Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofccat Structured version   Unicode version

Theorem ofccat 26953
Description: Letterwise operations on word concatenations. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ofccat.1  |-  ( ph  ->  E  e. Word  S )
ofccat.2  |-  ( ph  ->  F  e. Word  S )
ofccat.3  |-  ( ph  ->  G  e. Word  T )
ofccat.4  |-  ( ph  ->  H  e. Word  T )
ofccat.5  |-  ( ph  ->  ( # `  E
)  =  ( # `  G ) )
ofccat.6  |-  ( ph  ->  ( # `  F
)  =  ( # `  H ) )
Assertion
Ref Expression
ofccat  |-  ( ph  ->  ( ( E concat  F
)  oF R ( G concat  H ) )  =  ( ( E  oF R G ) concat  ( F  oF R H ) ) )

Proof of Theorem ofccat
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ofccat.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e. Word  S )
2 wrdf 12252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E  e. Word  S  ->  E : ( 0..^ (
# `  E )
) --> S )
3 ffn 5571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E : ( 0..^ (
# `  E )
) --> S  ->  E  Fn  ( 0..^ ( # `  E ) ) )
41, 2, 33syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  Fn  ( 0..^ ( # `  E
) ) )
5 ofccat.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e. Word  T )
6 wrdf 12252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e. Word  T  ->  G : ( 0..^ (
# `  G )
) --> T )
7 ffn 5571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  G )
) --> T  ->  G  Fn  ( 0..^ ( # `  G ) ) )
85, 6, 73syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  Fn  ( 0..^ ( # `  G
) ) )
9 ofccat.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( # `  E
)  =  ( # `  G ) )
109oveq2d 6119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( # `  E ) )  =  ( 0..^ ( # `  G ) ) )
1110fneq2d 5514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  Fn  (
0..^ ( # `  E
) )  <->  G  Fn  ( 0..^ ( # `  G
) ) ) )
128, 11mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  Fn  ( 0..^ ( # `  E
) ) )
13 ovex 6128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0..^ ( # `  E
) )  e.  _V
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( # `  E ) )  e. 
_V )
15 inidm 3571 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0..^ ( # `  E
) )  i^i  (
0..^ ( # `  E
) ) )  =  ( 0..^ ( # `  E ) )
164, 12, 14, 14, 15offn 6343 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  oF R G )  Fn  ( 0..^ ( # `  E ) ) )
17 hashfn 12150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  oF R G )  Fn  (
0..^ ( # `  E
) )  ->  ( # `
 ( E  oF R G ) )  =  ( # `  ( 0..^ ( # `  E ) ) ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  ( E  oF R G ) )  =  (
# `  ( 0..^ ( # `  E ) ) ) )
19 wrdfin 12260 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e. Word  S  ->  E  e.  Fin )
20 hashcl 12138 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  Fin  ->  ( # `
 E )  e. 
NN0 )
211, 19, 203syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  E
)  e.  NN0 )
22 hashfzo0 12203 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  E )  e.  NN0  ->  ( # `  (
0..^ ( # `  E
) ) )  =  ( # `  E
) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  (
0..^ ( # `  E
) ) )  =  ( # `  E
) )
2418, 23eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  ( E  oF R G ) )  =  (
# `  E )
)
2524adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  -> 
( # `  ( E  oF R G ) )  =  (
# `  E )
)
2625oveq2d 6119 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  -> 
( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) )  =  ( 0..^ ( # `  E
) ) )
2726eleq2d 2510 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  -> 
( i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) )  <->  i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ) )
284ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  E  Fn  (
0..^ ( # `  E
) ) )
2912ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  G  Fn  (
0..^ ( # `  E
) ) )
3013a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  ( 0..^ (
# `  E )
)  e.  _V )
3127biimpa 484 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) )
32 fnfvof 6345 . . . . 5  |-  ( ( ( E  Fn  (
0..^ ( # `  E
) )  /\  G  Fn  ( 0..^ ( # `  E ) ) )  /\  ( ( 0..^ ( # `  E
) )  e.  _V  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ) )  ->  ( ( E  oF R G ) `  i )  =  ( ( E `
 i ) R ( G `  i
) ) )
3328, 29, 30, 31, 32syl22anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  ( ( E  oF R G ) `  i )  =  ( ( E `
 i ) R ( G `  i
) ) )
3425adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  ( # `
 ( E  oF R G ) )  =  ( # `  E ) )
3534oveq2d 6119 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  (
i  -  ( # `  ( E  oF R G ) ) )  =  ( i  -  ( # `  E
) ) )
3635fveq2d 5707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  (
