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Theorem clwlkisclwwlklem0 26316
 Description: Lemma for clwlkisclwwlk 26317. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwlkisclwwlklem0 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐸,𝑖   𝑃,𝑓,𝑖   𝑓,𝑉,𝑖

Proof of Theorem clwlkisclwwlklem0
StepHypRef Expression
1 simp1 1054 . . . . . . 7 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑉 USGrph 𝐸)
2 simp1 1054 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → 𝑓 ∈ Word dom 𝐸)
32adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) → 𝑓 ∈ Word dom 𝐸)
41, 3anim12i 588 . . . . . 6 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))) → (𝑉 USGrph 𝐸𝑓 ∈ Word dom 𝐸))
5 simp3 1056 . . . . . . 7 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ≤ (#‘𝑃))
6 simpl2 1058 . . . . . . 7 (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) → 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉)
75, 6anim12ci 589 . . . . . 6 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))) → (𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)))
8 simp3 1056 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
98anim1i 590 . . . . . . 7 (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))))
109adantl 481 . . . . . 6 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))))
11 clwlkisclwwlklem1 26315 . . . . . 6 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑓 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
124, 7, 10, 11syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
13 lencl 13179 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
14 lencl 13179 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ Word dom 𝐸 → (#‘𝑓) ∈ ℕ0)
15 ffz0hash 13088 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘𝑓) ∈ ℕ0𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉) → (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1))
16 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1) → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝑓) + 1) − 1))
1716oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1) → (((#‘𝑃) − 1) − 0) = ((((#‘𝑓) + 1) − 1) − 0))
18 nn0cn 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → (#‘𝑓) ∈ ℂ)
19 peano2cn 10087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((#‘𝑓) ∈ ℂ → ((#‘𝑓) + 1) ∈ ℂ)
20 peano2cnm 10226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((#‘𝑓) + 1) ∈ ℂ → (((#‘𝑓) + 1) − 1) ∈ ℂ)
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑓) + 1) − 1) ∈ ℂ)
2221subid1d 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((((#‘𝑓) + 1) − 1) − 0) = (((#‘𝑓) + 1) − 1))
23 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
2418, 23pncand 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑓) + 1) − 1) = (#‘𝑓))
2522, 24eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((((#‘𝑓) + 1) − 1) − 0) = (#‘𝑓))
2625adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((((#‘𝑓) + 1) − 1) − 0) = (#‘𝑓))
2717, 26sylan9eqr 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → (((#‘𝑃) − 1) − 0) = (#‘𝑓))
2827oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((#‘𝑓) − 1))
2928oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)) = (0..^((#‘𝑓) − 1)))
3029raleqdv 3121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
31 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1) → ((#‘𝑃) − 2) = (((#‘𝑓) + 1) − 2))
32 2cnd 10970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
3318, 32, 23subsub3d 10301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑓) − (2 − 1)) = (((#‘𝑓) + 1) − 2))
34 2m1e1 11012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (2 − 1) = 1
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → (2 − 1) = 1)
3635oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑓) − (2 − 1)) = ((#‘𝑓) − 1))
3733, 36eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑓) + 1) − 2) = ((#‘𝑓) − 1))
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (((#‘𝑓) + 1) − 2) = ((#‘𝑓) − 1))
3931, 38sylan9eqr 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → ((#‘𝑃) − 2) = ((#‘𝑓) − 1))
4039fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → (𝑃‘((#‘𝑃) − 2)) = (𝑃‘((#‘𝑓) − 1)))
4140preq1d 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)})
4241eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
4330, 42anbi12d 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
4443anbi2d 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
45 3anass 1035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
4644, 45syl6bbr 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
4746expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1) → (((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
4847expd 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1) → ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
4915, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑓) ∈ ℕ0𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉) → ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
5049ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 → ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
5150com23 84 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
5214, 14, 51sylc 63 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ Word dom 𝐸 → (𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
5352imp 444 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
54533adant3 1074 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
5554adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
5613, 55syl5com 31 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
57563ad2ant2 1076 . . . . . 6 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
5857imp 444 . . . . 5 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
5912, 58mpbird 246 . . . 4 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
6059ex 449 . . 3 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
6160exlimdv 1848 . 2 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
62 clwlkisclwwlklem2 26314 . 2 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
6361, 62impbid 201 1 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {cpr 4127   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ran crn 5039  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   USGrph cusg 25859 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-usgra 25862 This theorem is referenced by:  clwlkisclwwlk  26317
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