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Theorem clwlkisclwwlk2 26318
 Description: A closed walk corresponds to a closed walk as word in an undirected graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwlkisclwwlk2 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(𝑉 ClWalks 𝐸)(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ↔ 𝑃 ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑃,𝑓   𝑓,𝑉

Proof of Theorem clwlkisclwwlk2
StepHypRef Expression
1 lswccats1fst 13264 . . . 4 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → ( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0))
213adant1 1072 . . 3 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → ( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0))
32biantrurd 528 . 2 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ↔ (( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) ∧ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸))))
4 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
5 wrdsymb1 13197 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
6 wrdlenccats1lenm1 13252 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉) → (#‘𝑃) = ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1))
74, 5, 6syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝑃) = ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1))
87eqcomd 2616 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1) = (#‘𝑃))
98opeq2d 4347 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → ⟨0, ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)⟩ = ⟨0, (#‘𝑃)⟩)
109oveq2d 6565 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)⟩) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, (#‘𝑃)⟩))
115s1cld 13236 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)
12 eqidd 2611 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝑃) = (#‘𝑃))
13 swrdccatid 13348 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (#‘𝑃)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, (#‘𝑃)⟩) = 𝑃)
144, 11, 12, 13syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, (#‘𝑃)⟩) = 𝑃)
1510, 14eqtr2d 2645 . . . 4 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑃 = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)⟩))
16153adant1 1072 . . 3 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑃 = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)⟩))
1716eleq1d 2672 . 2 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃 ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸)))
18 simp1 1054 . . 3 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑉 USGrph 𝐸)
19 simp2 1055 . . . 4 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
20113adant1 1072 . . . 4 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)
21 ccatcl 13212 . . . 4 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉)
2219, 20, 21syl2anc 691 . . 3 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉)
23 lencl 13179 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
24 1e2m1 11013 . . . . . . . . . . 11 1 = (2 − 1)
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 = (2 − 1))
2625breq1d 4593 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 ≤ (#‘𝑃) ↔ (2 − 1) ≤ (#‘𝑃)))
27 2re 10967 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
29 1red 9934 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
30 nn0re 11178 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
3128, 29, 30lesubaddd 10503 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (#‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((#‘𝑃) + 1)))
3226, 31bitrd 267 . . . . . . . 8 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 ≤ (#‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((#‘𝑃) + 1)))
3323, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (1 ≤ (#‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((#‘𝑃) + 1)))
3433biimpa 500 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ≤ ((#‘𝑃) + 1))
35 s1len 13238 . . . . . . 7 (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩) = 1
3635oveq2i 6560 . . . . . 6 ((#‘𝑃) + (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((#‘𝑃) + 1)
3734, 36syl6breqr 4625 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ≤ ((#‘𝑃) + (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
38373adant1 1072 . . . 4 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ≤ ((#‘𝑃) + (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
394, 11jca 553 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉))
40393adant1 1072 . . . . 5 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉))
41 ccatlen 13213 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((#‘𝑃) + (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
4240, 41syl 17 . . . 4 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((#‘𝑃) + (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
4338, 42breqtrrd 4611 . . 3 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ≤ (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
44 clwlkisclwwlk 26317 . . 3 ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩))) → (∃𝑓 𝑓(𝑉 ClWalks 𝐸)(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ↔ (( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) ∧ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸))))
4518, 22, 43, 44syl3anc 1318 . 2 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(𝑉 ClWalks 𝐸)(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ↔ (( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) ∧ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸))))
463, 17, 453bitr4rd 300 1 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(𝑉 ClWalks 𝐸)(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ↔ 𝑃 ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   ++ cconcat 13148  ⟨“cs1 13149   substr csubstr 13150   USGrph cusg 25859   ClWalks cclwlk 26275   ClWWalks cclwwlk 26276 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-usgra 25862  df-wlk 26036  df-clwlk 26278  df-clwwlk 26279 This theorem is referenced by:  clwlkfoclwwlk  26372
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