Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nzprmdif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nzprmdif 37540
Description: Subtract one prime's multiples from an unequal prime's. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nzprmdif.m (𝜑𝑀 ∈ ℙ)
nzprmdif.n (𝜑𝑁 ∈ ℙ)
nzprmdif.ne (𝜑𝑀𝑁)
Assertion
Ref Expression
nzprmdif (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {𝑁})) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 · 𝑁)})))

Proof of Theorem nzprmdif
StepHypRef Expression
1 difin 3823 . . 3 (( ∥ “ {𝑀}) ∖ (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁}))) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {𝑁}))
2 nzprmdif.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℙ)
3 prmz 15227 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℙ → 𝑀 ∈ ℤ)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 nzprmdif.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℙ)
6 prmz 15227 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℤ)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
84, 7nzin 37539 . . . 4 (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) = ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}))
98difeq2d 3690 . . 3 (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁}))) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)})))
101, 9syl5eqr 2658 . 2 (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {𝑁})) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)})))
11 lcmgcd 15158 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (abs‘(𝑀 · 𝑁)))
124, 7, 11syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (abs‘(𝑀 · 𝑁)))
13 nzprmdif.ne . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀𝑁)
14 prmrp 15262 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ 𝑀𝑁))
152, 5, 14syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ 𝑀𝑁))
1613, 15mpbird 246 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
1716oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = ((𝑀 lcm 𝑁) · 1))
18 lcmcl 15152 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
194, 7, 18syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
2019nn0cnd 11230 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ)
2120mulid1d 9936 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 lcm 𝑁) · 1) = (𝑀 lcm 𝑁))
2217, 21eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
234zred 11358 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
247zred 11358 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
2523, 24remulcld 9949 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ)
26 prmnn 15226 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℙ → 𝑀 ∈ ℕ)
272, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2827nnnn0d 11228 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
2928nn0ge0d 11231 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
30 prmnn 15226 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
315, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3231nnnn0d 11228 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3332nn0ge0d 11231 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
3423, 24, 29, 33mulge0d 10483 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 · 𝑁))
3525, 34absidd 14009 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = (𝑀 · 𝑁))
3612, 22, 353eqtr3d 2652 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
3736sneqd 4137 . . . 4 (𝜑 → {(𝑀 lcm 𝑁)} = {(𝑀 · 𝑁)})
3837imaeq2d 5385 . . 3 (𝜑 → ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}) = ( ∥ “ {(𝑀 · 𝑁)}))
3938difeq2d 3690 . 2 (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)})) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 · 𝑁)})))
4010, 39eqtrd 2644 1 (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {𝑁})) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 · 𝑁)})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  cdif 3537  cin 3539  {csn 4125  cima 5041  cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816   · cmul 9820  cn 10897  0cn0 11169  cz 11254  abscabs 13822  cdvds 14821   gcd cgcd 15054   lcm clcm 15139  cprime 15223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-lcm 15141  df-prm 15224
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator