Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ofccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofccat 13556
 Description: Letterwise operations on word concatenations. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ofccat.1 (𝜑𝐸 ∈ Word 𝑆)
ofccat.2 (𝜑𝐹 ∈ Word 𝑆)
ofccat.3 (𝜑𝐺 ∈ Word 𝑇)
ofccat.4 (𝜑𝐻 ∈ Word 𝑇)
ofccat.5 (𝜑 → (#‘𝐸) = (#‘𝐺))
ofccat.6 (𝜑 → (#‘𝐹) = (#‘𝐻))
Assertion
Ref Expression
ofccat (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = ((𝐸𝑓 𝑅𝐺) ++ (𝐹𝑓 𝑅𝐻)))

Proof of Theorem ofccat
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ofccat.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ Word 𝑆)
2 wrdf 13165 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ Word 𝑆𝐸:(0..^(#‘𝐸))⟶𝑆)
3 ffn 5958 . . . . . . . . . . 11 (𝐸:(0..^(#‘𝐸))⟶𝑆𝐸 Fn (0..^(#‘𝐸)))
41, 2, 33syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 Fn (0..^(#‘𝐸)))
5 ofccat.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ Word 𝑇)
6 wrdf 13165 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Word 𝑇𝐺:(0..^(#‘𝐺))⟶𝑇)
7 ffn 5958 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:(0..^(#‘𝐺))⟶𝑇𝐺 Fn (0..^(#‘𝐺)))
85, 6, 73syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 Fn (0..^(#‘𝐺)))
9 ofccat.5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (#‘𝐸) = (#‘𝐺))
109oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0..^(#‘𝐸)) = (0..^(#‘𝐺)))
1110fneq2d 5896 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺 Fn (0..^(#‘𝐸)) ↔ 𝐺 Fn (0..^(#‘𝐺))))
128, 11mpbird 246 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 Fn (0..^(#‘𝐸)))
13 ovex 6577 . . . . . . . . . . 11 (0..^(#‘𝐸)) ∈ V
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0..^(#‘𝐸)) ∈ V)
15 inidm 3784 . . . . . . . . . 10 ((0..^(#‘𝐸)) ∩ (0..^(#‘𝐸))) = (0..^(#‘𝐸))
164, 12, 14, 14, 15offn 6806 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸𝑓 𝑅𝐺) Fn (0..^(#‘𝐸)))
17 hashfn 13025 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝑓 𝑅𝐺) Fn (0..^(#‘𝐸)) → (#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) = (#‘(0..^(#‘𝐸))))
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) = (#‘(0..^(#‘𝐸))))
19 wrdfin 13178 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Word 𝑆𝐸 ∈ Fin)
20 hashcl 13009 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Fin → (#‘𝐸) ∈ ℕ0)
211, 19, 203syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘𝐸) ∈ ℕ0)
22 hashfzo0 13077 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐸) ∈ ℕ0 → (#‘(0..^(#‘𝐸))) = (#‘𝐸))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘(0..^(#‘𝐸))) = (#‘𝐸))
2418, 23eqtrd 2644 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) = (#‘𝐸))
2524adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) → (#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) = (#‘𝐸))
2625oveq2d 6565 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) → (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))) = (0..^(#‘𝐸)))
2726eleq2d 2673 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸))))
284ad2antrr 758 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → 𝐸 Fn (0..^(#‘𝐸)))
2912ad2antrr 758 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → 𝐺 Fn (0..^(#‘𝐸)))
3013a1i 11 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (0..^(#‘𝐸)) ∈ V)
3127biimpa 500 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)))
32 fnfvof 6809 . . . . 5 (((𝐸 Fn (0..^(#‘𝐸)) ∧ 𝐺 Fn (0..^(#‘𝐸))) ∧ ((0..^(#‘𝐸)) ∈ V ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)))) → ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖) = ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)))
3328, 29, 30, 31, 32syl22anc 1319 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖) = ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)))
3424ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) = (#‘𝐸))
3534oveq2d 6565 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (𝑖 − (#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))) = (𝑖 − (#‘𝐸)))
3635fveq2d 6107 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) = ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (#‘𝐸))))
37 ofccat.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ Word 𝑆)
38 wrdf 13165 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word 𝑆𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶𝑆)
39 ffn 5958 . . . . . . . 8 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶𝑆𝐹 Fn (0..^(#‘𝐹)))
4037, 38, 393syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 Fn (0..^(#‘𝐹)))
4140ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → 𝐹 Fn (0..^(#‘𝐹)))
