MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  heron Structured version   Unicode version

Theorem heron 23145
Description: Heron's formula gives the area of a triangle given only the side lengths. If points A, B, C form a triangle, then the area of the triangle, represented here as 
( 1  /  2
)  x.  X  x.  Y  x.  abs ( sin O ), is equal to the square root of  S  x.  ( S  -  X )  x.  ( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ), where  S  =  ( X  +  Y  +  Z )  /  2 is half the perimeter of the triangle. Based on work by Jon Pennant. This is Metamath 100 proof #57. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
heron.f  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
heron.x  |-  X  =  ( abs `  ( B  -  C )
)
heron.y  |-  Y  =  ( abs `  ( A  -  C )
)
heron.z  |-  Z  =  ( abs `  ( A  -  B )
)
heron.o  |-  O  =  ( ( B  -  C ) F ( A  -  C ) )
heron.s  |-  S  =  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  2
)
heron.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
heron.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
heron.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
heron.ac  |-  ( ph  ->  A  =/=  C )
heron.bc  |-  ( ph  ->  B  =/=  C )
Assertion
Ref Expression
heron  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y
) )  x.  ( abs `  ( sin `  O
) ) )  =  ( sqr `  (
( S  x.  ( S  -  X )
)  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    x, C, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    S( x, y)    F( x, y)    O( x, y)    X( x, y)    Y( x, y)    Z( x, y)

Proof of Theorem heron
StepHypRef Expression
1 1red 9614 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
21rehalfcld 10792 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
3 heron.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( abs `  ( B  -  C )
)
4 heron.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
5 heron.c . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
64, 5subcld 9936 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  -  C
)  e.  CC )
76abscld 13248 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  e.  RR )
83, 7syl5eqel 2535 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
9 heron.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( abs `  ( A  -  C )
)
10 heron.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
1110, 5subcld 9936 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  -  C
)  e.  CC )
1211abscld 13248 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  C )
)  e.  RR )
139, 12syl5eqel 2535 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
148, 13remulcld 9627 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  x.  Y
)  e.  RR )
152, 14remulcld 9627 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( X  x.  Y )
)  e.  RR )
16 heron.o . . . . . . 7  |-  O  =  ( ( B  -  C ) F ( A  -  C ) )
17 negpitopissre 22903 . . . . . . . . 9  |-  ( -u pi (,] pi )  C_  RR
18 heron.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
19 heron.bc . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  =/=  C )
204, 5, 19subne0d 9945 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  -  C
)  =/=  0 )
21 heron.ac . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  =/=  C )
2210, 5, 21subne0d 9945 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  -  C
)  =/=  0 )
2318, 6, 20, 11, 22angcld 23113 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  C ) F ( A  -  C ) )  e.  ( -u pi (,] pi ) )
2417, 23sseldi 3487 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  C ) F ( A  -  C ) )  e.  RR )
2524recnd 9625 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  C ) F ( A  -  C ) )  e.  CC )
2616, 25syl5eqel 2535 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O  e.  CC )
2726sincld 13846 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sin `  O
)  e.  CC )
2827abscld 13248 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( sin `  O ) )  e.  RR )
2915, 28remulcld 9627 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y
) )  x.  ( abs `  ( sin `  O
) ) )  e.  RR )
30 0re 9599 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
31 halfre 10761 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
32 halfgt0 10763 . . . . . . 7  |-  0  <  ( 1  /  2
)
3330, 31, 32ltleii 9710 . . . . . 6  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
3433a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 1  /  2 ) )
356absge0d 13256 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  ( B  -  C
) ) )
3635, 3syl6breqr 4477 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  X )
3711absge0d 13256 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  ( A  -  C
) ) )
3837, 9syl6breqr 4477 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  Y )
398, 13, 36, 38mulge0d 10136 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  x.  Y ) )
402, 14, 34, 39mulge0d 10136 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y ) ) )
4127absge0d 13256 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  ( sin `  O
) ) )
4215, 28, 40, 41mulge0d 10136 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( 1  /  2
)  x.  ( X  x.  Y ) )  x.  ( abs `  ( sin `  O ) ) ) )
4329, 42sqrtsqd 13232 . 2  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y
) )  x.  ( abs `  ( sin `  O
) ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y
) )  x.  ( abs `  ( sin `  O
) ) ) )
44 halfcn 10762 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
4544a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
468recnd 9625 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
4713recnd 9625 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
4846, 47mulcld 9619 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  x.  Y
)  e.  CC )
4945, 48mulcld 9619 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( X  x.  Y )
)  e.  CC )
5028recnd 9625 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( sin `  O ) )  e.  CC )
5149, 50sqmuld 12303 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y ) )  x.  ( abs `  ( sin `  O ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( X  x.  Y ) ) ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( sin `  O ) ) ^ 2 ) ) )
52 2cnd 10615 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
53 2ne0 10635 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
5453a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
5548, 52, 54sqdivd 12304 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  Y )  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( X  x.  Y
) ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) ) )
5648, 52, 54divrec2d 10331 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  Y )  /  2
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y ) ) )
5756oveq1d 6296 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  Y )  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( X  x.  Y ) ) ^ 2 ) )
58 sq2 12245 . . . . . . . 8  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
5958a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ 2 )  =  4 )
6059oveq2d 6297 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  Y ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( X  x.  Y
) ^ 2 )  /  4 ) )
6155, 57, 603eqtr3d 2492 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( X  x.  Y
) ^ 2 )  /  4 ) )
6216, 24syl5eqel 2535 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O  e.  RR )
6362resincld 13859 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sin `  O
)  e.  RR )
64 absresq 13116 . . . . . 6  |-  ( ( sin `  O )  e.  RR  ->  (
( abs `  ( sin `  O ) ) ^ 2 )  =  ( ( sin `  O
) ^ 2 ) )
6563, 64syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( sin `  O ) ) ^ 2 )  =  ( ( sin `  O
) ^ 2 ) )
6661, 65oveq12d 6299 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  (
( abs `  ( sin `  O ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( X  x.  Y
) ^ 2 )  /  4 )  x.  ( ( sin `  O
) ^ 2 ) ) )
6748sqcld 12289 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  Y ) ^ 2 )  e.  CC )
6827sqcld 12289 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  O
) ^ 2 )  e.  CC )
6967, 68mulcld 9619 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  Y ) ^
2 )  x.  (
( sin `  O
) ^ 2 ) )  e.  CC )
70 4cn 10620 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
7170a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
72 heron.s . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  2
)
738, 13readdcld 9626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  +  Y
)  e.  RR )
74 heron.z . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Z  =  ( abs `  ( A  -  B )
)
7510, 4subcld 9936 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
7675abscld 13248 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  RR )
7774, 76syl5eqel 2535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR )
7873, 77readdcld 9626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  Y )  +  Z
)  e.  RR )
7978rehalfcld 10792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  2
)  e.  RR )
8072, 79syl5eqel 2535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
8180recnd 9625 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
8281, 46subcld 9936 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  -  X
)  e.  CC )
8381, 82mulcld 9619 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  x.  ( S  -  X )
)  e.  CC )
8481, 47subcld 9936 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  -  Y
)  e.  CC )
8577recnd 9625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  CC )
8681, 85subcld 9936 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  -  Z
)  e.  CC )
8784, 86mulcld 9619 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z )
)  e.  CC )
8883, 87mulcld 9619 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  x.  ( S  -  X
) )  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) )  e.  CC )
8971, 88mulcld 9619 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( S  x.  ( S  -  X )
)  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z ) ) ) )  e.  CC )
90 4ne0 10639 . . . . . . . 8  |-  4  =/=  0
9190a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  4  =/=  0 )
9252, 48sqmuld 12303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y
) ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( X  x.  Y ) ^
2 ) ) )
9359oveq1d 6296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ 2 )  x.  (
( X  x.  Y
) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( X  x.  Y ) ^
2 ) ) )
9492, 93eqtr2d 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( X  x.  Y
) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^ 2 ) )
9594oveq1d 6296 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( X  x.  Y ) ^ 2 ) )  x.  (
( sin `  O
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y )
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  O ) ^ 2 ) ) )
9671, 67, 68mulassd 9622 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( X  x.  Y ) ^ 2 ) )  x.  (
( sin `  O
) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( ( X  x.  Y ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  O
) ^ 2 ) ) ) )
9752, 48mulcld 9619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( X  x.  Y )
)  e.  CC )
9897sqcld 12289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y
) ) ^ 2 )  e.  CC )
9998, 68mulcld 9619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  (
( sin `  O
) ^ 2 ) )  e.  CC )
10047, 85mulcld 9619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  x.  Z
)  e.  CC )
10152, 100mulcld 9619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
)  e.  CC )
102101sqcld 12289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) ) ^ 2 )  e.  CC )
10347sqcld 12289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  e.  CC )
10485sqcld 12289 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Z ^ 2 )  e.  CC )
10546sqcld 12289 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  CC )
106104, 105subcld 9936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
107103, 106addcld 9618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  e.  CC )
108107sqcld 12289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
109102, 108subcld 9936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^
2 )  -  (
( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
11026coscld 13847 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( cos `  O
)  e.  CC )
111110sqcld 12289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( cos `  O
) ^ 2 )  e.  CC )
11298, 111mulcld 9619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  (
( cos `  O
) ^ 2 ) )  e.  CC )
113 sincossq 13892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( O  e.  CC  ->  (
( ( sin `  O
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  O ) ^ 2 ) )  =  1 )
11426, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  O ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  O ) ^ 2 ) )  =  1 )
115114oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  (
( ( sin `  O
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  O ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  1 ) )
11698, 68, 111adddid 9623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  (
( ( sin `  O
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  O ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  O
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y )
) ^ 2 )  x.  ( ( cos `  O ) ^ 2 ) ) ) )
1171032timesd 10788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( Y ^ 2 ) )  =  ( ( Y ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )
118103, 106, 103ppncand 9976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( Y ^
2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )
119117, 118eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( Y ^ 2 ) )  =  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ) )
1201062timesd 10788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )
121103, 106, 106pnncand 9975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  -  ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) )
122120, 121eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) )  -  ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ) )
123119, 122oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  (
2  x.  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  -  ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ) ) )
124 2t2e4 10692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
125124, 71syl5eqel 2535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  2 )  e.  CC )
126125, 103, 106mulassd 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( ( Y ^ 2 )  x.  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ) )
127125, 103mulcld 9619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  e.  CC )
128127, 104, 105subdid 10019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( Z ^
2 ) )  -  ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
12952sqvald 12288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ 2 )  =  ( 2  x.  2 ) )
13047, 85sqmuld 12303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( Y  x.  Z ) ^ 2 )  =  ( ( Y ^ 2 )  x.  ( Z ^
2 ) ) )
131129, 130oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ 2 )  x.  (
( Y  x.  Z
) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( ( Y ^ 2 )  x.  ( Z ^ 2 ) ) ) )
13252, 100sqmuld 12303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( Y  x.  Z ) ^
2 ) ) )
133125, 103, 104mulassd 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( Z ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( ( Y ^
2 )  x.  ( Z ^ 2 ) ) ) )
134131, 132, 1333eqtr4d 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( Z ^
2 ) ) )
13546, 47sqmuld 12303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  Y ) ^ 2 )  =  ( ( X ^ 2 )  x.  ( Y ^
2 ) ) )
