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Theorem heron 22233
Description: Heron's formula gives the area of a triangle given only the side lengths. If points A, B, C form a triangle, then the area of the triangle, represented here as 
( 1  /  2
)  x.  X  x.  Y  x.  abs ( sin O ), is equal to the square root of  S  x.  ( S  -  X )  x.  ( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ), where  S  =  ( X  +  Y  +  Z )  /  2 is half the perimeter of the triangle. Based on work by Jon Pennant. This is Metamath 100 proof #57. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
heron.f  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
heron.x  |-  X  =  ( abs `  ( B  -  C )
)
heron.y  |-  Y  =  ( abs `  ( A  -  C )
)
heron.z  |-  Z  =  ( abs `  ( A  -  B )
)
heron.o  |-  O  =  ( ( B  -  C ) F ( A  -  C ) )
heron.s  |-  S  =  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  2
)
heron.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
heron.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
heron.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
heron.ac  |-  ( ph  ->  A  =/=  C )
heron.bc  |-  ( ph  ->  B  =/=  C )
Assertion
Ref Expression
heron  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y
) )  x.  ( abs `  ( sin `  O
) ) )  =  ( sqr `  (
( S  x.  ( S  -  X )
)  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    x, C, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    S( x, y)    F( x, y)    O( x, y)    X( x, y)    Y( x, y)    Z( x, y)

Proof of Theorem heron
StepHypRef Expression
1 1red 9401 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
21rehalfcld 10571 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
3 heron.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( abs `  ( B  -  C )
)
4 heron.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
5 heron.c . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
64, 5subcld 9719 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  -  C
)  e.  CC )
76abscld 12922 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  e.  RR )
83, 7syl5eqel 2527 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
9 heron.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( abs `  ( A  -  C )
)
10 heron.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
1110, 5subcld 9719 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  -  C
)  e.  CC )
1211abscld 12922 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  C )
)  e.  RR )
139, 12syl5eqel 2527 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
148, 13remulcld 9414 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  x.  Y
)  e.  RR )
152, 14remulcld 9414 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( X  x.  Y )
)  e.  RR )
16 heron.o . . . . . . 7  |-  O  =  ( ( B  -  C ) F ( A  -  C ) )
17 negpitopissre 21996 . . . . . . . . 9  |-  ( -u pi (,] pi )  C_  RR
18 heron.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
19 heron.bc . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  =/=  C )
204, 5, 19subne0d 9728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  -  C
)  =/=  0 )
21 heron.ac . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  =/=  C )
2210, 5, 21subne0d 9728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  -  C
)  =/=  0 )
2318, 6, 20, 11, 22angcld 22201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  C ) F ( A  -  C ) )  e.  ( -u pi (,] pi ) )
2417, 23sseldi 3354 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  C ) F ( A  -  C ) )  e.  RR )
2524recnd 9412 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  C ) F ( A  -  C ) )  e.  CC )
2616, 25syl5eqel 2527 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O  e.  CC )
2726sincld 13414 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sin `  O
)  e.  CC )
2827abscld 12922 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( sin `  O ) )  e.  RR )
2915, 28remulcld 9414 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y
) )  x.  ( abs `  ( sin `  O
) ) )  e.  RR )
30 0re 9386 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
31 halfre 10540 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
32 halfgt0 10542 . . . . . . 7  |-  0  <  ( 1  /  2
)
3330, 31, 32ltleii 9497 . . . . . 6  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
3433a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 1  /  2 ) )
356absge0d 12930 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  ( B  -  C
) ) )
3635, 3syl6breqr 4332 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  X )
3711absge0d 12930 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  ( A  -  C
) ) )
3837, 9syl6breqr 4332 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  Y )
398, 13, 36, 38mulge0d 9916 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  x.  Y ) )
402, 14, 34, 39mulge0d 9916 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y ) ) )
4127absge0d 12930 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  ( sin `  O
) ) )
4215, 28, 40, 41mulge0d 9916 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( 1  /  2
)  x.  ( X  x.  Y ) )  x.  ( abs `  ( sin `  O ) ) ) )
4329, 42sqrsqd 12906 . 2  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y
) )  x.  ( abs `  ( sin `  O
) ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y
) )  x.  ( abs `  ( sin `  O
) ) ) )
44 halfcn 10541 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
4544a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
468recnd 9412 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
4713recnd 9412 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
4846, 47mulcld 9406 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  x.  Y
)  e.  CC )
4945, 48mulcld 9406 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( X  x.  Y )
)  e.  CC )