42 ofccat.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ∈ Word 𝑇)
43 wrdf 13165 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ Word 𝑇𝐻:(0..^(#‘𝐻))⟶𝑇)
44 ffn 5958 . . . . . . . . 9 (𝐻:(0..^(#‘𝐻))⟶𝑇𝐻 Fn (0..^(#‘𝐻)))
4542, 43, 443syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 Fn (0..^(#‘𝐻)))
46 ofccat.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘𝐹) = (#‘𝐻))
4746oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^(#‘𝐹)) = (0..^(#‘𝐻)))
4847fneq2d 5896 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻 Fn (0..^(#‘𝐹)) ↔ 𝐻 Fn (0..^(#‘𝐻))))
4945, 48mpbird 246 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 Fn (0..^(#‘𝐹)))
5049ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → 𝐻 Fn (0..^(#‘𝐹)))
51 ovex 6577 . . . . . . 7 (0..^(#‘𝐹)) ∈ V
5251a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (0..^(#‘𝐹)) ∈ V)
53 simplr 788 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))))
54 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))))
5526adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))) = (0..^(#‘𝐸)))
5654, 55neleqtrd 2709 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)))
5721ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (#‘𝐸) ∈ ℕ0)
5857nn0zd 11356 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (#‘𝐸) ∈ ℤ)
59 wrdfin 13178 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Word 𝑆𝐹 ∈ Fin)
60 hashcl 13009 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Fin → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
6137, 59, 603syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
6261ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
6362nn0zd 11356 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (#‘𝐹) ∈ ℤ)
64 fzocatel 12399 . . . . . . 7 (((𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸))) ∧ ((#‘𝐸) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐹) ∈ ℤ)) → (𝑖 − (#‘𝐸)) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
6553, 56, 58, 63, 64syl22anc 1319 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (𝑖 − (#‘𝐸)) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
66 fnfvof 6809 . . . . . 6 (((𝐹 Fn (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝐻 Fn (0..^(#‘𝐹))) ∧ ((0..^(#‘𝐹)) ∈ V ∧ (𝑖 − (#‘𝐸)) ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (#‘𝐸))) = ((𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐸)))))
6741, 50, 52, 65, 66syl22anc 1319 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (#‘𝐸))) = ((𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐸)))))
6836, 67eqtrd 2644 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) = ((𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐸)))))
6927, 33, 68ifbieq12d2 4069 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))))) = if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐸))))))
7069mpteq2dva 4672 . 2 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐸)))))))
71 ovex 6577 . . . 4 (𝐸𝑓 𝑅𝐺) ∈ V
72 ovex 6577 . . . 4 (𝐹𝑓 𝑅𝐻) ∈ V
73 ccatfval 13211 . . . 4 (((𝐸𝑓 𝑅𝐺) ∈ V ∧ (𝐹𝑓 𝑅𝐻) ∈ V) → ((𝐸𝑓 𝑅𝐺) ++ (𝐹𝑓 𝑅𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) + (#‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻)))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))))))
7471, 72, 73mp2an 704 . . 3 ((𝐸𝑓 𝑅𝐺) ++ (𝐹𝑓 𝑅𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) + (#‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻)))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))))))
7551a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^(#‘𝐹)) ∈ V)
76 inidm 3784 . . . . . . . . 9 ((0..^(#‘𝐹)) ∩ (0..^(#‘𝐹))) = (0..^(#‘𝐹))
7740, 49, 75, 75, 76offn 6806 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑓 𝑅𝐻) Fn (0..^(#‘𝐹)))
78 hashfn 13025 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑓 𝑅𝐻) Fn (0..^(#‘𝐹)) → (#‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻)) = (#‘(0..^(#‘𝐹))))
7977, 78syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻)) = (#‘(0..^(#‘𝐹))))
80 hashfzo0 13077 . . . . . . . 8 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘(0..^(#‘𝐹))) = (#‘𝐹))
8161, 80syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(0..^(#‘𝐹))) = (#‘𝐹))
8279, 81eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻)) = (#‘𝐹))
8324, 82oveq12d 6567 . . . . 5 (𝜑 → ((#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) + (#‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻))) = ((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))
