 ) ) )
217215, 216eqtr3d 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  -  (
( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
)  -  ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^
2 ) ) )  +  ( X ^
2 ) ) )
218105, 179, 101subsub2d 10016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  -  (
( ( Y ^
2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  -  ( ( Y ^
2 )  +  ( Z ^ 2 ) ) ) ) )
219214, 217, 2183eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  -  (
( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^
2 ) )  -  ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
) ) ) )
220103, 104, 101addsubassd 10007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( Y  x.  Z ) ) )  =  ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
) ) ) )
221104, 101subcld 9987 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( Z ^
2 )  -  (
2  x.  ( Y  x.  Z ) ) )  e.  CC )
222103, 221addcomd 9836 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ) )  =  ( ( ( Z ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) )  +  ( Y ^
2 ) ) )
22347, 85mulcomd 9665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Y  x.  Z
)  =  ( Z  x.  Y ) )
224223oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
)  =  ( 2  x.  ( Z  x.  Y ) ) )
225224oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( Z ^
2 )  -  (
2  x.  ( Y  x.  Z ) ) )  =  ( ( Z ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( Z  x.  Y
) ) ) )
226225oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( Z ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
) )  +  ( Y ^ 2 ) )  =  ( ( ( Z ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( Z  x.  Y ) ) )  +  ( Y ^
2 ) ) )
227220, 222, 2263eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( Y  x.  Z ) ) )  =  ( ( ( Z ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( Z  x.  Y ) ) )  +  ( Y ^
2 ) ) )
228 binom2sub 12391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Z  e.  CC  /\  Y  e.  CC )  ->  ( ( Z  -  Y ) ^ 2 )  =  ( ( ( Z ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( Z  x.  Y ) ) )  +  ( Y ^
2 ) ) )
22985, 47, 228syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Z  -  Y ) ^ 2 )  =  ( ( ( Z ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( Z  x.  Y ) ) )  +  ( Y ^
2 ) ) )
230227, 229eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( Y  x.  Z ) ) )  =  ( ( Z  -  Y ) ^ 2 ) )
231230oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  -  (
( ( Y ^
2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  -  ( ( Z  -  Y ) ^
2 ) ) )
23285, 47subcld 9987 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Z  -  Y
)  e.  CC )
233 subsq 12382 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( Z  -  Y
)  e.  CC )  ->  ( ( X ^ 2 )  -  ( ( Z  -  Y ) ^ 2 ) )  =  ( ( X  +  ( Z  -  Y ) )  x.  ( X  -  ( Z  -  Y ) ) ) )
23446, 232, 233syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  -  (
( Z  -  Y
) ^ 2 ) )  =  ( ( X  +  ( Z  -  Y ) )  x.  ( X  -  ( Z  -  Y
) ) ) )
23552, 81, 47subdid 10075 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( S  -  Y )
)  =  ( ( 2  x.  S )  -  ( 2  x.  Y ) ) )
23646, 47, 85add32d 9858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  Y )  +  Z
)  =  ( ( X  +  Z )  +  Y ) )
237196, 236eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  =  ( ( X  +  Z )  +  Y ) )
238472timesd 10856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  Y
)  =  ( Y  +  Y ) )
239237, 238oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  -  (
2  x.  Y ) )  =  ( ( ( X  +  Z
)  +  Y )  -  ( Y  +  Y ) ) )
24046, 85addcld 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X  +  Z
)  e.  CC )
241240, 47, 47pnpcan2d 10025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  Z )  +  Y )  -  ( Y  +  Y )
)  =  ( ( X  +  Z )  -  Y ) )
24246, 85, 47addsubassd 10007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  Z )  -  Y
)  =  ( X  +  ( Z  -  Y ) ) )
243241, 242eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  Z )  +  Y )  -  ( Y  +  Y )
)  =  ( X  +  ( Z  -  Y ) ) )
244235, 239, 2433eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( S  -  Y )
)  =  ( X  +  ( Z  -  Y ) ) )
24552, 81, 85subdid 10075 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( S  -  Z )
)  =  ( ( 2  x.  S )  -  ( 2  x.  Z ) ) )
246852timesd 10856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  Z
)  =  ( Z  +  Z ) )
247196, 246oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  -  (
2  x.  Z ) )  =  ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  -  ( Z  +  Z ) ) )
24846, 47addcld 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X  +  Y
)  e.  CC )
249248, 85, 85pnpcan2d 10025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  -  ( Z  +  Z )
)  =  ( ( X  +  Y )  -  Z ) )
25046, 85, 47subsub3d 10017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( Z  -  Y )
)  =  ( ( X  +  Y )  -  Z ) )
251249, 250eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  -  ( Z  +  Z )
)  =  ( X  -  ( Z  -  Y ) ) )
252245, 247, 2513eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( S  -  Z )
)  =  ( X  -  ( Z  -  Y ) ) )
253244, 252oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( S  -  Y
) )  x.  (
2  x.  ( S  -  Z ) ) )  =  ( ( X  +  ( Z  -  Y ) )  x.  ( X  -  ( Z  -  Y
) ) ) )
254234, 253eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  -  (
( Z  -  Y
) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( S  -  Y ) )  x.  ( 2  x.  ( S  -  Z
) ) ) )
25552, 84, 52, 86mul4d 9846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( S  -  Y
) )  x.  (
2  x.  ( S  -  Z ) ) )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z
) ) ) )
256209oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  2 )  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) )  =  ( 4  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z
) ) ) )
257254, 255, 2563eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  -  (
( Z  -  Y
) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z
) ) ) )
258219, 231, 2573eqtrd 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  -  (
( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) )  =  ( 4  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z
) ) ) )
259212, 258oveq12d 6320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  +  ( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( 2  x.  ( Y  x.  Z )
)  -  ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( S  x.  ( S  -  X
) ) )  x.  ( 4  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) ) ) )
260176, 178, 2593eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  (
( sin `  O
) ^ 2 ) )  =  ( ( 4  x.  ( S  x.  ( S  -  X ) ) )  x.  ( 4  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z )
) ) ) )
26171, 87mulcld 9664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) )  e.  CC )
26271, 83, 261mulassd 9667 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( S  x.  ( S  -  X )
) )  x.  (
4  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z ) ) ) )  =  ( 4  x.  ( ( S  x.  ( S  -  X ) )  x.  ( 4  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) ) ) ) )
26383, 71, 87mul12d 9843 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S  x.  ( S  -  X
) )  x.  (
4  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z ) ) ) )  =  ( 4  x.  ( ( S  x.  ( S  -  X ) )  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z )
) ) ) )
264263oveq2d 6318 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( S  x.  ( S  -  X )
)  x.  ( 4  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z
) ) ) ) )  =  ( 4  x.  ( 4  x.  ( ( S  x.  ( S  -  X
) )  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) ) ) ) )
265260, 262, 2643eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  (
( sin `  O
) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( 4  x.  ( ( S  x.  ( S  -  X
) )  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) ) ) ) )
26695, 96, 2653eqtr3d 2471 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( ( X  x.  Y ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  O ) ^ 2 ) ) )  =  ( 4  x.  ( 4  x.  ( ( S  x.  ( S  -  X
) )  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) ) ) ) )
26769, 89, 71, 91, 266mulcanad 10248 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  Y ) ^
2 )  x.  (
( sin `  O
) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( S  x.  ( S  -  X ) )  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z )
) ) ) )
268267oveq1d 6317 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  x.  Y ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  O
) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( 4  x.  ( ( S  x.  ( S  -  X ) )  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z )
