MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  max0sub Structured version   Unicode version

Theorem max0sub 11396
Description: Decompose a real number into positive and negative parts. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
max0sub  |-  ( A  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  A )

Proof of Theorem max0sub
StepHypRef Expression
1 0red 9598 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  0  e.  RR )
2 id 22 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR )
3 iftrue 3945 . . . . 5  |-  ( 0  <_  A  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  A )
43adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  A )
5 0xr 9641 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
0  e.  RR* )
7 renegcl 9883 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
87adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  -u A  e.  RR )
98rexrd 9644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  -u A  e.  RR* )
10 le0neg2 10062 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  -u A  <_ 
0 ) )
1110biimpa 484 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  -u A  <_  0 )
12 xrmaxeq 11381 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  -u A  e.  RR*  /\  -u A  <_  0 )  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  0 )
136, 9, 11, 12syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  0 )
144, 13oveq12d 6303 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( A  -  0 ) )
15 recn 9583 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
1615adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  CC )
1716subid1d 9920 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  -  0 )  =  A )
1814, 17eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  A )
195a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
0  e.  RR* )
20 rexr 9640 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2120adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  A  e.  RR* )
22 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  A  <_  0 )
23 xrmaxeq 11381 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  A  <_ 
0 )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  0 )
2419, 21, 22, 23syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  0 )
25 le0neg1 10061 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  0  <->  0  <_  -u A ) )
2625biimpa 484 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
0  <_  -u A )
27 iftrue 3945 . . . . 5  |-  ( 0  <_  -u A  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  -u A
)
2826, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  -u A
)
2924, 28oveq12d 6303 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( 0  -  -u A
) )
30 df-neg 9809 . . . 4  |-  -u -u A  =  ( 0  - 
-u A )
3115adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  A  e.  CC )
3231negnegd 9922 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  -u -u A  =  A
)
3330, 32syl5eqr 2522 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( 0  -  -u A
)  =  A )
3429, 33eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  A )
351, 2, 18, 34lecasei 9691 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   ifcif 3939   class class class wbr 4447  (class class class)co 6285   CCcc 9491   RRcr 9492   0cc0 9493   RR*cxr 9628    <_ cle 9630    - cmin 9806   -ucneg 9807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809
This theorem is referenced by:  mbfi1flimlem  21956  itgitg1  22042  itgconst  22052  itgaddlem2  22057  itgmulc2lem2  22066  itgaddnclem2  29927  itgmulc2nclem2  29935
  Copyright terms: Public domain W3C validator