5028recnd 9412 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( sin `  O ) )  e.  CC )
5149, 50sqmuld 12020 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y ) )  x.  ( abs `  ( sin `  O ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( X  x.  Y ) ) ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( sin `  O ) ) ^ 2 ) ) )
52 2cnd 10394 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
53 2ne0 10414 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
5453a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
5548, 52, 54sqdivd 12021 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  Y )  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( X  x.  Y
) ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) ) )
5648, 52, 54divrec2d 10111 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  Y )  /  2
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y ) ) )
5756oveq1d 6106 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  Y )  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( X  x.  Y ) ) ^ 2 ) )
58 sq2 11962 . . . . . . . 8  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
5958a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ 2 )  =  4 )
6059oveq2d 6107 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  Y ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( X  x.  Y
) ^ 2 )  /  4 ) )
6155, 57, 603eqtr3d 2483 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( X  x.  Y
) ^ 2 )  /  4 ) )
6216, 24syl5eqel 2527 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O  e.  RR )
6362resincld 13427 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sin `  O
)  e.  RR )
64 absresq 12791 . . . . . 6  |-  ( ( sin `  O )  e.  RR  ->  (
( abs `  ( sin `  O ) ) ^ 2 )  =  ( ( sin `  O
) ^ 2 ) )
6563, 64syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( sin `  O ) ) ^ 2 )  =  ( ( sin `  O
) ^ 2 ) )
6661, 65oveq12d 6109 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  (
( abs `  ( sin `  O ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( X  x.  Y
) ^ 2 )  /  4 )  x.  ( ( sin `  O
) ^ 2 ) ) )
6748sqcld 12006 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  Y ) ^ 2 )  e.  CC )
6827sqcld 12006 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  O
) ^ 2 )  e.  CC )
6967, 68mulcld 9406 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  Y ) ^
2 )  x.  (
( sin `  O
) ^ 2 ) )  e.  CC )
70 4cn 10399 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
7170a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
72 heron.s . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  2
)
738, 13readdcld 9413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  +  Y
)  e.  RR )
74 heron.z . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Z  =  ( abs `  ( A  -  B )
)
7510, 4subcld 9719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
7675abscld 12922 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  RR )
7774, 76syl5eqel 2527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR )
7873, 77readdcld 9413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  Y )  +  Z
)  e.  RR )
7978rehalfcld 10571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  2
)  e.  RR )
8072, 79syl5eqel 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
8180recnd 9412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
8281, 46subcld 9719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  -  X
)  e.  CC )
8381, 82mulcld 9406 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  x.  ( S  -  X )
)  e.  CC )
8481, 47subcld 9719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  -  Y
)  e.  CC )
8577recnd 9412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  CC )
8681, 85subcld 9719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  -  Z
)  e.  CC )
8784, 86mulcld 9406 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z )
)  e.  CC )
8883, 87mulcld 9406 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  x.  ( S  -  X
) )  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) )  e.  CC )
8971, 88mulcld 9406 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( S  x.  ( S  -  X )
)  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z ) ) ) )  e.  CC )
90 4ne0 10418 . . . . . . . 8  |-  4  =/=  0
9190a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  4  =/=  0 )
9252, 48sqmuld 12020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y
) ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( X  x.  Y ) ^
2 ) ) )
9359oveq1d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ 2 )  x.  (
( X  x.  Y
) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( X  x.  Y ) ^
2 ) ) )
9492, 93eqtr2d 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( X  x.  Y
) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^ 2 ) )
9594oveq1d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( X  x.  Y ) ^ 2 ) )  x.  (
( sin `  O
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y )
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  O ) ^ 2 ) ) )
9671, 67, 68mulassd 9409 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( X  x.  Y ) ^ 2 ) )  x.  (
( sin `  O
) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( ( X  x.  Y ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  O
) ^ 2 ) ) ) )
9752, 48mulcld 9406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( X  x.  Y )
)  e.  CC )
9897sqcld 12006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y
) ) ^ 2 )  e.  CC )
9998, 68mulcld 9406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  (
( sin `  O
) ^ 2 ) )  e.  CC )
10047, 85mulcld 9406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  x.  Z
)  e.  CC )
10152, 100mulcld 9406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
)  e.  CC )
102101sqcld 12006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) ) ^ 2 )  e.  CC )
10347sqcld 12006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  e.  CC )