( F  oF R H ) `  ( i  -  ( # `
 ( E  oF R G ) ) ) )  =  ( ( F  oF R H ) `
 ( i  -  ( # `  E ) ) ) )
37 ofccat.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e. Word  S )
38 wrdf 12252 . . . . . . . 8  |-  ( F  e. Word  S  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> S )
39 ffn 5571 . . . . . . . 8  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> S  ->  F  Fn  ( 0..^ ( # `  F ) ) )
4037, 38, 393syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
4140ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  F  Fn  ( 0..^ ( # `  F ) ) )
42 ofccat.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  H  e. Word  T )
43 wrdf 12252 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e. Word  T  ->  H : ( 0..^ (
# `  H )
) --> T )
44 ffn 5571 . . . . . . . . 9  |-  ( H : ( 0..^ (
# `  H )
) --> T  ->  H  Fn  ( 0..^ ( # `  H ) ) )
4542, 43, 443syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( 0..^ ( # `  H
) ) )
46 ofccat.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  F
)  =  ( # `  H ) )
4746oveq2d 6119 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( # `  F ) )  =  ( 0..^ ( # `  H ) ) )
4847fneq2d 5514 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H  Fn  (
0..^ ( # `  F
) )  <->  H  Fn  ( 0..^ ( # `  H
) ) ) )
4945, 48mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
5049ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  H  Fn  ( 0..^ ( # `  F ) ) )
51 ovex 6128 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  e.  _V
5251a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  e.  _V )
53 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )
54 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )
5526adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  (
0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) )  =  ( 0..^ ( # `  E ) ) )
5654, 55neleqtrd 2539 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) )
5721ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  ( # `
 E )  e. 
NN0 )
5857nn0zd 10757 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  ( # `
 E )  e.  ZZ )
59 wrdfin 12260 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e. Word  S  ->  F  e.  Fin )
60 hashcl 12138 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 F )  e. 
NN0 )
6137, 59, 603syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  F
)  e.  NN0 )
6261ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  ( # `
 F )  e. 
NN0 )
6362nn0zd 10757 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  ( # `
 F )  e.  ZZ )
64 fzocatel 11614 . . . . . . 7  |-  ( ( ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) )  /\  ( ( # `  E
)  e.  ZZ  /\  ( # `  F )  e.  ZZ ) )  ->  ( i  -  ( # `  E ) )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
6553, 56, 58, 63, 64syl22anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  (
i  -  ( # `  E ) )  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )
66 fnfvof 6345 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  Fn  (
0..^ ( # `  F
) )  /\  H  Fn  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  ( ( 0..^ ( # `  F
) )  e.  _V  /\  ( i  -  ( # `
 E ) )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
) ) )  -> 
( ( F  oF R H ) `
 ( i  -  ( # `  E ) ) )  =  ( ( F `  (
i  -  ( # `  E ) ) ) R ( H `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) ) )
6741, 50, 52, 65, 66syl22anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  (
( F  oF R H ) `  ( i  -  ( # `
 E ) ) )  =  ( ( F `  ( i  -  ( # `  E
) ) ) R ( H `  (
i  -  ( # `  E ) ) ) ) )
6836, 67eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  (
( F  oF R H ) `  ( i  -  ( # `
 ( E  oF R G ) ) ) )  =  ( ( F `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) R ( H `
 ( i  -  ( # `  E ) ) ) ) )
6927, 33, 68ifbieq12d2 25915 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  ->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ,  ( ( E  oF R G ) `
 i ) ,  ( ( F  oF R H ) `
 ( i  -  ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ) )  =  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( ( E `  i
) R ( G `
 i ) ) ,  ( ( F `
 ( i  -  ( # `  E ) ) ) R ( H `  ( i  -  ( # `  E
) ) ) ) ) )
7069mpteq2dva 4390 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ,  ( ( E  oF R G ) `
 i ) ,  ( ( F  oF R H ) `
 ( i  -  ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ) ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E
)  +  ( # `  F ) ) ) 
|->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E ) ) ,  ( ( E `  i ) R ( G `  i ) ) ,  ( ( F `  ( i  -  ( # `  E
) ) ) R ( H `  (
i  -  ( # `  E ) ) ) ) ) ) )
71 ovex 6128 . . . 4  |-  ( E  oF R G )  e.  _V
72 ovex 6128 . . . 4  |-  ( F  oF R H )  e.  _V
73 ccatfval 12285 . . . 4  |-  ( ( ( E  oF R G )  e. 