136105, 103mulcomd 9620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  =  ( ( Y ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) ) )
137135, 136eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  Y ) ^ 2 )  =  ( ( Y ^ 2 )  x.  ( X ^
2 ) ) )
138129, 137oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ 2 )  x.  (
( X  x.  Y
) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( ( Y ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
139125, 103, 105mulassd 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( ( Y ^
2 )  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
140138, 92, 1393eqtr4d 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( X ^
2 ) ) )
141134, 140oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^
2 )  -  (
( 2  x.  ( X  x.  Y )
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( Z ^
2 ) )  -  ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
142128, 141eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  2 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 ) ) )
14352, 52, 103, 106mul4d 9795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  2 )  x.  (
( Y ^ 2 )  x.  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( 2  x.  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ) )
144126, 142, 1433eqtr3d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^
2 )  -  (
( 2  x.  ( X  x.  Y )
) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( 2  x.  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ) )
145103, 106subcld 9936 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
2 )  -  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  e.  CC )
146 subsq 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( ( Y ^
2 )  -  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  -  ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ) ) )
147107, 145, 146syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) )  +  ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  -  ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ) ) )
148123, 144, 1473eqtr4d 2494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^
2 )  -  (
( 2  x.  ( X  x.  Y )
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
149148oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^
2 )  -  (
( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
150102, 98nncand 9941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^
2 )  -  (
( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^ 2 ) )
151145sqcld 12289 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
152102, 108, 151subsubd 9964 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^
2 )  -  (
( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
153149, 150, 1523eqtr3d 2492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
15498mulid1d 9616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  1 )  =  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^ 2 ) )
155105, 103addcld 9618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  e.  CC )
15648, 110mulcld 9619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  Y )  x.  ( cos `  O ) )  e.  CC )
15752, 156mulcld 9619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( X  x.  Y
)  x.  ( cos `  O ) ) )  e.  CC )
158155, 157nncand 9941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  -  (
( ( X ^
2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( X  x.  Y )  x.  ( cos `  O
) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( X  x.  Y )  x.  ( cos `  O
) ) ) )
159103, 104subcld 9936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
2 )  -  ( Z ^ 2 ) )  e.  CC )
160159, 105addcomd 9785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( Z ^ 2 ) )  +  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( ( Y ^
2 )  -  ( Z ^ 2 ) ) ) )
161103, 104, 105subsubd 9964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
2 )  -  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( Z ^ 2 ) )  +  ( X ^
2 ) ) )
162105, 103, 104addsubassd 9956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  -  ( Z ^ 2 ) )  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( ( Y ^
2 )  -  ( Z ^ 2 ) ) ) )
163160, 161, 1623eqtr4d 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
2 )  -  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  -  ( Z ^
2 ) ) )
16418, 3, 9, 74, 16lawcos 23124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( Z ^ 2 )  =  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( ( X  x.  Y )  x.  ( cos `  O
) ) ) ) )
16510, 4, 5, 21, 19, 164syl32anc 1237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( Z ^ 2 )  =  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( X  x.  Y )  x.  ( cos `  O ) ) ) ) )
166165oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  -  ( Z ^ 2 ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^
2 ) )  -  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( ( X  x.  Y )  x.  ( cos `  O
) ) ) ) ) )
167163, 166eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
2 )  -  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  -  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^
2 ) )  -  ( 2  x.  (
( X  x.  Y
)  x.  ( cos `  O ) ) ) ) ) )
16852, 48, 110mulassd 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y
) )  x.  ( cos `  O ) )  =  ( 2  x.  ( ( X  x.  Y )  x.  ( cos `  O ) ) ) )