10485sqcld 12006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Z ^ 2 )  e.  CC )
10546sqcld 12006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  CC )
106104, 105subcld 9719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
107103, 106addcld 9405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  e.  CC )
108107sqcld 12006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
109102, 108subcld 9719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^
2 )  -  (
( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
11026coscld 13415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( cos `  O
)  e.  CC )
111110sqcld 12006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( cos `  O
) ^ 2 )  e.  CC )
11298, 111mulcld 9406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  (
( cos `  O
) ^ 2 ) )  e.  CC )
113 sincossq 13460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( O  e.  CC  ->  (
( ( sin `  O
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  O ) ^ 2 ) )  =  1 )
11426, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  O ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  O ) ^ 2 ) )  =  1 )
115114oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  (
( ( sin `  O
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  O ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  1 ) )
11698, 68, 111adddid 9410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  (
( ( sin `  O
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  O ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  O
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y )
) ^ 2 )  x.  ( ( cos `  O ) ^ 2 ) ) ) )
1171032timesd 10567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( Y ^ 2 ) )  =  ( ( Y ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )
118103, 106, 103ppncand 9759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( Y ^
2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )
119117, 118eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( Y ^ 2 ) )  =  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ) )
1201062timesd 10567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )
121103, 106, 106pnncand 9758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  -  ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) )
122120, 121eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) )  -  ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ) )
123119, 122oveq12d 6109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  (
2  x.  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  -  ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ) ) )
124 2t2e4 10471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
125124, 71syl5eqel 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  2 )  e.  CC )
126125, 103, 106mulassd 9409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( ( Y ^ 2 )  x.  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ) )
127125, 103mulcld 9406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  e.  CC )
128127, 104, 105subdid 9800 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( Z ^
2 ) )  -  ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
12952sqvald 12005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ 2 )  =  ( 2  x.  2 ) )
13047, 85sqmuld 12020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( Y  x.  Z ) ^ 2 )  =  ( ( Y ^ 2 )  x.  ( Z ^
2 ) ) )
131129, 130oveq12d 6109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ 2 )  x.  (
( Y  x.  Z
) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( ( Y ^ 2 )  x.  ( Z ^ 2 ) ) ) )
13252, 100sqmuld 12020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( Y  x.  Z ) ^
2 ) ) )
133125, 103, 104mulassd 9409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( Z ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( ( Y ^
2 )  x.  ( Z ^ 2 ) ) ) )
134131, 132, 1333eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( Z ^
2 ) ) )
13546, 47sqmuld 12020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  Y ) ^ 2 )  =  ( ( X ^ 2 )  x.  ( Y ^
2 ) ) )
136105, 103mulcomd 9407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  =  ( ( Y ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) ) )
137135, 136eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  Y ) ^ 2 )  =  ( ( Y ^ 2 )  x.  ( X ^
2 ) ) )
138129, 137oveq12d 6109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ 2 )  x.  (
( X  x.  Y
) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( ( Y ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
139125, 103, 105mulassd 9409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( ( Y ^
2 )  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
140138, 92, 1393eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) ) )
141134, 140oveq12d 6109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^
2 )  -  (
( 2  x.  ( X  x.  Y )
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( Z ^
2 ) )  -  ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
142128, 141eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 ) ) )
14352, 52, 103, 106mul4d 9581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  2 )  x.  (
( Y ^ 2 )  x.  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( 2  x.  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ) )
144126, 142, 1433eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^
2 )  -  (
( 2  x.  ( X  x.  Y )
) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( 2  x.  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ) )
145103, 106subcld 9719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
2 )  -  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  e.  CC )
146 subsq 11973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( ( Y ^
