Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  max0sub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem max0sub 11901
 Description: Decompose a real number into positive and negative parts. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
max0sub (𝐴 ∈ ℝ → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) − if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = 𝐴)

Proof of Theorem max0sub
StepHypRef Expression
1 0red 9920 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2 id 22 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
3 iftrue 4042 . . . . 5 (0 ≤ 𝐴 → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 𝐴)
43adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 𝐴)
5 0xr 9965 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ*)
7 renegcl 10223 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
87adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → -𝐴 ∈ ℝ)
98rexrd 9968 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → -𝐴 ∈ ℝ*)
10 le0neg2 10416 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ 0))
1110biimpa 500 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → -𝐴 ≤ 0)
12 xrmaxeq 11884 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ -𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0) = 0)
136, 9, 11, 12syl3anc 1318 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0) = 0)
144, 13oveq12d 6567 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) − if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (𝐴 − 0))
15 recn 9905 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
1615adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
1716subid1d 10260 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
1814, 17eqtrd 2644 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) − if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = 𝐴)
195a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ*)
20 rexr 9964 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2120adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
22 simpr 476 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ≤ 0)
23 xrmaxeq 11884 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 0)
2419, 21, 22, 23syl3anc 1318 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 0)
25 le0neg1 10415 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
2625biimpa 500 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐴)
2726iftrued 4044 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0) = -𝐴)
2824, 27oveq12d 6567 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) − if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (0 − -𝐴))
29 df-neg 10148 . . . 4 --𝐴 = (0 − -𝐴)
3015adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3130negnegd 10262 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → --𝐴 = 𝐴)
3229, 31syl5eqr 2658 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (0 − -𝐴) = 𝐴)
3328, 32eqtrd 2644 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) − if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = 𝐴)
341, 2, 18, 33lecasei 10022 1 (𝐴 ∈ ℝ → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) − if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ifcif 4036   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  ℝ*cxr 9952   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148 This theorem is referenced by:  mbfi1flimlem  23295  itgitg1  23381  itgconst  23391  itgaddlem2  23396  itgmulc2lem2  23405  itgaddnclem2  32639  itgmulc2nclem2  32647
 Copyright terms: Public domain W3C validator