169158, 167, 1683eqtr4d 2494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
2 )  -  (
( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) )  x.  ( cos `  O
) ) )
170169oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) )  x.  ( cos `  O
) ) ^ 2 ) )
17197, 110sqmuld 12303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) )  x.  ( cos `  O
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y )
) ^ 2 )  x.  ( ( cos `  O ) ^ 2 ) ) )
172170, 171eqtr2d 2485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  (
( cos `  O
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ^ 2 ) )
173172oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y )
) ^ 2 )  x.  ( ( cos `  O ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( Y ^ 2 )  -  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
174153, 154, 1733eqtr4d 2494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  1 )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^ 2 )  x.  ( ( cos `  O
) ^ 2 ) ) ) )
175115, 116, 1743eqtr3d 2492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  O
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y )
) ^ 2 )  x.  ( ( cos `  O ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y )
) ^ 2 )  x.  ( ( cos `  O ) ^ 2 ) ) ) )
17699, 109, 112, 175addcan2ad 9789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  (
( sin `  O
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
177 subsq 12256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
)  e.  CC  /\  ( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
)  +  ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  -  (
( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ) ) )
178101, 107, 177syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ^
2 )  -  (
( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
)  +  ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  -  (
( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) ) ) )
179103, 104addcld 9618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  e.  CC )
180101, 179, 105addsubassd 9956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  +  ( ( Y ^
2 )  +  ( Z ^ 2 ) ) )  -  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  +  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )
181103, 104, 105addsubassd 9956 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  -  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )
182181oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  +  ( ( ( Y ^
2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  +  ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ) )
183180, 182eqtr2d 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  +  ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
)  +  ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^
2 ) ) )  -  ( X ^
2 ) ) )
184 binom2 12264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Y  e.  CC  /\  Z  e.  CC )  ->  ( ( Y  +  Z ) ^ 2 )  =  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) )  +  ( Z ^
2 ) ) )
18547, 85, 184syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  Z ) ^ 2 )  =  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) )  +  ( Z ^
2 ) ) )
186103, 101, 104add32d 9807 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
) )  +  ( Z ^ 2 ) )  =  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) ) ) )
187179, 101addcomd 9785 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  +  ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) ) ) )
188185, 186, 1873eqtrd 2488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  Z ) ^ 2 )  =  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  +  ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) ) ) )
189188oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  +  Z ) ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  +  ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) ) )  -  ( X ^ 2 ) ) )
19047, 85addcld 9618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Y  +  Z
)  e.  CC )
191 subsq 12256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Y  +  Z
)  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( ( Y  +  Z ) ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( ( Y  +  Z )  +  X )  x.  ( ( Y  +  Z )  -  X
) ) )
192190, 46, 191syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  +  Z ) ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( ( Y  +  Z )  +  X )  x.  ( ( Y  +  Z )  -  X
) ) )
19372oveq2i 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  x.  S )  =  ( 2  x.  (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  2 ) )
19478recnd 9625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  Y )  +  Z
)  e.  CC )
195194, 52, 54divcan2d 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  2 ) )  =  ( ( X  +  Y )  +  Z ) )
196193, 195syl5eq 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  =  ( ( X  +  Y )  +  Z ) )
19746, 47, 85addassd 9621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  Y )  +  Z
)  =  ( X  +  ( Y  +  Z ) ) )
19846, 190addcomd 9785 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( X  +  ( Y  +  Z ) )  =  ( ( Y  +  Z )  +  X ) )
199196, 197, 1983eqtrd 2488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  =  ( ( Y  +  Z )  +  X ) )
20052, 81, 46subdid 10019 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( S  -  X )