2 )  -  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  -  ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ) ) )
147107, 145, 146syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) )  +  ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  -  ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ) ) )
148123, 144, 1473eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^
2 )  -  (
( 2  x.  ( X  x.  Y )
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
149148oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^
2 )  -  (
( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
150102, 98nncand 9724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^
2 )  -  (
( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^ 2 ) )
151145sqcld 12006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
152102, 108, 151subsubd 9747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^
2 )  -  (
( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
153149, 150, 1523eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
15498mulid1d 9403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  1 )  =  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^ 2 ) )
155105, 103addcld 9405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  e.  CC )
15648, 110mulcld 9406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  Y )  x.  ( cos `  O ) )  e.  CC )
15752, 156mulcld 9406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( X  x.  Y
)  x.  ( cos `  O ) ) )  e.  CC )
158155, 157nncand 9724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  -  (
( ( X ^
2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( X  x.  Y )  x.  ( cos `  O
) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( X  x.  Y )  x.  ( cos `  O
) ) ) )
159103, 104subcld 9719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
2 )  -  ( Z ^ 2 ) )  e.  CC )
160159, 105addcomd 9571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( Z ^ 2 ) )  +  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( ( Y ^
2 )  -  ( Z ^ 2 ) ) ) )
161103, 104, 105subsubd 9747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
2 )  -  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( Z ^ 2 ) )  +  ( X ^
2 ) ) )
162105, 103, 104addsubassd 9739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  -  ( Z ^ 2 ) )  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( ( Y ^
2 )  -  ( Z ^ 2 ) ) ) )
163160, 161, 1623eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
2 )  -  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  -  ( Z ^
2 ) ) )
16418, 3, 9, 74, 16lawcos 22212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( Z ^ 2 )  =  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( ( X  x.  Y )  x.  ( cos `  O
) ) ) ) )
16510, 4, 5, 21, 19, 164syl32anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( Z ^ 2 )  =  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( X  x.  Y )  x.  ( cos `  O ) ) ) ) )
166165oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  -  ( Z ^ 2 ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^
2 ) )  -  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( ( X  x.  Y )  x.  ( cos `  O
) ) ) ) ) )
167163, 166eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
2 )  -  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  -  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^
2 ) )  -  ( 2  x.  (
( X  x.  Y
)  x.  ( cos `  O ) ) ) ) ) )
16852, 48, 110mulassd 9409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y
) )  x.  ( cos `  O ) )  =  ( 2  x.  ( ( X  x.  Y )  x.  ( cos `  O ) ) ) )
169158, 167, 1683eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
2 )  -  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) )  x.  ( cos `  O
) ) )
170169oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) )  x.  ( cos `  O
) ) ^ 2 ) )
17197, 110sqmuld 12020 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) )  x.  ( cos `  O
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y )
) ^ 2 )  x.  ( ( cos `  O ) ^ 2 ) ) )
172170, 171eqtr2d 2476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  (
( cos `  O
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ^ 2 ) )
173172oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y )
) ^ 2 )  x.  ( ( cos `  O ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
174153, 154, 1733eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  1 )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^ 2 )  x.  ( ( cos `  O
) ^ 2 ) ) ) )
175115, 116, 1743eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  O
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y )
) ^ 2 )  x.  ( ( cos `  O ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y )
) ^ 2 )  x.  ( ( cos `  O ) ^ 2 ) ) ) )
17699, 109, 112, 175addcan2ad 9575 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  (
( sin `  O
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
177 subsq 11973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
)  e.  CC  /\  ( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
)  +  ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  -  (
( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ) ) )
178101, 107, 177syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^
2 )  -  (
( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
)  +  ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  -  (
( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ) ) )
179103, 104addcld 9405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  e.  CC )
180101, 179, 105addsubassd 9739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  +  ( ( Y ^
2 )  +  ( Z ^ 2 ) ) )  -  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  +  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )
181103, 104, 105addsubassd 9739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  -  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )
182181oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  +  ( ( ( Y ^
2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  +  ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ) )
183180, 182eqtr2d 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  +  ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
)  +  ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^
2 ) ) )  -  ( X ^
2 ) ) )
184 binom2 11981 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Y  e.  CC  /\  Z  e.  CC )  ->  ( ( Y  +  Z ) ^ 2 )  =  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) )  +  ( Z ^
2 ) ) )
18547, 85, 184syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  Z ) ^ 2 )  =  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) )  +  ( Z ^
2 ) ) )
186103, 101, 104add32d 9592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
) )  +  ( Z ^ 2 ) )  =  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) ) ) )
187179, 101addcomd 9571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  +  ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) ) ) )
188185, 186, 1873eqtrd 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  Z ) ^ 2 )  =  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  +  ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) ) ) )
189188oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  +  Z ) ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  +  ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) ) )  -  ( X ^ 2 ) ) )
19047, 85addcld 9405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Y  +  Z
)  e.  CC )
191 subsq 11973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Y  +  Z
)  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( ( Y  +  Z ) ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( ( Y  +  Z )  +  X )  x.  ( ( Y  +  Z )  -  X
) ) )
192190, 46, 191syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  +  Z ) ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( ( Y  +  Z )  +  X )  x.  ( ( Y  +  Z )  -  X
) ) )
19372oveq2i 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  x.  S )  =  ( 2  x.  (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  2 ) )
19478recnd 9412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  Y )  +  Z
)  e.  CC )
195194, 52, 54divcan2d 10109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  2 ) )  =  ( ( X  +  Y )  +  Z ) )
196193, 195syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  =  ( ( X  +  Y )  +  Z ) )
19746, 47, 85addassd 9408 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  Y )  +  Z
)  =  ( X  +  ( Y  +  Z ) ) )
19846, 190addcomd 9571 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( X  +  ( Y  +  Z ) )  =  ( ( Y  +  Z )  +  X ) )
199196, 197, 1983eqtrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  =  ( ( Y  +  Z )  +  X ) )
20052, 81, 46subdid 9800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( S  -  X )
)  =  ( ( 2  x.  S )  -  ( 2  x.  X ) ) )
201196, 197eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  =  ( X  +  ( Y  +  Z ) ) )
202462timesd 10567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  X
)  =  ( X  +  X ) )
203201, 202oveq12d 6109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  -  (
2  x.  X ) )  =  ( ( X  +  ( Y  +  Z ) )  -  ( X  +  X ) ) )
20446, 190, 46pnpcand 9756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( Y  +  Z
) )  -  ( X  +  X )
)  =  ( ( Y  +  Z )  -  X ) )
205200, 203, 2043eqtrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( S  -  X )
)  =  ( ( Y  +  Z )  -  X ) )
206199, 205oveq12d 6109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  x.  (
2  x.  ( S  -  X ) ) )  =  ( ( ( Y  +  Z
)  +  X )  x.  ( ( Y  +  Z )  -  X ) ) )
207192, 206eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  +  Z ) ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  S )  x.  ( 2  x.  ( S  -  X )
) ) )
20852, 81, 52, 82mul4d 9581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  x.  (
2  x.  ( S  -  X ) ) )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( S  x.  ( S  -  X
) ) ) )
209124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  2 )  =  4 )
210209oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( S  x.  ( S  -  X ) ) )  =  ( 4  x.  ( S  x.  ( S  -  X )
) ) )
211207, 208, 2103eqtrd 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  +  Z ) ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( S  x.  ( S  -  X )
) ) )
212183, 189, 2113eqtr2d 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  +  ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) )  =  ( 4  x.  ( S  x.  ( S  -  X
) ) ) )
213101, 179subcld 9719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  -  (
( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) ) )  e.  CC )
214213, 105addcomd 9571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  -  ( ( Y ^
2 )  +  ( Z ^ 2 ) ) )  +  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  -  ( ( Y ^
2 )  +  ( Z ^ 2 ) ) ) ) )
215181oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  -  (
( ( Y ^
2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  -  ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ) )
216101, 179, 105subsubd 9747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  -  (
( ( Y ^
2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
)  -  ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^
2 ) ) )  +  ( X ^
2 ) ) )
217215, 216eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  -  (
( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
)  -  ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^
2 ) ) )  +  ( X ^
2 ) ) )
218105, 179, 101subsub2d 9748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  -  (
( ( Y ^
2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  -  ( ( Y ^
2 )  +  ( Z ^ 2 ) ) ) ) )