_V  /\  ( F  oF R H )  e.  _V )  ->  ( ( E  oF R G ) concat 
( F  oF R H ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( E  oF R G ) )  +  (
# `  ( F  oF R H ) ) ) ) 
|->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ,  ( ( E  oF R G ) `  i
) ,  ( ( F  oF R H ) `  (
i  -  ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ) ) ) )
7471, 72, 73mp2an 672 . . 3  |-  ( ( E  oF R G ) concat  ( F  oF R H ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( E  oF R G ) )  +  (
# `  ( F  oF R H ) ) ) ) 
|->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ,  ( ( E  oF R G ) `  i
) ,  ( ( F  oF R H ) `  (
i  -  ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ) ) )
7551a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( # `  F ) )  e. 
_V )
76 inidm 3571 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0..^ ( # `  F
) )  i^i  (
0..^ ( # `  F
) ) )  =  ( 0..^ ( # `  F ) )
7740, 49, 75, 75, 76offn 6343 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  oF R H )  Fn  ( 0..^ ( # `  F ) ) )
78 hashfn 12150 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  oF R H )  Fn  (
0..^ ( # `  F
) )  ->  ( # `
 ( F  oF R H ) )  =  ( # `  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )
7977, 78syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  ( F  oF R H ) )  =  (
# `  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )
80 hashfzo0 12203 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) )  =  ( # `  F
) )
8161, 80syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) )  =  ( # `  F
) )
8279, 81eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  ( F  oF R H ) )  =  (
# `  F )
)
8324, 82oveq12d 6121 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( E  oF R G ) )  +  (
# `  ( F  oF R H ) ) )  =  ( ( # `  E
)  +  ( # `  F ) ) )
8483oveq2d 6119 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( (
# `  ( E  oF R G ) )  +  (
# `  ( F  oF R H ) ) ) )  =  ( 0..^ ( ( # `  E
)  +  ( # `  F ) ) ) )
8584mpteq1d 4385 . . 3  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( E  oF R G ) )  +  ( # `  ( F  oF R H ) ) ) ) 
|->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ,  ( ( E  oF R G ) `  i
) ,  ( ( F  oF R H ) `  (
i  -  ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ) ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ,  ( ( E  oF R G ) `
 i ) ,  ( ( F  oF R H ) `
 ( i  -  ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ) ) ) )
8674, 85syl5eq 2487 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E  oF R G ) concat 
( F  oF R H ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ,  ( ( E  oF R G ) `
 i ) ,  ( ( F  oF R H ) `
 ( i  -  ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ) ) ) )
87 ovex 6128 . . . . . 6  |-  ( 0..^ ( ( # `  E
)  +  ( # `  F ) ) )  e.  _V
8887a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) )  e. 
_V )
89 fvex 5713 . . . . . . 7  |-  ( E `
 i )  e. 
_V
90 fvex 5713 . . . . . . 7  |-  ( F `
 ( i  -  ( # `  E ) ) )  e.  _V
9189, 90ifex 3870 . . . . . 6  |-  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( E `  i ) ,  ( F `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) )  e.  _V
9291a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  ->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( E `  i ) ,  ( F `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) )  e.  _V )
93 fvex 5713 . . . . . . 7  |-  ( G `
 i )  e. 