)  =  ( ( 2  x.  S )  -  ( 2  x.  X ) ) )
201196, 197eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  =  ( X  +  ( Y  +  Z ) ) )
202462timesd 10788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  X
)  =  ( X  +  X ) )
203201, 202oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  -  (
2  x.  X ) )  =  ( ( X  +  ( Y  +  Z ) )  -  ( X  +  X ) ) )
20446, 190, 46pnpcand 9973 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( Y  +  Z
) )  -  ( X  +  X )
)  =  ( ( Y  +  Z )  -  X ) )
205200, 203, 2043eqtrd 2488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( S  -  X )
)  =  ( ( Y  +  Z )  -  X ) )
206199, 205oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  x.  (
2  x.  ( S  -  X ) ) )  =  ( ( ( Y  +  Z
)  +  X )  x.  ( ( Y  +  Z )  -  X ) ) )
207192, 206eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  +  Z ) ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  S )  x.  ( 2  x.  ( S  -  X )
) ) )
20852, 81, 52, 82mul4d 9795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  x.  (
2  x.  ( S  -  X ) ) )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( S  x.  ( S  -  X
) ) ) )
209124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  2 )  =  4 )
210209oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( S  x.  ( S  -  X ) ) )  =  ( 4  x.  ( S  x.  ( S  -  X )
) ) )
211207, 208, 2103eqtrd 2488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  +  Z ) ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( S  x.  ( S  -  X )
) ) )
212183, 189, 2113eqtr2d 2490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  +  ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) )  =  ( 4  x.  ( S  x.  ( S  -  X
) ) ) )
213101, 179subcld 9936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  -  (
( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) ) )  e.  CC )
214213, 105addcomd 9785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  -  ( ( Y ^
2 )  +  ( Z ^ 2 ) ) )  +  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  -  ( ( Y ^
2 )  +  ( Z ^ 2 ) ) ) ) )
215181oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  -  (
( ( Y ^
2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  -  ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^
2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ) )
216101, 179, 105subsubd 9964 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  -  (
( ( Y ^
2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  -  ( X ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
)  -  ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^
2 ) ) )  +  ( X ^
2 ) ) )
217215, 216eqtr3d 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  -  (
( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
)  -  ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^
2 ) ) )  +  ( X ^
2 ) ) )
218105, 179, 101subsub2d 9965 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  -  (
( ( Y ^
2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  -  ( ( Y ^
2 )  +  ( Z ^ 2 ) ) ) ) )
219214, 217, 2183eqtr4d 2494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  -  (
( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  -  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^
2 ) )  -  ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
) ) ) )
220103, 104, 101addsubassd 9956 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( Y  x.  Z ) ) )  =  ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
) ) ) )
221104, 101subcld 9936 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( Z ^
2 )  -  (
2  x.  ( Y  x.  Z ) ) )  e.  CC )
222103, 221addcomd 9785 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ) )  =  ( ( ( Z ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) )  +  ( Y ^
2 ) ) )
22347, 85mulcomd 9620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Y  x.  Z
)  =  ( Z  x.  Y ) )
224223oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
)  =  ( 2  x.  ( Z  x.  Y ) ) )
225224oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( Z ^
2 )  -  (
2  x.  ( Y  x.  Z ) ) )  =  ( ( Z ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( Z  x.  Y
) ) ) )
226225oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( Z ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( Y  x.  Z )
) )  +  ( Y ^ 2 ) )  =  ( ( ( Z ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( Z  x.  Y ) ) )  +  ( Y ^
2 ) ) )
227220, 222, 2263eqtrd 2488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( Y  x.  Z ) ) )  =  ( ( ( Z ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( Z  x.  Y ) ) )  +  ( Y ^
2 ) ) )
228 binom2sub 12266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Z  e.  CC  /\  Y  e.  CC )  ->  ( ( Z  -  Y ) ^ 2 )  =  ( ( ( Z ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( Z  x.  Y ) ) )  +  ( Y ^
2 ) ) )
22985, 47, 228syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Z  -  Y ) ^ 2 )  =  ( ( ( Z ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( Z  x.  Y ) ) )  +  ( Y ^
2 ) ) )
230227, 229eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y ^ 2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( Y  x.  Z ) ) )  =  ( ( Z  -  Y ) ^ 2 ) )
231230oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  -  (
( ( Y ^
2 )  +  ( Z ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  -  ( ( Z  -  Y ) ^
