Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hashnzfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashnzfz 37541
 Description: Special case of hashdvds 15318: the count of multiples in nℤ restricted to an interval. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hashnzfz.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
hashnzfz.j (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
hashnzfz.k (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)))
Assertion
Ref Expression
hashnzfz (𝜑 → (#‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁))))

Proof of Theorem hashnzfz
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashnzfz.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 hashnzfz.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
3 hashnzfz.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)))
4 0zd 11266 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
51, 2, 3, 4hashdvds 15318 . 2 (𝜑 → (#‘{𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)}) = ((⌊‘((𝐾 − 0) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐽 − 1) − 0) / 𝑁))))
6 elfzelz 12213 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝑥 ∈ ℤ)
76zcnd 11359 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝑥 ∈ ℂ)
87subid1d 10260 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
98breq2d 4595 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 0) ↔ 𝑁𝑥))
109rabbiia 3161 . . . . 5 {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)} = {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁𝑥}
11 dfrab3 3861 . . . . 5 {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁𝑥} = ((𝐽...𝐾) ∩ {𝑥𝑁𝑥})
12 reldvds 37536 . . . . . . . 8 Rel ∥
13 relimasn 5407 . . . . . . . 8 (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥𝑁𝑥})
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥𝑁𝑥}
1514ineq2i 3773 . . . . . 6 ((𝐽...𝐾) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) = ((𝐽...𝐾) ∩ {𝑥𝑁𝑥})
16 incom 3767 . . . . . 6 ((𝐽...𝐾) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) = (( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))
1715, 16eqtr3i 2634 . . . . 5 ((𝐽...𝐾) ∩ {𝑥𝑁𝑥}) = (( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))
1810, 11, 173eqtri 2636 . . . 4 {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)} = (( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))
1918fveq2i 6106 . . 3 (#‘{𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)}) = (#‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾)))
2019a1i 11 . 2 (𝜑 → (#‘{𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)}) = (#‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))))
21 eluzelz 11573 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
223, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
2322zcnd 11359 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
2423subid1d 10260 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 − 0) = 𝐾)
2524oveq1d 6564 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾 − 0) / 𝑁) = (𝐾 / 𝑁))
2625fveq2d 6107 . . 3 (𝜑 → (⌊‘((𝐾 − 0) / 𝑁)) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))
27 peano2zm 11297 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ ℤ → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
282, 27syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
2928zcnd 11359 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℂ)
3029subid1d 10260 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽 − 1) − 0) = (𝐽 − 1))
3130oveq1d 6564 . . . 4 (𝜑 → (((𝐽 − 1) − 0) / 𝑁) = ((𝐽 − 1) / 𝑁))
3231fveq2d 6107 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(((𝐽 − 1) − 0) / 𝑁)) = (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁)))
3326, 32oveq12d 6567 . 2 (𝜑 → ((⌊‘((𝐾 − 0) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐽 − 1) − 0) / 𝑁))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁))))
345, 20, 333eqtr3d 2652 1 (𝜑 → (#‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596  {crab 2900   ∩ cin 3539  {csn 4125   class class class wbr 4583   “ cima 5041  Rel wrel 5043  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ⌊cfl 12453  #chash 12979   ∥ cdvds 14821 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fl 12455  df-hash 12980  df-dvds 14822 This theorem is referenced by:  hashnzfz2  37542  hashnzfzclim  37543
 Copyright terms: Public domain W3C validator