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Theorem clwlkisclwwlk 26317
 Description: A closed walk as word corresponds to a closed walk in an undirected graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwlkisclwwlk ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(𝑉 ClWalks 𝐸)𝑃 ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑃,𝑓   𝑓,𝑉

Proof of Theorem clwlkisclwwlk
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwlkisclwwlklem0 26316 . . 3 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
2 lencl 13179 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
3 ige2m1fz 12299 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) ∈ (0...(#‘𝑃)))
42, 3sylan 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) ∈ (0...(#‘𝑃)))
5 swrd0len 13274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ (0...(#‘𝑃))) → (#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) = ((#‘𝑃) − 1))
64, 5syldan 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) = ((#‘𝑃) − 1))
72nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
8 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 ∈ ℂ)
97, 8subcld 10271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
109subid1d 10260 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (((#‘𝑃) − 1) − 0) = ((#‘𝑃) − 1))
1110eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝑃) − 1) − 0))
1211adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝑃) − 1) − 0))
136, 12eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) = (((#‘𝑃) − 1) − 0))
1413oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1) = ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
1514oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)) = (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
166oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1) = (((#‘𝑃) − 1) − 1))
1716oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)) = (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1)))
1817eleq2d 2673 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))))
19 simpll 786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
20 wrdlenge2n0 13196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑃 ≠ ∅)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑃 ≠ ∅)
22 nn0z 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
23 peano2zm 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑃) ∈ ℤ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
252, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
2625adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
27 elfzom1elfzo 12403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
2826, 27sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
29 swrdtrcfv 13293 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Word 𝑉𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖) = (𝑃𝑖))
3019, 21, 28, 29syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖) = (𝑃𝑖))
312adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
32 elfzom1elp1fzo 12402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
3324, 32sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
3431, 33sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
35 swrdtrcfv 13293 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Word 𝑉𝑃 ≠ ∅ ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
3619, 21, 34, 35syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
3730, 36preq12d 4220 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → {((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
3837eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → ({((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
3938ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1)) → ({((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
4018, 39sylbid 229 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)) → ({((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
4140imp 444 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1))) → ({((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
4215, 41raleqbidva 3131 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
43 swrdtrcfvl 13302 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 2)))
44 swrdtrcfv0 13294 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0) = (𝑃‘0))
4543, 44preq12d 4220 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
4645eleq1d 2672 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ({( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
4742, 46anbi12d 743 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
4847bicomd 212 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
49483adant1 1072 . . . . 5 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
50 swrdcl 13271 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉)
51503ad2ant2 1076 . . . . . 6 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉)
52513biant1d 1433 . . . . 5 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
5349, 52bitrd 267 . . . 4 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
5453anbi2d 736 . . 3 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))))
551, 54bitrd 267 . 2 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))))
56 usgrav 25867 . . . . . 6 (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
57 isclwlk 26284 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (𝑓(𝑉 ClWalks 𝐸)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))))))
58 3an4anass 1283 . . . . . . 7 (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
5957, 58syl6bbr 277 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (𝑓(𝑉 ClWalks 𝐸)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
6056, 59syl 17 . . . . 5 (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑓(𝑉 ClWalks 𝐸)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
6160adantr 480 . . . 4 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉) → (𝑓(𝑉 ClWalks 𝐸)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
6261exbidv 1837 . . 3 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉) → (∃𝑓 𝑓(𝑉 ClWalks 𝐸)𝑃 ↔ ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
63623adant3 1074 . 2 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(𝑉 ClWalks 𝐸)𝑃 ↔ ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
64 isclwwlk 26296 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
6556, 64syl 17 . . . 4 (𝑉 USGrph 𝐸 → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
66653ad2ant1 1075 . . 3 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
6766anbi2d 736 . 2 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))))
6855, 63, 673bitr4d 299 1 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(𝑉 ClWalks 𝐸)𝑃 ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ran crn 5039  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   substr csubstr 13150   USGrph cusg 25859   ClWalks cclwlk 26275   ClWWalks cclwwlk 26276 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-substr 13158  df-usgra 25862  df-wlk 26036  df-clwlk 26278  df-clwwlk 26279 This theorem is referenced by:  clwlkisclwwlk2  26318
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