_V
94 fvex 5713 . . . . . . 7  |-  ( H `
 ( i  -  ( # `  G ) ) )  e.  _V
9593, 94ifex 3870 . . . . . 6  |-  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) )  e.  _V
9695a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  ->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) )  e.  _V )
97 ccatfval 12285 . . . . . 6  |-  ( ( E  e. Word  S  /\  F  e. Word  S )  ->  ( E concat  F )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( E `  i ) ,  ( F `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) ) ) )
981, 37, 97syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E concat  F )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( E `  i ) ,  ( F `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) ) ) )
99 ccatfval 12285 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e. Word  T  /\  H  e. Word  T )  ->  ( G concat  H )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  G )  +  ( # `  H
) ) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) ) ) )
1005, 42, 99syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G concat  H )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  G )  +  ( # `  H
) ) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) ) ) )
1019, 46oveq12d 6121 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( # `  E
)  +  ( # `  F ) )  =  ( ( # `  G
)  +  ( # `  H ) ) )
102101oveq2d 6119 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) )  =  ( 0..^ ( (
# `  G )  +  ( # `  H
) ) ) )
103102mpteq1d 4385 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  G )  +  (
# `  H )
) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) ) ) )
104100, 103eqtr4d 2478 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G concat  H )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) ) ) )
10588, 92, 96, 98, 104offval2 6348 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E concat  F
)  oF R ( G concat  H ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E
)  +  ( # `  F ) ) ) 
|->  ( if ( i  e.  ( 0..^ (
# `  E )
) ,  ( E `
 i ) ,  ( F `  (
i  -  ( # `  E ) ) ) ) R if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) ) ) ) )
1069adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  -> 
( # `  E )  =  ( # `  G
) )
107106oveq2d 6119 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  -> 
( 0..^ ( # `  E ) )  =  ( 0..^ ( # `  G ) ) )
108107eleq2d 2510 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  -> 
( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) )  <->  i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ) )
109106oveq2d 6119 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  -> 
( i  -  ( # `
 E ) )  =  ( i  -  ( # `  G ) ) )
110109fveq2d 5707 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  -> 
( H `  (
i  -  ( # `  E ) ) )  =  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) )
111108, 110ifbieq2d 3826 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  ->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) )  =  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) ) )
112111oveq2d 6119 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  -> 
( if ( i  e.  ( 0..^ (
# `  E )
) ,  ( E `
 i ) ,  ( F `  (
i  -  ( # `  E ) ) ) ) R if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) ) )  =  ( if ( i  e.  ( 0..^ (
# `  E )
) ,  ( E `
 i ) ,  ( F `  (
i  -  ( # `  E ) ) ) ) R if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) ) ) )
113112mpteq2dva 4390 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) )  |->  ( if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( E `  i ) ,  ( F `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) ) R if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) ) ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) )  |->  ( if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E ) ) ,  ( E `  i
) ,  ( F `
 ( i  -  ( # `  E ) ) ) ) R if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G ) ) ,  ( G `  i
) ,  ( H `
 ( i  -  ( # `  G ) ) ) ) ) ) )
114105, 113eqtr4d 2478 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E concat  F
)  oF R ( G concat  H ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E
)  +  ( # `  F ) ) ) 
|->  ( if ( i  e.  ( 0..^ (
# `  E )
) ,  ( E `
 i ) ,  ( F `  (
i  -  ( # `  E ) ) ) ) R if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) ) ) ) )
115 ovif12 6182 . . . 4  |-  ( if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( E `  i ) ,  ( F `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) ) R if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) ) )  =  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E ) ) ,  ( ( E `  i ) R ( G `  i ) ) ,  ( ( F `  ( i  -  ( # `  E
) ) ) R ( H `  (
i  -  ( # `  E ) ) ) ) )
116115mpteq2i 4387 . . 3  |-  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E
)  +  ( # `  F ) ) ) 
|->  ( if ( i  e.  ( 0..^ (
# `  E )
) ,  ( E `
 i ) ,  ( F `  (
i  -  ( # `  E ) ) ) ) R if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) ) ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( ( E `  i
) R ( G `
 i ) ) ,  ( ( F `
 ( i  -  ( # `  E ) ) ) R ( H `  ( i  -  ( # `  E
) ) ) ) ) )
117114, 116syl6eq 2491 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E concat  F
)  oF R ( G concat  H ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E
)  +  ( # `  F ) ) ) 
|->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E ) ) ,  ( ( E `  i ) R ( G `  i ) ) ,  ( ( F `  ( i  -  ( # `  E
) ) ) R ( H `  (
i  -  ( # `  E ) ) ) ) ) ) )
11870, 86, 1173eqtr4rd 2486 1  |-  ( ph  ->  ( ( E concat  F
)  oF R ( G concat  H ) )  =  ( ( E  oF R G ) concat  ( F  oF R H ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2984   ifcif 3803    e. cmpt 4362    Fn wfn 5425   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103    oFcof 6330   Fincfn 7322   0cc0 9294    + caddc 9297    - cmin 9607   NN0cn0 10591   ZZcz 10658  ..^cfzo 11560   #chash 12115  Word cword 12233   concat cconcat 12235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-hash 12116  df-word 12241  df-concat 12243
This theorem is referenced by:  ofcccat  26954  ofs2  26957
  Copyright terms: Public domain W3C validator