MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  max0sub Structured version   Unicode version

Theorem max0sub 11404
Description: Decompose a real number into positive and negative parts. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
max0sub  |-  ( A  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  A )

Proof of Theorem max0sub
StepHypRef Expression
1 0red 9600 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  0  e.  RR )
2 id 22 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR )
3 iftrue 3932 . . . . 5  |-  ( 0  <_  A  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  A )
43adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  A )
5 0xr 9643 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
0  e.  RR* )
7 renegcl 9887 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
87adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  -u A  e.  RR )
98rexrd 9646 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  -u A  e.  RR* )
10 le0neg2 10067 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  -u A  <_ 
0 ) )
1110biimpa 484 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  -u A  <_  0 )
12 xrmaxeq 11389 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  -u A  e.  RR*  /\  -u A  <_  0 )  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  0 )
136, 9, 11, 12syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  0 )
144, 13oveq12d 6299 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( A  -  0 ) )
15 recn 9585 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
1615adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  CC )
1716subid1d 9925 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  -  0 )  =  A )
1814, 17eqtrd 2484 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  A )
195a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
0  e.  RR* )
20 rexr 9642 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2120adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  A  e.  RR* )
22 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  A  <_  0 )
23 xrmaxeq 11389 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  A  <_ 
0 )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  0 )
2419, 21, 22, 23syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  0 )
25 le0neg1 10066 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  0  <->  0  <_  -u A ) )
2625biimpa 484 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
0  <_  -u A )
2726iftrued 3934 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  -u A
)
2824, 27oveq12d 6299 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( 0  -  -u A
) )
29 df-neg 9813 . . . 4  |-  -u -u A  =  ( 0  - 
-u A )
3015adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  A  e.  CC )
3130negnegd 9927 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  -u -u A  =  A
)
3229, 31syl5eqr 2498 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( 0  -  -u A
)  =  A )
3328, 32eqtrd 2484 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  A )
341, 2, 18, 33lecasei 9693 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   ifcif 3926   class class class wbr 4437  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   RR*cxr 9630    <_ cle 9632    - cmin 9810   -ucneg 9811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813
This theorem is referenced by:  mbfi1flimlem  22002  itgitg1  22088  itgconst  22098  itgaddlem2  22103  itgmulc2lem2  22112  itgaddnclem2  30049  itgmulc2nclem2  30057
  Copyright terms: Public domain W3C validator