219214, 217, 2183eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  -  (
( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^
2 ) )  -  ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
) ) ) )
220103, 104, 101addsubassd 9739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( Y  x.  Z ) ) )  =  ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
) ) ) )
221104, 101subcld 9719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( Z ^
2 )  -  (
2  x.  ( Y  x.  Z ) ) )  e.  CC )
222103, 221addcomd 9571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ) )  =  ( ( ( Z ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) )  +  ( Y ^
2 ) ) )
22347, 85mulcomd 9407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Y  x.  Z
)  =  ( Z  x.  Y ) )
224223oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
)  =  ( 2  x.  ( Z  x.  Y ) ) )
225224oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( Z ^
2 )  -  (
2  x.  ( Y  x.  Z ) ) )  =  ( ( Z ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( Z  x.  Y
) ) ) )
226225oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( Z ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
) )  +  ( Y ^ 2 ) )  =  ( ( ( Z ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( Z  x.  Y ) ) )  +  ( Y ^
2 ) ) )
227220, 222, 2263eqtrd 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( Y  x.  Z ) ) )  =  ( ( ( Z ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( Z  x.  Y ) ) )  +  ( Y ^
2 ) ) )
228 binom2sub 11983 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Z  e.  CC  /\  Y  e.  CC )  ->  ( ( Z  -  Y ) ^ 2 )  =  ( ( ( Z ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( Z  x.  Y ) ) )  +  ( Y ^
2 ) ) )
22985, 47, 228syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Z  -  Y ) ^ 2 )  =  ( ( ( Z ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( Z  x.  Y ) ) )  +  ( Y ^
2 ) ) )
230227, 229eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( Y  x.  Z ) ) )  =  ( ( Z  -  Y ) ^ 2 ) )
231230oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  -  (
( ( Y ^
2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  -  ( ( Z  -  Y ) ^
2 ) ) )
23285, 47subcld 9719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Z  -  Y
)  e.  CC )
233 subsq 11973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( Z  -  Y
)  e.  CC )  ->  ( ( X ^ 2 )  -  ( ( Z  -  Y ) ^ 2 ) )  =  ( ( X  +  ( Z  -  Y ) )  x.  ( X  -  ( Z  -  Y ) ) ) )
23446, 232, 233syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  -  (
( Z  -  Y
) ^ 2 ) )  =  ( ( X  +  ( Z  -  Y ) )  x.  ( X  -  ( Z  -  Y
) ) ) )
23552, 81, 47subdid 9800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( S  -  Y )
)  =  ( ( 2  x.  S )  -  ( 2  x.  Y ) ) )
23646, 47, 85add32d 9592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  Y )  +  Z
)  =  ( ( X  +  Z )  +  Y ) )
237196, 236eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  =  ( ( X  +  Z )  +  Y ) )
238472timesd 10567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  Y
)  =  ( Y  +  Y ) )
239237, 238oveq12d 6109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  -  (
2  x.  Y ) )  =  ( ( ( X  +  Z
)  +  Y )  -  ( Y  +  Y ) ) )
24046, 85addcld 9405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X  +  Z
)  e.  CC )
241240, 47, 47pnpcan2d 9757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  Z )  +  Y )  -  ( Y  +  Y )
)  =  ( ( X  +  Z )  -  Y ) )
24246, 85, 47addsubassd 9739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  Z )  -  Y
)  =  ( X  +  ( Z  -  Y ) ) )
243241, 242eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  Z )  +  Y )  -  ( Y  +  Y )
)  =  ( X  +  ( Z  -  Y ) ) )
244235, 239, 2433eqtrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( S  -  Y )
)  =  ( X  +  ( Z  -  Y ) ) )
24552, 81, 85subdid 9800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( S  -  Z )
)  =  ( ( 2  x.  S )  -  ( 2  x.  Z ) ) )
246852timesd 10567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  Z
)  =  ( Z  +  Z ) )
247196, 246oveq12d 6109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  -  (
2  x.  Z ) )  =  ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  -  ( Z  +  Z ) ) )
24846, 47addcld 9405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X  +  Y
)  e.  CC )
249248, 85, 85pnpcan2d 9757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  -  ( Z  +  Z )
)  =  ( ( X  +  Y )  -  Z ) )
25046, 85, 47subsub3d 9749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( Z  -  Y )
)  =  ( ( X  +  Y )  -  Z ) )
251249, 250eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  -  ( Z  +  Z )
)  =  ( X  -  ( Z  -  Y ) ) )
252245, 247, 2513eqtrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( S  -  Z )
)  =  ( X  -  ( Z  -  Y ) ) )
253244, 252oveq12d 6109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( S  -  Y
) )  x.  (
2  x.  ( S  -  Z ) ) )  =  ( ( X  +  ( Z  -  Y ) )  x.  ( X  -  ( Z  -  Y
) ) ) )
254234, 253eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  -  (
( Z  -  Y
) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( S  -  Y ) )  x.  ( 2  x.  ( S  -  Z
) ) ) )
25552, 84, 52, 86mul4d 9581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( S  -  Y
) )  x.  (
2  x.  ( S  -  Z ) ) )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z
) ) ) )
256209oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  2 )  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) )  =  ( 4  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z
) ) ) )
257254, 255, 2563eqtrd 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  -  (
( Z  -  Y
) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z
) ) ) )
258219, 231, 2573eqtrd 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  -  (
( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) )  =  ( 4  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z
