Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1234qrmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pell1234qrmulcl 36437
 Description: General solutions of the Pell equation are closed under multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1234qrmulcl ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷))

Proof of Theorem pell1234qrmulcl
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remulcl 9900 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
21ad5antlr 767 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
3 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
43ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑎 ∈ ℤ)
5 simplrl 796 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑐 ∈ ℤ)
64, 5zmulcld 11364 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑎 · 𝑐) ∈ ℤ)
7 eldifi 3694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
87ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈ ℕ)
98nnzd 11357 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈ ℤ)
109ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℤ)
11 simplrr 797 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑑 ∈ ℤ)
12 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℤ)
1312ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑏 ∈ ℤ)
1411, 13zmulcld 11364 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑑 · 𝑏) ∈ ℤ)
1510, 14zmulcld 11364 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)) ∈ ℤ)
166, 15zaddcld 11362 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) ∈ ℤ)
174, 11zmulcld 11364 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑎 · 𝑑) ∈ ℤ)
185, 13zmulcld 11364 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑐 · 𝑏) ∈ ℤ)
1917, 18zaddcld 11362 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) ∈ ℤ)
20 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
2120ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
22 simprl 790 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)))
2321, 22oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝐴 · 𝐵) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))))
24 zcn 11259 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
2524ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
2625ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑎 ∈ ℂ)
278nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
2827ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℂ)
2928sqrtcld 14024 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
30 zcn 11259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
3130ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
3231ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑏 ∈ ℂ)
3329, 32mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ)
34 zcn 11259 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ ℤ → 𝑐 ∈ ℂ)
3534adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → 𝑐 ∈ ℂ)
3635ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑐 ∈ ℂ)
37 zcn 11259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ ℤ → 𝑑 ∈ ℂ)
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → 𝑑 ∈ ℂ)
3938ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑑 ∈ ℂ)
4029, 39mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 𝑑) ∈ ℂ)
4126, 33, 36, 40muladdd 10368 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))) = (((𝑎 · 𝑐) + (((√‘𝐷) · 𝑑) · ((√‘𝐷) · 𝑏))) + ((𝑎 · ((√‘𝐷) · 𝑑)) + (𝑐 · ((√‘𝐷) · 𝑏)))))
4229, 39, 29, 32mul4d 10127 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷) · 𝑑) · ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (((√‘𝐷) · (√‘𝐷)) · (𝑑 · 𝑏)))
4328msqsqrtd 14027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · (√‘𝐷)) = 𝐷)
4443oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷) · (√‘𝐷)) · (𝑑 · 𝑏)) = (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))
4542, 44eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷) · 𝑑) · ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))
4645oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 · 𝑐) + (((√‘𝐷) · 𝑑) · ((√‘𝐷) · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))))
4726, 29, 39mul12d 10124 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑎 · ((√‘𝐷) · 𝑑)) = ((√‘𝐷) · (𝑎 · 𝑑)))
4836, 29, 32mul12d 10124 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑐 · ((√‘𝐷) · 𝑏)) = ((√‘𝐷) · (𝑐 · 𝑏)))
4947, 48oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 · ((√‘𝐷) · 𝑑)) + (𝑐 · ((√‘𝐷) · 𝑏))) = (((√‘𝐷) · (𝑎 · 𝑑)) + ((√‘𝐷) · (𝑐 · 𝑏))))
5026, 39mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑎 · 𝑑) ∈ ℂ)
5136, 32mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑐 · 𝑏) ∈ ℂ)
5229, 50, 51adddid 9943 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))) = (((√‘𝐷) · (𝑎 · 𝑑)) + ((√‘𝐷) · (𝑐 · 𝑏))))
5349, 52eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 · ((√‘𝐷) · 𝑑)) + (𝑐 · ((√‘𝐷) · 𝑏))) = ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))))
5446, 53oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎 · 𝑐) + (((√‘𝐷) · 𝑑) · ((√‘𝐷) · 𝑏))) + ((𝑎 · ((√‘𝐷) · 𝑑)) + (𝑐 · ((√‘𝐷) · 𝑏)))) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))))
5523, 41, 543eqtrd 2648 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))))
5650, 51addcld 9938 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) ∈ ℂ)
5729, 56sqmuld 12882 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))↑2) = (((√‘𝐷)↑2) · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2)))
5828sqsqrtd 14026 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷)↑2) = 𝐷)
5958oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷)↑2) · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2)) = (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2)))
6057, 59eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2)) = (((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))↑2))
6160oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))) = ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))↑2)))
6226, 36mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑎 · 𝑐) ∈ ℂ)
6339, 32mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑑 · 𝑏) ∈ ℂ)
6428, 63mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)) ∈ ℂ)
6562, 64addcld 9938 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) ∈ ℂ)
6629, 56mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))) ∈ ℂ)
67 subsq 12834 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) ∈ ℂ ∧ ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))) ∈ ℂ) → ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))↑2)) = ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))) · (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) − ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))))))
6865, 66, 67syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))↑2)) = ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))) · (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) − ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))))))
6941, 54eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))))
7026, 33, 36, 40mulsubd 10369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑))) = (((𝑎 · 𝑐) + (((√‘𝐷) · 𝑑) · ((√‘𝐷) · 𝑏))) − ((𝑎 · ((√‘𝐷) · 𝑑)) + (𝑐 · ((√‘𝐷) · 𝑏)))))
7146, 53oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎 · 𝑐) + (((√‘𝐷) · 𝑑) · ((√‘𝐷) · 𝑏))) − ((𝑎 · ((√‘𝐷) · 𝑑)) + (𝑐 · ((√‘𝐷) · 𝑏)))) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) − ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))))
7270, 71eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) − ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))) = ((𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑))))
7369, 72oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))) · (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) − ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))))) = (((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))) · ((𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑)))))
