MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  max0sub Structured version   Unicode version

Theorem max0sub 11178
Description: Decompose a real number into positive and negative parts. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
max0sub  |-  ( A  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  A )

Proof of Theorem max0sub
StepHypRef Expression
1 0red 9399 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  0  e.  RR )
2 id 22 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR )
3 iftrue 3809 . . . . 5  |-  ( 0  <_  A  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  A )
43adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  A )
5 0xr 9442 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
0  e.  RR* )
7 renegcl 9684 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
87adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  -u A  e.  RR )
98rexrd 9445 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  -u A  e.  RR* )
10 le0neg2 9860 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  -u A  <_ 
0 ) )
1110biimpa 484 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  -u A  <_  0 )
12 xrmaxeq 11163 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  -u A  e.  RR*  /\  -u A  <_  0 )  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  0 )
136, 9, 11, 12syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  0 )
144, 13oveq12d 6121 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( A  -  0 ) )
15 recn 9384 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
1615adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  CC )
1716subid1d 9720 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  -  0 )  =  A )
1814, 17eqtrd 2475 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  A )
195a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
0  e.  RR* )
20 rexr 9441 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2120adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  A  e.  RR* )
22 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  A  <_  0 )
23 xrmaxeq 11163 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  A  <_ 
0 )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  0 )
2419, 21, 22, 23syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  0 )
25 le0neg1 9859 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  0  <->  0  <_  -u A ) )
2625biimpa 484 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
0  <_  -u A )
27 iftrue 3809 . . . . 5  |-  ( 0  <_  -u A  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  -u A
)
2826, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  -u A
)
2924, 28oveq12d 6121 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( 0  -  -u A
) )
30 df-neg 9610 . . . 4  |-  -u -u A  =  ( 0  - 
-u A )
3115adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  A  e.  CC )
3231negnegd 9722 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  -u -u A  =  A
)
3330, 32syl5eqr 2489 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( 0  -  -u A
)  =  A )
3429, 33eqtrd 2475 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  A )
351, 2, 18, 34lecasei 9492 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ifcif 3803   class class class wbr 4304  (class class class)co 6103   CCcc 9292   RRcr 9293   0cc0 9294   RR*cxr 9429    <_ cle 9431    - cmin 9607   -ucneg 9608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610
This theorem is referenced by:  mbfi1flimlem  21212  itgitg1  21298  itgconst  21308  itgaddlem2  21313  itgmulc2lem2  21322  itgaddnclem2  28463  itgmulc2nclem2  28471
  Copyright terms: Public domain W3C validator