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Theorem heron 23751
 Description: Heron's formula gives the area of a triangle given only the side lengths. If points A, B, C form a triangle, then the area of the triangle, represented here as , is equal to the square root of , where is half the perimeter of the triangle. Based on work by Jon Pennant. This is Metamath 100 proof #57. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
heron.f
heron.x
heron.y
heron.z
heron.o
heron.s
heron.a
heron.b
heron.c
heron.ac
heron.bc
Assertion
Ref Expression
heron
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem heron
StepHypRef Expression
1 1red 9659 . . . . . 6
21rehalfcld 10860 . . . . 5
3 heron.x . . . . . . 7
4 heron.b . . . . . . . . 9
5 heron.c . . . . . . . . 9
64, 5subcld 9987 . . . . . . . 8
76abscld 13486 . . . . . . 7
83, 7syl5eqel 2514 . . . . . 6
9 heron.y . . . . . . 7
10 heron.a . . . . . . . . 9
1110, 5subcld 9987 . . . . . . . 8
1211abscld 13486 . . . . . . 7
139, 12syl5eqel 2514 . . . . . 6
148, 13remulcld 9672 . . . . 5
152, 14remulcld 9672 . . . 4
16 heron.o . . . . . . 7
17 negpitopissre 23476 . . . . . . . . 9
18 heron.f . . . . . . . . . 10
19 heron.bc . . . . . . . . . . 11
204, 5, 19subne0d 9996 . . . . . . . . . 10
21 heron.ac . . . . . . . . . . 11
2210, 5, 21subne0d 9996 . . . . . . . . . 10
2318, 6, 20, 11, 22angcld 23721 . . . . . . . . 9
2417, 23sseldi 3462 . . . . . . . 8
2524recnd 9670 . . . . . . 7
2616, 25syl5eqel 2514 . . . . . 6
2726sincld 14172 . . . . 5
2827abscld 13486 . . . 4
2915, 28remulcld 9672 . . 3
30 0re 9644 . . . . . . 7
31 halfre 10829 . . . . . . 7
32 halfgt0 10831 . . . . . . 7
3330, 31, 32ltleii 9758 . . . . . 6
3433a1i 11 . . . . 5
356absge0d 13494 . . . . . . 7
3635, 3syl6breqr 4461 . . . . . 6
3711absge0d 13494 . . . . . . 7
3837, 9syl6breqr 4461 . . . . . 6
398, 13, 36, 38mulge0d 10191 . . . . 5
402, 14, 34, 39mulge0d 10191 . . . 4
4127absge0d 13494 . . . 4
4215, 28, 40, 41mulge0d 10191 . . 3
4329, 42sqrtsqd 13470 . 2
44 halfcn 10830 . . . . . . 7
4544a1i 11 . . . . . 6
468recnd 9670 . . . . . . 7
4713recnd 9670 . . . . . . 7
4846, 47mulcld 9664 . . . . . 6
4945, 48mulcld 9664 . . . . 5
5028recnd 9670 . . . . 5
5149, 50sqmuld 12428 . . . 4
52 2cnd 10683 . . . . . . 7
53 2ne0 10703 . . . . . . . 8
5453a1i 11 . . . . . . 7
5548, 52, 54sqdivd 12429 . . . . . 6
5648, 52, 54divrec2d 10388 . . . . . . 7
5756oveq1d 6317 . . . . . 6
58 sq2 12371 . . . . . . . 8
5958a1i 11 . . . . . . 7
6059oveq2d 6318 . . . . . 6
6155, 57, 603eqtr3d 2471 . . . . 5
6216, 24syl5eqel 2514 . . . . . . 7
6362resincld 14185 . . . . . 6
64 absresq 13354 . . . . . 6
6563, 64syl 17 . . . . 5
6661, 65oveq12d 6320 . . . 4
6748sqcld 12414 . . . . . . . 8
6827sqcld 12414 . . . . . . . 8
6967, 68mulcld 9664 . . . . . . 7
70 4cn 10688 . . . . . . . . 9
7170a1i 11 . . . . . . . 8
72 heron.s . . . . . . . . . . . 12
738, 13readdcld 9671 . . . . . . . . . . . . . 14
74 heron.z . . . . . . . . . . . . . . 15
7510, 4subcld 9987 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7675abscld 13486 . . . . . . . . . . . . . . 15
7774, 76syl5eqel 2514 . . . . . . . . . . . . . 14
7873, 77readdcld 9671 . . . . . . . . . . . . 13
7978rehalfcld 10860 . . . . . . . . . . . 12
8072, 79syl5eqel 2514 . . . . . . . . . . 11
8180recnd 9670 . . . . . . . . . 10
8281, 46subcld 9987 . . . . . . . . . 10
8381, 82mulcld 9664 . . . . . . . . 9
8481, 47subcld 9987 . . . . . . . . . 10
8577recnd 9670 . . . . . . . . . . 11
8681, 85subcld 9987 . . . . . . . . . 10
8784, 86mulcld 9664 . . . . . . . . 9
8883, 87mulcld 9664 . . . . . . . 8
8971, 88mulcld 9664 . . . . . . 7
90 4ne0 10707 . . . . . . . 8
9190a1i 11 . . . . . . 7
9252, 48sqmuld 12428 . . . . . . . . . 10
9359oveq1d 6317 . . . . . . . . . 10
9492, 93eqtr2d 2464 . . . . . . . . 9
9594oveq1d 6317 . . . . . . . 8
9671, 67, 68mulassd 9667 . . . . . . . 8
9752, 48mulcld 9664 . . . . . . . . . . . . 13
9897sqcld 12414 . . . . . . . . . . . 12
9998, 68mulcld 9664 . . . . . . . . . . 11
10047, 85mulcld 9664 . . . . . . . . . . . . . 14
10152, 100mulcld 9664 . . . . . . . . . . . . 13
102101sqcld 12414 . . . . . . . . . . . 12
10347sqcld 12414 . . . . . . . . . . . . . 14