2 ) ) )
23285, 47subcld 9936 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Z  -  Y
)  e.  CC )
233 subsq 12256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( Z  -  Y
)  e.  CC )  ->  ( ( X ^ 2 )  -  ( ( Z  -  Y ) ^ 2 ) )  =  ( ( X  +  ( Z  -  Y ) )  x.  ( X  -  ( Z  -  Y ) ) ) )
23446, 232, 233syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  -  (
( Z  -  Y
) ^ 2 ) )  =  ( ( X  +  ( Z  -  Y ) )  x.  ( X  -  ( Z  -  Y
) ) ) )
23552, 81, 47subdid 10019 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( S  -  Y )
)  =  ( ( 2  x.  S )  -  ( 2  x.  Y ) ) )
23646, 47, 85add32d 9807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  Y )  +  Z
)  =  ( ( X  +  Z )  +  Y ) )
237196, 236eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  =  ( ( X  +  Z )  +  Y ) )
238472timesd 10788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  Y
)  =  ( Y  +  Y ) )
239237, 238oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  -  (
2  x.  Y ) )  =  ( ( ( X  +  Z
)  +  Y )  -  ( Y  +  Y ) ) )
24046, 85addcld 9618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X  +  Z
)  e.  CC )
241240, 47, 47pnpcan2d 9974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  Z )  +  Y )  -  ( Y  +  Y )
)  =  ( ( X  +  Z )  -  Y ) )
24246, 85, 47addsubassd 9956 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  Z )  -  Y
)  =  ( X  +  ( Z  -  Y ) ) )
243241, 242eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  Z )  +  Y )  -  ( Y  +  Y )
)  =  ( X  +  ( Z  -  Y ) ) )
244235, 239, 2433eqtrd 2488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( S  -  Y )
)  =  ( X  +  ( Z  -  Y ) ) )
24552, 81, 85subdid 10019 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( S  -  Z )
)  =  ( ( 2  x.  S )  -  ( 2  x.  Z ) ) )
246852timesd 10788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  Z
)  =  ( Z  +  Z ) )
247196, 246oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  -  (
2  x.  Z ) )  =  ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  -  ( Z  +  Z ) ) )
24846, 47addcld 9618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X  +  Y
)  e.  CC )
249248, 85, 85pnpcan2d 9974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  -  ( Z  +  Z )
)  =  ( ( X  +  Y )  -  Z ) )
25046, 85, 47subsub3d 9966 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( Z  -  Y )
)  =  ( ( X  +  Y )  -  Z ) )
251249, 250eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  -  ( Z  +  Z )
)  =  ( X  -  ( Z  -  Y ) ) )
252245, 247, 2513eqtrd 2488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( S  -  Z )
)  =  ( X  -  ( Z  -  Y ) ) )
253244, 252oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( S  -  Y
) )  x.  (
2  x.  ( S  -  Z ) ) )  =  ( ( X  +  ( Z  -  Y ) )  x.  ( X  -  ( Z  -  Y
) ) ) )
254234, 253eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  -  (
( Z  -  Y
) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( S  -  Y ) )  x.  ( 2  x.  ( S  -  Z
) ) ) )
25552, 84, 52, 86mul4d 9795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( S  -  Y
) )  x.  (
2  x.  ( S  -  Z ) ) )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z
) ) ) )
256209oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  2 )  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) )  =  ( 4  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z
) ) ) )
257254, 255, 2563eqtrd 2488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  -  (
( Z  -  Y
) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z
) ) ) )
258219, 231, 2573eqtrd 2488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z
) )  -  (
( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^
2 ) ) ) )  =  ( 4  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z
) ) ) )
259212, 258oveq12d 6299 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  x.  Z ) )  +  ( ( Y ^
2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( 2  x.  ( Y  x.  Z )
)  -  ( ( Y ^ 2 )  +  ( ( Z ^ 2 )  -  ( X ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( S  x.  ( S  -  X
) ) )  x.  ( 4  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) ) ) )
260176, 178, 2593eqtrd 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  (
( sin `  O
) ^ 2 ) )  =  ( ( 4  x.  ( S  x.  ( S  -  X ) ) )  x.  ( 4  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z )
) ) ) )
26171, 87mulcld 9619 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) )  e.  CC )
26271, 83, 261mulassd 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( S  x.  ( S  -  X )
) )  x.  (
4  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z ) ) ) )  =  ( 4  x.  ( ( S  x.  ( S  -  X ) )  x.  ( 4  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) ) ) ) )
26383, 71, 87mul12d 9792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S  x.  ( S  -  X
) )  x.  (
4  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z ) ) ) )  =  ( 4  x.  ( ( S  x.  ( S  -  X ) )  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z )
) ) ) )
264263oveq2d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( S  x.  ( S  -  X )
)  x.  ( 4  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z
) ) ) ) )  =  ( 4  x.  ( 4  x.  ( ( S  x.  ( S  -  X
) )  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) ) ) ) )
265260, 262, 2643eqtrd 2488 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( X  x.  Y ) ) ^
2 )  x.  (
( sin `  O
) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( 4  x.  ( ( S  x.  ( S  -  X
) )  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) ) ) ) )
26695, 96, 2653eqtr3d 2492 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( ( X  x.  Y ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  O ) ^ 2 ) ) )  =  ( 4  x.  ( 4  x.  ( ( S  x.  ( S  -  X
) )  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) ) ) ) )
26769, 89, 71, 91, 266mulcanad 10191 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  Y ) ^
2 )  x.  (
( sin `  O
) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( S  x.  ( S  -  X ) )  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z )
) ) ) )
268267oveq1d 6296 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  x.  Y ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  O
) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( 4  x.  ( ( S  x.  ( S  -  X ) )  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z )
) ) )  / 
4 ) )
26967, 68, 71, 91div23d 10364 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  x.  Y ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  O
) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( X  x.  Y
) ^ 2 )  /  4 )  x.  ( ( sin `  O
) ^ 2 ) ) )
27080, 8resubcld 9994 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  -  X
)  e.  RR )
27180, 270remulcld 9627 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  x.  ( S  -  X )
)  e.  RR )
27280, 13resubcld 9994 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  -  Y
)  e.  RR )
27380, 77resubcld 9994 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  -  Z
)  e.  RR )
274272, 273remulcld 9627 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z )
)  e.  RR )
275271, 274remulcld 9627 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S  x.  ( S  -  X
) )  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) )  e.  RR )
276275recnd 9625 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  x.  ( S  -  X
) )  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) )  e.  CC )
277276, 71, 91divcan3d 10332 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( S  x.  ( S  -  X
) )  x.  (
( S  -  Y
)  x.  ( S  -  Z ) ) ) )  /  4
)  =  ( ( S  x.  ( S  -  X ) )  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z
) ) ) )
278268, 269, 2773eqtr3d 2492 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  x.  Y ) ^ 2 )  / 
4 )  x.  (
( sin `  O
) ^ 2 ) )  =  ( ( S  x.  ( S  -  X ) )  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z
) ) ) )
27951, 66, 2783eqtrd 2488 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y ) )  x.  ( abs `  ( sin `  O ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( S  x.  ( S  -  X ) )  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z )
) ) )
280279fveq2d 5860 . 2  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y
) )  x.  ( abs `  ( sin `  O
) ) ) ^
2 ) )  =  ( sqr `  (
( S  x.  ( S  -  X )
)  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z ) ) ) ) )
28143, 280eqtr3d 2486 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X  x.  Y
) )  x.  ( abs `  ( sin `  O
) ) )  =  ( sqr `  (
( S  x.  ( S  -  X )
)  x.  ( ( S  -  Y )  x.  ( S  -  Z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638    \ cdif 3458   {csn 4014   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    |-> cmpt2 6283   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    <_ cle 9632    - cmin 9810   -ucneg 9811    / cdiv 10213   2c2 10592   4c4 10594   (,]cioc 11540   ^cexp 12147   Imcim 12912   sqrcsqrt 13047   abscabs 13048   sincsin 13780   cosccos 13781   picpi 13783   logclog 22918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10986  df-uz 11092  df-q 11193  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-ioo 11543  df-ioc 11544  df-ico 11545  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-fl 11910  df-mod 11978  df-seq 12089  df-exp 12148  df-fac 12335  df-bc 12362  df-hash 12387  df-shft 12881  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050  df-limsup 13275  df-clim 13292  df-rlim 13293  df-sum 13490  df-ef 13784  df-sin 13786  df-cos 13787  df-pi 13789  df-struct 14615  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-mulr 14692  df-starv 14693  df-sca 14694  df-vsca 14695  df-ip 14696  df-tset 14697  df-ple 14698  df-ds 14700  df-unif 14701  df-hom 14702  df-cco 14703  df-rest 14801  df-topn 14802  df-0g 14820  df-gsum 14821  df-topgen 14822  df-pt 14823  df-prds 14826  df-xrs 14880  df-qtop 14885  df-imas 14886  df-xps 14888  df-mre 14964  df-mrc 14965  df-acs 14967  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-submnd 15945  df-mulg 16038  df-cntz 16333  df-cmn 16778  df-psmet 18389  df-xmet 18390  df-met 18391  df-bl 18392  df-mopn 18393  df-fbas 18394  df-fg 18395  df-cnfld 18399  df-top 19376  df-bases 19378  df-topon 19379  df-topsp 19380  df-cld 19497  df-ntr 19498  df-cls 19499  df-nei 19576  df-lp 19614  df-perf 19615  df-cn 19705  df-cnp 19706  df-haus 19793  df-tx 20040  df-hmeo 20233  df-fil 20324  df-fm 20416  df-flim 20417  df-flf 20418  df-xms 20800  df-ms 20801  df-tms 20802  df-cncf 21359  df-limc 22247  df-dv 22248  df-log 22920
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator