Theorem clwlkisclwwlk 26317

Description: A closed walk as word corresponds to a closed walk in an undirected graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
clwlkisclwwlk	⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(𝑉 ClWalks 𝐸)𝑃 ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑃,𝑓   𝑓,𝑉

Proof of Theorem clwlkisclwwlk

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwlkisclwwlklem0 26316	. . 3 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
2		lencl 13179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
3		ige2m1fz 12299	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) ∈ (0...(#‘𝑃)))
4	2, 3	sylan 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) ∈ (0...(#‘𝑃)))
5		swrd0len 13274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ (0...(#‘𝑃))) → (#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) = ((#‘𝑃) − 1))
6	4, 5	syldan 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) = ((#‘𝑃) − 1))
7	2	nn0cnd 11230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
8		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 ∈ ℂ)
9	7, 8	subcld 10271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
10	9	subid1d 10260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (((#‘𝑃) − 1) − 0) = ((#‘𝑃) − 1))
11	10	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝑃) − 1) − 0))
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝑃) − 1) − 0))
13	6, 12	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) = (((#‘𝑃) − 1) − 0))
14	13	oveq1d 6564	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1) = ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
15	14	oveq2d 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)) = (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
16	6	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1) = (((#‘𝑃) − 1) − 1))
17	16	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)) = (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1)))
18	17	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))))
19		simpll 786	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
20		wrdlenge2n0 13196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑃 ≠ ∅)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑃 ≠ ∅)
22		nn0z 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
23		peano2zm 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℤ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
25	2, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
27		elfzom1elfzo 12403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
28	26, 27	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
29		swrdtrcfv 13293	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖) = (𝑃‘𝑖))
30	19, 21, 28, 29	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖) = (𝑃‘𝑖))
31	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
32		elfzom1elp1fzo 12402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
33	24, 32	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
34	31, 33	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
35		swrdtrcfv 13293	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑃 ≠ ∅ ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
36	19, 21, 34, 35	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
37	30, 36	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → {((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
38	37	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → ({((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
39	38	ex 449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1)) → ({((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
40	18, 39	sylbid 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)) → ({((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
41	40	imp 444	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1))) → ({((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
42	15, 41	raleqbidva 3131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
43		swrdtrcfvl 13302	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 2)))
44		swrdtrcfv0 13294	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0) = (𝑃‘0))
45	43, 44	preq12d 4220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
46	45	eleq1d 2672	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ({( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
47	42, 46	anbi12d 743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
48	47	bicomd 212	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
49	48	3adant1 1072	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
50		swrdcl 13271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉)
51	50	3ad2ant2 1076	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉)
52	51	3biant1d 1433	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
53	49, 52	bitrd 267	. . . 4 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
54	53	anbi2d 736	. . 3 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))))
55	1, 54	bitrd 267	. 2 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))))
56		usgrav 25867	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
57		isclwlk 26284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (𝑓(𝑉 ClWalks 𝐸)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))))))
58		3an4anass 1283	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
59	57, 58	syl6bbr 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (𝑓(𝑉 ClWalks 𝐸)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
60	56, 59	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑓(𝑉 ClWalks 𝐸)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
61	60	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → (𝑓(𝑉 ClWalks 𝐸)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
62	61	exbidv 1837	. . 3 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → (∃𝑓 𝑓(𝑉 ClWalks 𝐸)𝑃 ↔ ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
63	62	3adant3 1074	. 2 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(𝑉 ClWalks 𝐸)𝑃 ↔ ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
64		isclwwlk 26296	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
65	56, 64	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
66	65	3ad2ant1 1075	. . 3 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
67	66	anbi2d 736	. 2 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))))
68	55, 63, 67	3bitr4d 299	1 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(𝑉 ClWalks 𝐸)𝑃 ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ran crn 5039  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   substr csubstr 13150   USGrph cusg 25859   ClWalks cclwlk 26275   ClWWalks cclwwlk 26276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-substr 13158  df-usgra 25862  df-wlk 26036  df-clwlk 26278  df-clwwlk 26279

This theorem is referenced by:  clwlkisclwwlk2  26318