) ) )  / 
4 ) )
26967, 68, 71, 91div23d 10421 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  x.  Y ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  O
) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( X  x.  Y
) ^ 2 )  /  4 )  x.  ( ( sin `  O
) ^ 2 ) ) )
27080, 8resubcld 10048 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  -  X
)  e.  RR )
27180, 270remulcld 9672 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  x.  ( S  -  X )
)  e.  RR )
27280, 13resubcld 10048 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  -  Y
)  e.  RR )
27380, 77resubcld 10048 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  -  Z
)  e.  RR )
274272, 273remulcld 9672 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z )
)  e.  RR )
275271, 274remulcld 9672 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S  x.  ( S  -  X
) )  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) )  e.  RR )
276275recnd 9670 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  x.  ( S  -  X
) )  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) )  e.  CC )
277276, 71, 91divcan3d 10389 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( S  x.  ( S  -  X
) )  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) ) )  /  4
)  =  ( ( S  x.  ( S  -  X ) )  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z
) ) ) )
278268, 269, 2773eqtr3d 2471 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  x.  Y ) ^ 2 )  / 
4 )  x.  (
( sin `  O
) ^ 2 ) )  =  ( ( S  x.  ( S  -  X ) )  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z
) ) ) )
27951, 66, 2783eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y ) )  x.  ( abs `  ( sin `  O ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( S  x.  ( S  -  X ) )  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z )
) ) )
280279fveq2d 5882 . 2  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y
) )  x.  ( abs `  ( sin `  O
) ) ) ^
2 ) )  =  ( sqr `  (
( S  x.  ( S  -  X )
)  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z ) ) ) ) )
28143, 280eqtr3d 2465 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y
) )  x.  ( abs `  ( sin `  O
) ) )  =  ( sqr `  (
( S  x.  ( S  -  X )
)  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618    \ cdif 3433   {csn 3996   class class class wbr 4420   ` cfv 5598  (class class class)co 6302    |-> cmpt2 6304   CCcc 9538   RRcr 9539   0cc0 9540   1c1 9541    + caddc 9543    x. cmul 9545    <_ cle 9677    - cmin 9861   -ucneg 9862    / cdiv 10270   2c2 10660   4c4 10662   (,]cioc 11637   ^cexp 12272   Imcim 13150   sqrcsqrt 13285   abscabs 13286   sincsin 14104   cosccos 14105   picpi 14107   logclog 23491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618  ax-addf 9619  ax-mulf 9620
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-fi 7928  df-sup 7959  df-inf 7960  df-oi 8028  df-card 8375  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-xneg 11410  df-xadd 11411  df-xmul 11412  df-ioo 11640  df-ioc 11641  df-ico 11642  df-icc 11643  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13119  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-limsup 13514  df-clim 13540  df-rlim 13541  df-sum 13741  df-ef 14109  df-sin 14111  df-cos 14112  df-pi 14114  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-starv 15193  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-ip 15196  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-unif 15201  df-hom 15202  df-cco 15203  df-rest 15309  df-topn 15310  df-0g 15328  df-gsum 15329  df-topgen 15330  df-pt 15331  df-prds 15334  df-xrs 15388  df-qtop 15394  df-imas 15395  df-xps 15398  df-mre 15480  df-mrc 15481  df-acs 15483  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-submnd 16571  df-mulg 16664  df-cntz 16959  df-cmn 17420  df-psmet 18950  df-xmet 18951  df-met 18952  df-bl 18953  df-mopn 18954  df-fbas 18955  df-fg 18956  df-cnfld 18959  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-cld 20021  df-ntr 20022  df-cls 20023  df-nei 20101  df-lp 20139  df-perf 20140  df-cn 20230  df-cnp 20231  df-haus 20318  df-tx 20564  df-hmeo 20757  df-fil 20848  df-fm 20940  df-flim 20941  df-flf 20942  df-xms 21322  df-ms 21323  df-tms 21324  df-cncf 21897  df-limc 22808  df-dv 22809  df-log 23493
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