Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  clwlkclwwlk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwlkclwwlk 41211
 Description: A closed walk as word of length at least 2 corresponds to a closed walk in a simple pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clwlkclwwlk.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwlkclwwlk.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlk ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalkS‘𝐺)𝑃 ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (ClWWalkS‘𝐺))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑃,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝐺

Proof of Theorem clwlkclwwlk
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwlkclwwlk.e . . . . . 6 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
21uspgrf1oedg 40403 . . . . 5 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→(Edg‘𝐺))
3 f1of1 6049 . . . . 5 (𝐸:dom 𝐸1-1-onto→(Edg‘𝐺) → 𝐸:dom 𝐸1-1→(Edg‘𝐺))
42, 3syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸1-1→(Edg‘𝐺))
5 clwlkclwwlklem3 41210 . . . 4 ((𝐸:dom 𝐸1-1→(Edg‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
64, 5syl3an1 1351 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
7 lencl 13179 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
8 ige2m1fz 12299 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) ∈ (0...(#‘𝑃)))
97, 8sylan 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) ∈ (0...(#‘𝑃)))
10 swrd0len 13274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ (0...(#‘𝑃))) → (#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) = ((#‘𝑃) − 1))
119, 10syldan 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) = ((#‘𝑃) − 1))
127nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
13 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 ∈ ℂ)
1412, 13subcld 10271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
1514subid1d 10260 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (((#‘𝑃) − 1) − 0) = ((#‘𝑃) − 1))
1615eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝑃) − 1) − 0))
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝑃) − 1) − 0))
1811, 17eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) = (((#‘𝑃) − 1) − 0))
1918oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1) = ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
2019oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)) = (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
2111oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1) = (((#‘𝑃) − 1) − 1))
2221oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)) = (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1)))
2322eleq2d 2673 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))))
24 simpll 786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
25 wrdlenge2n0 13196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑃 ≠ ∅)
2625adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑃 ≠ ∅)
27 nn0z 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
28 peano2zm 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑃) ∈ ℤ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
307, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
3130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
32 elfzom1elfzo 12403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
3331, 32sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
34 swrdtrcfv 13293 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Word 𝑉𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖) = (𝑃𝑖))
3524, 26, 33, 34syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖) = (𝑃𝑖))
367adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
37 elfzom1elp1fzo 12402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
3829, 37sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
3936, 38sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
40 swrdtrcfv 13293 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Word 𝑉𝑃 ≠ ∅ ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
4124, 26, 39, 40syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
4235, 41preq12d 4220 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → {((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
4342eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → ({((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
4443ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1)) → ({((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
4523, 44sylbid 229 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)) → ({((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
4645imp 444 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1))) → ({((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
4720, 46raleqbidva 3131 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
48 swrdtrcfvl 13302 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 2)))
49 swrdtrcfv0 13294 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0) = (𝑃‘0))
5048, 49preq12d 4220 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
5150eleq1d 2672 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ({( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
5247, 51anbi12d 743 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
5352bicomd 212 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
54533adant1 1072 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
55 swrdcl 13271 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉)
56553ad2ant2 1076 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉)
57563biant1d 1433 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
5854, 57bitrd 267 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
5958anbi2d 736 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))))
606, 59bitrd 267 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))))
61 uspgrupgr 40406 . . . . . 6 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph )
6261adantr 480 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → 𝐺 ∈ UPGraph )
63 vex 3176 . . . . . 6 𝑓 ∈ V
6463a1i 11 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → 𝑓 ∈ V)
65 simpr 476 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
66 clwlkclwwlk.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6766, 1isclWlkupgr 40985 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑓 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → (𝑓(ClWalkS‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))))))
68 3an4anass 1283 . . . . . 6 (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
6967, 68syl6bbr 277 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑓 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → (𝑓(ClWalkS‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
7062, 64, 65, 69syl3anc 1318 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → (𝑓(ClWalkS‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
7170exbidv 1837 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → (∃𝑓 𝑓(ClWalkS‘𝐺)𝑃 ↔ ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
72713adant3 1074 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalkS‘𝐺)𝑃 ↔ ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
73 eqid 2610 . . . . . 6 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
7466, 73isclwwlks 41188 . . . . 5 ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (ClWWalkS‘𝐺) ↔ (((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
75 simpl 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
76 nn0ge2m1nn 11237 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ)
777, 76sylan 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ)
78 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
7978lem1d 10836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 1) ≤ (#‘𝑃))
8079a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (2 ≤ (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) − 1) ≤ (#‘𝑃)))
817, 80syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) − 1) ≤ (#‘𝑃)))
8281imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) ≤ (#‘𝑃))
8375, 77, 823jca 1235 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ≤ (#‘𝑃)))
84833adant1 1072 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ≤ (#‘𝑃)))
85 swrdn0 13282 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ≠ ∅)
8684, 85syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ≠ ∅)
8786biantrud 527 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ≠ ∅)))
8887bicomd 212 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ≠ ∅) ↔ (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉))
89883anbi1d 1395 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
9074, 89syl5bb 271 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (ClWWalkS‘𝐺) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
91 edgaval 25794 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USPGraph → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
921eqcomi 2619 . . . . . . . . . 10 (iEdg‘𝐺) = 𝐸
9392rneqi 5273 . . . . . . . . 9 ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐸
9491, 93syl6eq 2660 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ USPGraph → (Edg‘𝐺) = ran 𝐸)
9594eleq2d 2673 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ USPGraph → ({((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
9695ralbidv 2969 . . . . . 6 (𝐺 ∈ USPGraph → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
9794eleq2d 2673 . . . . . 6 (𝐺 ∈ USPGraph → ({( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))
9896, 973anbi23d 1394 . . . . 5 (𝐺 ∈ USPGraph → (((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
99983ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
10090, 99bitrd 267 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (ClWWalkS‘𝐺) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
101100anbi2d 736 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (ClWWalkS‘𝐺)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))))
10260, 72, 1013bitr4d 299 1 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalkS‘𝐺)𝑃 ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (ClWWalkS‘𝐺))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ran crn 5039  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   substr csubstr 13150  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674   UPGraph cupgr 25747  Edgcedga 25792   USPGraph cuspgr 40378  ClWalkScclwlks 40976  ClWWalkScclwwlks 41183 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-substr 13158  df-uhgr 25724  df-upgr 25749  df-edga 25793  df-uspgr 40380  df-1wlks 40800  df-wlks 40801  df-clwlks 40977  df-clwwlks 41185 This theorem is referenced by:  clwlkclwwlk2  41212
 Copyright terms: Public domain W3C validator