10485sqcld 12414 . . . . . . . . . . . . . . 15
10546sqcld 12414 . . . . . . . . . . . . . . 15
106104, 105subcld 9987 . . . . . . . . . . . . . 14
107103, 106addcld 9663 . . . . . . . . . . . . 13
108107sqcld 12414 . . . . . . . . . . . 12
109102, 108subcld 9987 . . . . . . . . . . 11
11026coscld 14173 . . . . . . . . . . . . 13
111110sqcld 12414 . . . . . . . . . . . 12
11298, 111mulcld 9664 . . . . . . . . . . 11
113 sincossq 14218 . . . . . . . . . . . . . 14
11426, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
115114oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . 12
11698, 68, 111adddid 9668 . . . . . . . . . . . 12
1171032timesd 10856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
118103, 106, 103ppncand 10027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
119117, 118eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1201062timesd 10856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
121103, 106, 106pnncand 10026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
122120, 121eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
123119, 122oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . 16
124 2t2e4 10760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
125124, 71syl5eqel 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
126125, 103, 106mulassd 9667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
127125, 103mulcld 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
128127, 104, 105subdid 10075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12952sqvald 12413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
13047, 85sqmuld 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
131129, 130oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
13252, 100sqmuld 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
133125, 103, 104mulassd 9667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
134131, 132, 1333eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13546, 47sqmuld 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
136105, 103mulcomd 9665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
137135, 136eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
138129, 137oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
139125, 103, 105mulassd 9667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
140138, 92, 1393eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
141134, 140oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
142128, 141eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
14352, 52, 103, 106mul4d 9846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
144126, 142, 1433eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
145103, 106subcld 9987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
146 subsq 12382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
147107, 145, 146syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16
148123, 144, 1473eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15
149148oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . 14
150102, 98nncand 9992 . . . . . . . . . . . . . 14
151145sqcld 12414 . . . . . . . . . . . . . . 15
152102, 108, 151subsubd 10015 . . . . . . . . . . . . . 14
153149, 150, 1523eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . 13
15498mulid1d 9661 . . . . . . . . . . . . 13
155105, 103addcld 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15648, 110mulcld 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
15752, 156mulcld 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
158155, 157nncand 9992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
159103, 104subcld 9987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
160159, 105addcomd 9836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
161103, 104, 105subsubd 10015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
162105, 103, 104addsubassd 10007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
163160, 161, 1623eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
16418, 3, 9, 74, 16lawcos 23732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
16510, 4, 5, 21, 19, 164syl32anc 1272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
