Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofccat Structured version   Unicode version

Theorem ofccat 28764
Description: Letterwise operations on word concatenations. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ofccat.1  |-  ( ph  ->  E  e. Word  S )
ofccat.2  |-  ( ph  ->  F  e. Word  S )
ofccat.3  |-  ( ph  ->  G  e. Word  T )
ofccat.4  |-  ( ph  ->  H  e. Word  T )
ofccat.5  |-  ( ph  ->  ( # `  E
)  =  ( # `  G ) )
ofccat.6  |-  ( ph  ->  ( # `  F
)  =  ( # `  H ) )
Assertion
Ref Expression
ofccat  |-  ( ph  ->  ( ( E ++  F
)  oF R ( G ++  H ) )  =  ( ( E  oF R G ) ++  ( F  oF R H ) ) )

Proof of Theorem ofccat
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ofccat.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e. Word  S )
2 wrdf 12541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E  e. Word  S  ->  E : ( 0..^ (
# `  E )
) --> S )
3 ffn 5713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E : ( 0..^ (
# `  E )
) --> S  ->  E  Fn  ( 0..^ ( # `  E ) ) )
41, 2, 33syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  Fn  ( 0..^ ( # `  E
) ) )
5 ofccat.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e. Word  T )
6 wrdf 12541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e. Word  T  ->  G : ( 0..^ (
# `  G )
) --> T )
7 ffn 5713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  G )
) --> T  ->  G  Fn  ( 0..^ ( # `  G ) ) )
85, 6, 73syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  Fn  ( 0..^ ( # `  G
) ) )
9 ofccat.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( # `  E
)  =  ( # `  G ) )
109oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( # `  E ) )  =  ( 0..^ ( # `  G ) ) )
1110fneq2d 5654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  Fn  (
0..^ ( # `  E
) )  <->  G  Fn  ( 0..^ ( # `  G
) ) ) )
128, 11mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  Fn  ( 0..^ ( # `  E
) ) )
13 ovex 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0..^ ( # `  E
) )  e.  _V
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( # `  E ) )  e. 
_V )
15 inidm 3693 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0..^ ( # `  E
) )  i^i  (
0..^ ( # `  E
) ) )  =  ( 0..^ ( # `  E ) )
164, 12, 14, 14, 15offn 6524 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  oF R G )  Fn  ( 0..^ ( # `  E ) ) )
17 hashfn 12429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  oF R G )  Fn  (
0..^ ( # `  E
) )  ->  ( # `
 ( E  oF R G ) )  =  ( # `  ( 0..^ ( # `  E ) ) ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  ( E  oF R G ) )  =  (
# `  ( 0..^ ( # `  E ) ) ) )
19 wrdfin 12551 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e. Word  S  ->  E  e.  Fin )
20 hashcl 12413 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  Fin  ->  ( # `
 E )  e. 
NN0 )
211, 19, 203syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  E
)  e.  NN0 )
22 hashfzo0 12475 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  E )  e.  NN0  ->  ( # `  (
0..^ ( # `  E
) ) )  =  ( # `  E
) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  (
0..^ ( # `  E
) ) )  =  ( # `  E
) )
2418, 23eqtrd 2495 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  ( E  oF R G ) )  =  (
# `  E )
)
2524adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  -> 
( # `  ( E  oF R G ) )  =  (
# `  E )
)
2625oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  -> 
( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) )  =  ( 0..^ ( # `  E
) ) )
2726eleq2d 2524 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  -> 
( i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) )  <->  i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ) )
284ad2antrr 723 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  E  Fn  (
0..^ ( # `  E
) ) )
2912ad2antrr 723 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  G  Fn  (
0..^ ( # `  E
) ) )
3013a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  ( 0..^ (
# `  E )
)  e.  _V )
3127biimpa 482 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) )
32 fnfvof 6526 . . . . 5  |-  ( ( ( E  Fn  (
0..^ ( # `  E
) )  /\  G  Fn  ( 0..^ ( # `  E ) ) )  /\  ( ( 0..^ ( # `  E
) )  e.  _V  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ) )  ->  ( ( E  oF R G ) `  i )  =  ( ( E `
 i ) R ( G `  i
) ) )
3328, 29, 30, 31, 32syl22anc 1227 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  ( ( E  oF R G ) `  i )  =  ( ( E `
 i ) R ( G `  i
) ) )
3424ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  ( # `
 ( E  oF R G ) )  =  ( # `  E ) )
3534oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  (
i  -  ( # `  ( E  oF R G ) ) )  =  ( i  -  ( # `  E
) ) )
3635fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  (
( F  oF R H ) `  ( i  -  ( # `