) ) ) )
259212, 258oveq12d 6109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  +  ( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( 2  x.  ( Y  x.  Z )
)  -  ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( S  x.  ( S  -  X
) ) )  x.  ( 4  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) ) ) )
260176, 178, 2593eqtrd 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  (
( sin `  O
) ^ 2 ) )  =  ( ( 4  x.  ( S  x.  ( S  -  X ) ) )  x.  ( 4  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z )
) ) ) )
26171, 87mulcld 9406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) )  e.  CC )
26271, 83, 261mulassd 9409 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( S  x.  ( S  -  X )
) )  x.  (
4  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z ) ) ) )  =  ( 4  x.  ( ( S  x.  ( S  -  X ) )  x.  ( 4  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) ) ) ) )
26383, 71, 87mul12d 9578 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S  x.  ( S  -  X
) )  x.  (
4  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z ) ) ) )  =  ( 4  x.  ( ( S  x.  ( S  -  X ) )  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z )
) ) ) )
264263oveq2d 6107 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( S  x.  ( S  -  X )
)  x.  ( 4  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z
) ) ) ) )  =  ( 4  x.  ( 4  x.  ( ( S  x.  ( S  -  X
) )  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) ) ) ) )
265260, 262, 2643eqtrd 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  (
( sin `  O
) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( 4  x.  ( ( S  x.  ( S  -  X
) )  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) ) ) ) )
26695, 96, 2653eqtr3d 2483 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( ( X  x.  Y ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  O ) ^ 2 ) ) )  =  ( 4  x.  ( 4  x.  ( ( S  x.  ( S  -  X
) )  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) ) ) ) )
26769, 89, 71, 91, 266mulcanad 9971 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  Y ) ^
2 )  x.  (
( sin `  O
) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( S  x.  ( S  -  X ) )  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z )
) ) ) )
268267oveq1d 6106 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  x.  Y ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  O
) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( 4  x.  ( ( S  x.  ( S  -  X ) )  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z )
) ) )  / 
4 ) )
26967, 68, 71, 91div23d 10144 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  x.  Y ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  O
) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( X  x.  Y
) ^ 2 )  /  4 )  x.  ( ( sin `  O
) ^ 2 ) ) )
27080, 8resubcld 9776 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  -  X
)  e.  RR )
27180, 270remulcld 9414 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  x.  ( S  -  X )
)  e.  RR )
27280, 13resubcld 9776 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  -  Y
)  e.  RR )
27380, 77resubcld 9776 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  -  Z
)  e.  RR )
274272, 273remulcld 9414 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z )
)  e.  RR )
275271, 274remulcld 9414 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S  x.  ( S  -  X
) )  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) )  e.  RR )
276275recnd 9412 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  x.  ( S  -  X
) )  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) )  e.  CC )
277276, 71, 91divcan3d 10112 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( S  x.  ( S  -  X
) )  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) ) )  /  4
)  =  ( ( S  x.  ( S  -  X ) )  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z
) ) ) )
278268, 269, 2773eqtr3d 2483 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  x.  Y ) ^ 2 )  / 
4 )  x.  (
( sin `  O
) ^ 2 ) )  =  ( ( S  x.  ( S  -  X ) )  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z
) ) ) )
27951, 66, 2783eqtrd 2479 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y ) )  x.  ( abs `  ( sin `  O ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( S  x.  ( S  -  X ) )  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z )
) ) )
280279fveq2d 5695 . 2  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y
) )  x.  ( abs `  ( sin `  O
) ) ) ^
2 ) )  =  ( sqr `  (
( S  x.  ( S  -  X )
)  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z ) ) ) ) )
28143, 280eqtr3d 2477 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y
) )  x.  ( abs `  ( sin `  O
) ) )  =  ( sqr `  (
( S  x.  ( S  -  X )
)  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606    \ cdif 3325   {csn 3877   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    e. cmpt2 6093   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287    <_ cle 9419    - cmin 9595   -ucneg 9596    / cdiv 9993   2c2 10371   4c4 10373   (,]cioc 11301   ^cexp 11865   Imcim 12587   sqrcsqr 12722   abscabs 12723   sincsin 13349   cosccos 13350   picpi 13352   logclog 22006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ioc 11305  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-fac 12052  df-bc 12079  df-hash 12104  df-shft 12556  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-limsup 12949  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-ef 13353  df-sin 13355  df-cos 13356  df-pi 13358  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-lp 18740  df-perf 18741  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-haus 18919  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-cncf 20454  df-limc 21341  df-dv 21342  df-log 22008
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