Theorem plydivlem3 23854

Description: Lemma for plydivex 23856. Base case of induction. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plydiv.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1	⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r	⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))
plydiv.0	⊢ (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0))

Assertion

Ref	Expression
plydivlem3	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑞,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝐺,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑞,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑅(𝑞)

Proof of Theorem plydivlem3

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plydiv.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		plybss 23754	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
3		ply0 23768	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → 0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
5		plydiv.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0))
6		cnex 9896	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
8		plyf 23758	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
9		ffn 5958	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 Fn ℂ)
10	1, 8, 9	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℂ)
11		plydiv.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
12		plyf 23758	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
13		ffn 5958	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:ℂ⟶ℂ → 𝐺 Fn ℂ)
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ℂ)
15		plyf 23758	. . . . . . . 8 ⊢ (0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) → 0𝑝:ℂ⟶ℂ)
16		ffn 5958	. . . . . . . 8 ⊢ (0𝑝:ℂ⟶ℂ → 0𝑝 Fn ℂ)
17	4, 15, 16	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0𝑝 Fn ℂ)
18		inidm 3784	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
19	14, 17, 7, 7, 18	offn 6806	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 · 0𝑝) Fn ℂ)
20		eqidd 2611	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
21		eqidd 2611	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
22		0pval 23244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝑧) = 0)
23	22	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0𝑝‘𝑧) = 0)
24	14, 17, 7, 7, 18, 21, 23	ofval 6804	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺 ∘𝑓 · 0𝑝)‘𝑧) = ((𝐺‘𝑧) · 0))
25	11, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
26	25	ffvelrnda 6267	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
27	26	mul01d 10114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺‘𝑧) · 0) = 0)
28	24, 27	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺 ∘𝑓 · 0𝑝)‘𝑧) = 0)
29	1, 8	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
30	29	ffvelrnda 6267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
31	30	subid1d 10260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑧) − 0) = (𝐹‘𝑧))
32	7, 10, 19, 10, 20, 28, 31	offveq 6816	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 0𝑝)) = 𝐹)
33	32	eqeq1d 2612	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 0𝑝)) = 0𝑝 ↔ 𝐹 = 0𝑝))
34	32	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 0𝑝))) = (deg‘𝐹))
35		dgrcl 23793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
36	11, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
37	36	nn0red 11229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℝ)
38	37	recnd 9947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℂ)
39	38	addid2d 10116	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + (deg‘𝐺)) = (deg‘𝐺))
40	39	eqcomd 2616	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) = (0 + (deg‘𝐺)))
41	34, 40	breq12d 4596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 0𝑝))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘𝐹) < (0 + (deg‘𝐺))))
42		dgrcl 23793	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
43	1, 42	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
44	43	nn0red 11229	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℝ)
45		0red 9920	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
46	44, 37, 45	ltsubaddd 10502	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0 ↔ (deg‘𝐹) < (0 + (deg‘𝐺))))
47	41, 46	bitr4d 270	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 0𝑝))) < (deg‘𝐺) ↔ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0))
48	33, 47	orbi12d 742	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 0𝑝))) < (deg‘𝐺)) ↔ (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0)))
49	5, 48	mpbird 246	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 0𝑝))) < (deg‘𝐺)))
50		plydiv.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))
51		oveq2 6557	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞) = (𝐺 ∘𝑓 · 0𝑝))
52	51	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 0𝑝)))
53	50, 52	syl5eq 2656	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → 𝑅 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 0𝑝)))
54	53	eqeq1d 2612	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → (𝑅 = 0𝑝 ↔ (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 0𝑝)) = 0𝑝))
55	53	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → (deg‘𝑅) = (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 0𝑝))))
56	55	breq1d 4593	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → ((deg‘𝑅) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 0𝑝))) < (deg‘𝐺)))
57	54, 56	orbi12d 742	. . 3 ⊢ (𝑞 = 0𝑝 → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 0𝑝))) < (deg‘𝐺))))
58	57	rspcev 3282	. 2 ⊢ ((0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 0𝑝))) < (deg‘𝐺))) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
59	4, 49, 58	syl2anc 691	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘_𝑓 cof 6793  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℕ₀cn0 11169  0_𝑝c0p 23242  Polycply 23744  degcdgr 23747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-0p 23243  df-ply 23748  df-coe 23750  df-dgr 23751

This theorem is referenced by:  plydivex  23856