 ( E  oF R G ) ) ) )  =  ( ( F  oF R H ) `
 ( i  -  ( # `  E ) ) ) )
37 ofccat.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e. Word  S )
38 wrdf 12541 . . . . . . . 8  |-  ( F  e. Word  S  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> S )
39 ffn 5713 . . . . . . . 8  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> S  ->  F  Fn  ( 0..^ ( # `  F ) ) )
4037, 38, 393syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
4140ad2antrr 723 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  F  Fn  ( 0..^ ( # `  F ) ) )
42 ofccat.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  H  e. Word  T )
43 wrdf 12541 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e. Word  T  ->  H : ( 0..^ (
# `  H )
) --> T )
44 ffn 5713 . . . . . . . . 9  |-  ( H : ( 0..^ (
# `  H )
) --> T  ->  H  Fn  ( 0..^ ( # `  H ) ) )
4542, 43, 443syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( 0..^ ( # `  H
) ) )
46 ofccat.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  F
)  =  ( # `  H ) )
4746oveq2d 6286 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( # `  F ) )  =  ( 0..^ ( # `  H ) ) )
4847fneq2d 5654 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H  Fn  (
0..^ ( # `  F
) )  <->  H  Fn  ( 0..^ ( # `  H
) ) ) )
4945, 48mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
5049ad2antrr 723 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  H  Fn  ( 0..^ ( # `  F ) ) )
51 ovex 6298 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  e.  _V
5251a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  e.  _V )
53 simplr 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )
54 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )
5526adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  (
0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) )  =  ( 0..^ ( # `  E ) ) )
5654, 55neleqtrd 2566 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) )
5721ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  ( # `
 E )  e. 
NN0 )
5857nn0zd 10963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  ( # `
 E )  e.  ZZ )
59 wrdfin 12551 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e. Word  S  ->  F  e.  Fin )
60 hashcl 12413 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 F )  e. 
NN0 )
6137, 59, 603syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  F
)  e.  NN0 )
6261ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  ( # `
 F )  e. 
NN0 )
6362nn0zd 10963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  ( # `
 F )  e.  ZZ )
64 fzocatel 11861 . . . . . . 7  |-  ( ( ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) )  /\  ( ( # `  E
)  e.  ZZ  /\  ( # `  F )  e.  ZZ ) )  ->  ( i  -  ( # `  E ) )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
6553, 56, 58, 63, 64syl22anc 1227 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  (
i  -  ( # `  E ) )  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )
66 fnfvof 6526 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  Fn  (
0..^ ( # `  F
) )  /\  H  Fn  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  ( ( 0..^ ( # `  F
) )  e.  _V  /\  ( i  -  ( # `
 E ) )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
) ) )  -> 
( ( F  oF R H ) `
 ( i  -  ( # `  E ) ) )  =  ( ( F `  (
i  -  ( # `  E ) ) ) R ( H `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) ) )
6741, 50, 52, 65, 66syl22anc 1227 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  (
( F  oF R H ) `  ( i  -  ( # `
 E ) ) )  =  ( ( F `  ( i  -  ( # `  E
) ) ) R ( H `  (
i  -  ( # `  E ) ) ) ) )
6836, 67eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  (
( F  oF R H ) `  ( i  -  ( # `
 ( E  oF R G ) ) ) )  =  ( ( F `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) R ( H `
 ( i  -  ( # `  E ) ) ) ) )
6927, 33, 68ifbieq12d2 27629 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  ->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ,  ( ( E  oF R G ) `
 i ) ,  ( ( F  oF R H ) `
 ( i  -  ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ) )  =  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( ( E `  i
) R ( G `
 i ) ) ,  ( ( F `
 ( i  -  ( # `  E ) ) ) R ( H `  ( i  -  ( # `  E
) ) ) ) ) )
7069mpteq2dva 4525 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ,  ( ( E  oF R G ) `
 i ) ,  ( ( F  oF R H ) `
 ( i  -  ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ) ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E
)  +  ( # `  F ) ) ) 
|->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E ) ) ,  ( ( E `  i ) R ( G `  i ) ) ,  ( ( F `  ( i  -  ( # `  E
) ) ) R ( H `  (
i  -  ( # `  E ) ) ) ) ) ) )
71 ovex 6298 . . . 4  |-  ( E  oF R G )  e.  _V
72 ovex 6298 . . . 4  |-  ( F  oF R H )  e.  _V
73 ccatfval 12584 . . . 4  |-  ( ( ( E  oF R G )  e. 