8483oveq2d 6565 . . . 4 (𝜑 → (0..^((#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) + (#‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻)))) = (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))))
8584mpteq1d 4666 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) + (#‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻)))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))))))
8674, 85syl5eq 2656 . 2 (𝜑 → ((𝐸𝑓 𝑅𝐺) ++ (𝐹𝑓 𝑅𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))))))
87 ovex 6577 . . . . . 6 (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ∈ V
8887a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ∈ V)
89 fvex 6113 . . . . . . 7 (𝐸𝑖) ∈ V
90 fvex 6113 . . . . . . 7 (𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸))) ∈ V
9189, 90ifex 4106 . . . . . 6 if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸)))) ∈ V
9291a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸)))) ∈ V)
93 fvex 6113 . . . . . . 7 (𝐺𝑖) ∈ V
94 fvex 6113 . . . . . . 7 (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐺))) ∈ V
9593, 94ifex 4106 . . . . . 6 if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐺)))) ∈ V
9695a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐺)))) ∈ V)
97 ccatfval 13211 . . . . . 6 ((𝐸 ∈ Word 𝑆𝐹 ∈ Word 𝑆) → (𝐸 ++ 𝐹) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸))))))
981, 37, 97syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 ++ 𝐹) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸))))))
99 ccatfval 13211 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Word 𝑇𝐻 ∈ Word 𝑇) → (𝐺 ++ 𝐻) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐺) + (#‘𝐻))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐺))))))
1005, 42, 99syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 ++ 𝐻) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐺) + (#‘𝐻))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐺))))))
1019, 46oveq12d 6567 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((#‘𝐸) + (#‘𝐹)) = ((#‘𝐺) + (#‘𝐻)))
102101oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝜑 → (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) = (0..^((#‘𝐺) + (#‘𝐻))))
103102mpteq1d 4666 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐺))))) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐺) + (#‘𝐻))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐺))))))
104100, 103eqtr4d 2647 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 ++ 𝐻) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐺))))))
10588, 92, 96, 98, 104offval2 6812 . . . 4 (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐺)))))))
1069adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) → (#‘𝐸) = (#‘𝐺))
107106oveq2d 6565 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) → (0..^(#‘𝐸)) = (0..^(#‘𝐺)))
108107eleq2d 2673 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐺))))
109106oveq2d 6565 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) → (𝑖 − (#‘𝐸)) = (𝑖 − (#‘𝐺)))
110109fveq2d 6107 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) → (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐸))) = (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐺))))
111108, 110ifbieq2d 4061 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐸)))) = if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐺)))))
112111oveq2d 6565 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) → (if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐸))))) = (if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐺))))))
113112mpteq2dva 4672 . . . 4 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐸)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐺)))))))
114105, 113eqtr4d 2647 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐸)))))))
115 ovif12 6637 . . . 4 (if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐸))))) = if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐸)))))
116115mpteq2i 4669 . . 3 (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐸)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐸))))))
117114, 116syl6eq 2660 . 2 (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐸)))))))
11870, 86, 1173eqtr4rd 2655 1 (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = ((𝐸𝑓 𝑅𝐺) ++ (𝐹𝑓 𝑅𝐻)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ifcif 4036   ↦ cmpt 4643   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793  Fincfn 7841  0cc0 9815   + caddc 9818   − cmin 10145  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156 This theorem is referenced by:  ofs2  13558  ofcccat  29946
 Copyright terms: Public domain W3C validator