166165oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
167163, 166eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
16852, 48, 110mulassd 9667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
169158, 167, 1683eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . 16
170169oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . . . 15
17197, 110sqmuld 12428 . . . . . . . . . . . . . . 15
172170, 171eqtr2d 2464 . . . . . . . . . . . . . 14
173172oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . 13
174153, 154, 1733eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . 12
175115, 116, 1743eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . 11
17699, 109, 112, 175addcan2ad 9840 . . . . . . . . . 10
177 subsq 12382 . . . . . . . . . . 11
178101, 107, 177syl2anc 665 . . . . . . . . . 10
179103, 104addcld 9663 . . . . . . . . . . . . . 14
180101, 179, 105addsubassd 10007 . . . . . . . . . . . . 13
181103, 104, 105addsubassd 10007 . . . . . . . . . . . . . 14
182181oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . 13
183180, 182eqtr2d 2464 . . . . . . . . . . . 12
184 binom2 12389 . . . . . . . . . . . . . . 15
18547, 85, 184syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14
186103, 101, 104add32d 9858 . . . . . . . . . . . . . 14
187179, 101addcomd 9836 . . . . . . . . . . . . . 14
188185, 186, 1873eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13
189188oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . 12
19047, 85addcld 9663 . . . . . . . . . . . . . . 15
191 subsq 12382 . . . . . . . . . . . . . . 15
192190, 46, 191syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14
19372oveq2i 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
19478recnd 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
195194, 52, 54divcan2d 10386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
196193, 195syl5eq 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16
19746, 47, 85addassd 9666 . . . . . . . . . . . . . . . 16
19846, 190addcomd 9836 . . . . . . . . . . . . . . . 16
199196, 197, 1983eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15
20052, 81, 46subdid 10075 . . . . . . . . . . . . . . . 16
201196, 197eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
202462timesd 10856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
203201, 202oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . 16
20446, 190, 46pnpcand 10024 . . . . . . . . . . . . . . . 16
205200, 203, 2043eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15
206199, 205oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . . . 14
207192, 206eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . . 13
20852, 81, 52, 82mul4d 9846 . . . . . . . . . . . . 13
209124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
210209oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . 13
211207, 208, 2103eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12
212183, 189, 2113eqtr2d 2469 . . . . . . . . . . 11
213101, 179subcld 9987 . . . . . . . . . . . . . 14
214213, 105addcomd 9836 . . . . . . . . . . . . 13
215181oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . 14
216101, 179, 105subsubd 10015 . . . . . . . . . . . . . 14
217215, 216eqtr3d 2465 . . . . . . . . . . . . 13
218105, 179, 101subsub2d 10016 . . . . . . . . . . . . 13
219214, 217, 2183eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . 12
220103, 104, 101addsubassd 10007 . . . . . . . . . . . . . . 15
221104, 101subcld 9987 . . . . . . . . . . . . . . . 16
222103, 221addcomd 9836 . . . . . . . . . . . . . . 15
22347, 85mulcomd 9665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
224223oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
225224oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . 16
226225oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . . . 15
227220, 222, 2263eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . 14
228 binom2sub 12391 . . . . . . . . . . . . . . 15
22985, 47, 228syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14
230227, 229eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . . 13
231230oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . 12
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