_V  /\  ( F  oF R H )  e.  _V )  ->  ( ( E  oF R G ) ++  ( F  oF R H ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( E  oF R G ) )  +  (
# `  ( F  oF R H ) ) ) ) 
|->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ,  ( ( E  oF R G ) `  i
) ,  ( ( F  oF R H ) `  (
i  -  ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ) ) ) )
7471, 72, 73mp2an 670 . . 3  |-  ( ( E  oF R G ) ++  ( F  oF R H ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( E  oF R G ) )  +  (
# `  ( F  oF R H ) ) ) ) 
|->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ,  ( ( E  oF R G ) `  i
) ,  ( ( F  oF R H ) `  (
i  -  ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ) ) )
7551a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( # `  F ) )  e. 
_V )
76 inidm 3693 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0..^ ( # `  F
) )  i^i  (
0..^ ( # `  F
) ) )  =  ( 0..^ ( # `  F ) )
7740, 49, 75, 75, 76offn 6524 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  oF R H )  Fn  ( 0..^ ( # `  F ) ) )
78 hashfn 12429 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  oF R H )  Fn  (
0..^ ( # `  F
) )  ->  ( # `
 ( F  oF R H ) )  =  ( # `  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )
7977, 78syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  ( F  oF R H ) )  =  (
# `  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )
80 hashfzo0 12475 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) )  =  ( # `  F
) )
8161, 80syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) )  =  ( # `  F
) )
8279, 81eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  ( F  oF R H ) )  =  (
# `  F )
)
8324, 82oveq12d 6288 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( E  oF R G ) )  +  (
# `  ( F  oF R H ) ) )  =  ( ( # `  E
)  +  ( # `  F ) ) )
8483oveq2d 6286 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( (
# `  ( E  oF R G ) )  +  (
# `  ( F  oF R H ) ) ) )  =  ( 0..^ ( ( # `  E
)  +  ( # `  F ) ) ) )
8584mpteq1d 4520 . . 3  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( E  oF R G ) )  +  ( # `  ( F  oF R H ) ) ) ) 
|->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ,  ( ( E  oF R G ) `  i
) ,  ( ( F  oF R H ) `  (
i  -  ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ) ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ,  ( ( E  oF R G ) `
 i ) ,  ( ( F  oF R H ) `
 ( i  -  ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ) ) ) )
8674, 85syl5eq 2507 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E  oF R G ) ++  ( F  oF R H ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ,  ( ( E  oF R G ) `
 i ) ,  ( ( F  oF R H ) `
 ( i  -  ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ) ) ) )
87 ovex 6298 . . . . . 6  |-  ( 0..^ ( ( # `  E
)  +  ( # `  F ) ) )  e.  _V
8887a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) )  e. 
_V )
89 fvex 5858 . . . . . . 7  |-  ( E `
 i )  e. 
_V
90 fvex 5858 . . . . . . 7  |-  ( F `
 ( i  -  ( # `  E ) ) )  e.  _V
9189, 90ifex 3997 . . . . . 6  |-  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( E `  i ) ,  ( F `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) )  e.  _V
9291a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  ->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( E `  i ) ,  ( F `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) )  e.  _V )
93 fvex 5858 . . . . . . 7  |-  ( G `
 i )  e. 
_V
94 fvex 5858 . . . . . . 7  |-  ( H `
 ( i  -  ( # `  G ) ) )  e.  _V
9593, 94ifex 3997 . . . . . 6  |-  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) )  e.  _V
9695a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  ->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) )  e.  _V )
97 ccatfval 12584 . . . . . 6  |-  ( ( E  e. Word  S  /\  F  e. Word  S )  ->  ( E ++  F )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( E `  i ) ,  ( F `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) ) ) )
981, 37, 97syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E ++  F )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( E `  i ) ,  ( F `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) ) ) )
99 ccatfval 12584 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e. Word  T  /\  H  e. Word  T )  ->  ( G ++  H )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  G )  +  ( # `  H
) ) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) ) ) )
1005, 42, 99syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G ++  H )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  G )  +  ( # `  H
) ) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) ) ) )
1019, 46oveq12d 6288 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( # `  E
)  +  ( # `  F ) )  =  ( ( # `  G
)  +  ( # `  H ) ) )
102101oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) )  =  ( 0..^ ( (
# `  G )  +  ( # `  H
) ) ) )
103102mpteq1d 4520 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  G )  +  (
# `  H )
) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) ) ) )
104100, 103eqtr4d 2498 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G ++  H )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) ) ) )
10588, 92, 96, 98, 104offval2 6529 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E ++  F
)  oF R ( G ++  H ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E
)  +  ( # `  F ) ) ) 
|->  ( if ( i  e.  ( 0..^ (
# `  E )
) ,  ( E `
 i ) ,  ( F `  (
i  -  ( # `  E ) ) ) ) R if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) ) ) ) )
1069adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  -> 
( # `  E )  =  ( # `  G
) )
107106oveq2d 6286 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  -> 
( 0..^ ( # `  E ) )  =  ( 0..^ ( # `  G ) ) )
108107eleq2d 2524 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  -> 
( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) )  <->  i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ) )
109106oveq2d 6286 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  -> 
( i  -  ( # `
 E ) )  =  ( i  -  ( # `  G ) ) )
110109fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  -> 
( H `  (
i  -  ( # `  E ) ) )  =  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) )
111108, 110ifbieq2d 3954 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  ->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) )  =  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) ) )
112111oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  -> 
( if ( i  e.  ( 0..^ (
# `  E )
) ,  ( E `
 i ) ,  ( F `  (
i  -  ( # `  E ) ) ) ) R if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) ) )  =  ( if ( i  e.  ( 0..^ (
# `  E )
) ,  ( E `
 i ) ,  ( F `  (
i  -  ( # `  E ) ) ) ) R if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) ) ) )
113112mpteq2dva 4525 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) )  |->  ( if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( E `  i ) ,  ( F `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) ) R if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) ) ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) )  |->  ( if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E ) ) ,  ( E `  i
) ,  ( F `
 ( i  -  ( # `  E ) ) ) ) R if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G ) ) ,  ( G `  i
) ,  ( H `
 ( i  -  ( # `  G ) ) ) ) ) ) )
114105, 113eqtr4d 2498 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E ++  F
)  oF R ( G ++  H ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E
)  +  ( # `  F ) ) ) 
|->  ( if ( i  e.  ( 0..^ (
# `  E )
) ,  ( E `
 i ) ,  ( F `  (
i  -  ( # `  E ) ) ) ) R if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) ) ) ) )
115 ovif12 6354 . . . 4  |-  ( if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( E `  i ) ,  ( F `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) ) R if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) ) )  =  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E ) ) ,  ( ( E `  i ) R ( G `  i ) ) ,  ( ( F `  ( i  -  ( # `  E
) ) ) R ( H `  (
i  -  ( # `  E ) ) ) ) )
116115mpteq2i 4522 . . 3  |-  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E
)  +  ( # `  F ) ) ) 
|->  ( if ( i  e.  ( 0..^ (
# `  E )
) ,  ( E `
 i ) ,  ( F `  (
i  -  ( # `  E ) ) ) ) R if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) ) ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( ( E `  i
) R ( G `
 i ) ) ,  ( ( F `
 ( i  -  ( # `  E ) ) ) R ( H `  ( i  -  ( # `  E
) ) ) ) ) )
117114, 116syl6eq 2511 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E ++  F
)  oF R ( G ++  H ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E
)  +  ( # `  F ) ) ) 
|->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E ) ) ,  ( ( E `  i ) R ( G `  i ) ) ,  ( ( F `  ( i  -  ( # `  E
) ) ) R ( H `  (
i  -  ( # `  E ) ) ) ) ) ) )
11870, 86, 1173eqtr4rd 2506 1  |-  ( ph  ->  ( ( E ++  F
)  oF R ( G ++  H ) )  =  ( ( E  oF R G ) ++  ( F  oF R H ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   ifcif 3929    |-> cmpt 4497    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    oFcof 6511   Fincfn 7509   0cc0 9481    + caddc 9484    - cmin 9796   NN0cn0 10791   ZZcz 10860  ..^cfzo 11799   #chash 12390  Word cword 12521   ++ cconcat 12523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-hash 12391  df-word 12529  df-concat 12531
This theorem is referenced by:  ofcccat  28765  ofs2  28768
  Copyright terms: Public domain W3C validator