7461, 68, 733eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))) = (((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))) · ((𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑)))))
7526, 33addcld 9938 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∈ ℂ)
7636, 40addcld 9938 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∈ ℂ)
7726, 33subcld 10271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∈ ℂ)
7836, 40subcld 10271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∈ ℂ)
7975, 76, 77, 78mul4d 10127 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))) · ((𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑)))) = (((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))) · ((𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑)))))
80 subsq 12834 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
8126, 33, 80syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
82 subsq 12834 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝐷) · 𝑑) ∈ ℂ) → ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑑)↑2)) = ((𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑))))
8336, 40, 82syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑑)↑2)) = ((𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑))))
8481, 83oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) · ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑑)↑2))) = (((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))) · ((𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑)))))
8529, 32sqmuld 12882 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2) = (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2)))
8685oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) = ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2))))
8729, 39sqmuld 12882 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷) · 𝑑)↑2) = (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2)))
8887oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑑)↑2)) = ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2))))
8986, 88oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) · ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑑)↑2))) = (((𝑎↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2))) · ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2)))))
9079, 84, 893eqtr2d 2650 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))) · ((𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑)))) = (((𝑎↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2))) · ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2)))))
9158oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2)) = (𝐷 · (𝑏↑2)))
9291oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2))) = ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
9358oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2)) = (𝐷 · (𝑑↑2)))
9493oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2))) = ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))))
9592, 94oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2))) · ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2)))) = (((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) · ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2)))))
96 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
9796ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
98 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)
9997, 98oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) · ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2)))) = (1 · 1))
100 1t1e1 11052 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 · 1) = 1
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (1 · 1) = 1)
10295, 99, 1013eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2))) · ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2)))) = 1)
10374, 90, 1023eqtrd 2648 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))) = 1)
104 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) → (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · 𝑓)))
105104eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) → ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ↔ (𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · 𝑓))))
106 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) → (𝑒↑2) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2))
107106oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) → ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))))
108107eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) → (((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1 ↔ ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))
109105, 108anbi12d 743 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) → (((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1) ↔ ((𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1)))
110 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → ((√‘𝐷) · 𝑓) = ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))))
111110oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · 𝑓)) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))))
112111eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → ((𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ↔ (𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))))))
113 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → (𝑓↑2) = (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))
114113oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → (𝐷 · (𝑓↑2)) = (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2)))
115114oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))))
116115eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → (((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1 ↔ ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))) = 1))
117112, 116anbi12d 743 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → (((𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1) ↔ ((𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))) ∧ ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))) = 1)))
118109, 117rspc2ev 3295 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) ∈ ℤ ∧ ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))) ∧ ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))) = 1)) → ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))
11916, 19, 55, 103, 118syl112anc 1322 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))
1202, 119jca 553 . . . . . . . . 9 ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1)))
121120ex 449 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ((𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))))
122121rexlimdvva 3020 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))))
123122ex 449 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1)))))
124123rexlimdvva 3020 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1)))))
125124impd 446 . . . 4 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))))
126125expimpd 627 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))))
127 elpell1234qr 36433 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
128 elpell1234qr 36433 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))))
129127, 128anbi12d 743 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)))))
130 an4 861 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))))
131129, 130syl6bb 275 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)))))
132 elpell1234qr 36433 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))))
133126, 131, 1323imtr4d 282 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷)))
1341333impib 1254 1 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℤcz 11254  ↑cexp 12722  √csqrt 13821  ◻NNcsquarenn 36418  Pell1234QRcpell1234qr 36420 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-pell1234qr 36426 This theorem is referenced by:  pell14qrmulcl  36445
 Copyright terms: Public domain W3C validator