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Theorem ofccat 28248
Description: Letterwise operations on word concatenations. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ofccat.1  |-  ( ph  ->  E  e. Word  S )
ofccat.2  |-  ( ph  ->  F  e. Word  S )
ofccat.3  |-  ( ph  ->  G  e. Word  T )
ofccat.4  |-  ( ph  ->  H  e. Word  T )
ofccat.5  |-  ( ph  ->  ( # `  E
)  =  ( # `  G ) )
ofccat.6  |-  ( ph  ->  ( # `  F
)  =  ( # `  H ) )
Assertion
Ref Expression
ofccat  |-  ( ph  ->  ( ( E concat  F
)  oF R ( G concat  H ) )  =  ( ( E  oF R G ) concat  ( F  oF R H ) ) )

Proof of Theorem ofccat
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ofccat.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e. Word  S )
2 wrdf 12520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E  e. Word  S  ->  E : ( 0..^ (
# `  E )
) --> S )
3 ffn 5731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E : ( 0..^ (
# `  E )
) --> S  ->  E  Fn  ( 0..^ ( # `  E ) ) )
41, 2, 33syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  Fn  ( 0..^ ( # `  E
) ) )
5 ofccat.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e. Word  T )
6 wrdf 12520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e. Word  T  ->  G : ( 0..^ (
# `  G )
) --> T )
7 ffn 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  G )
) --> T  ->  G  Fn  ( 0..^ ( # `  G ) ) )
85, 6, 73syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  Fn  ( 0..^ ( # `  G
) ) )
9 ofccat.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( # `  E
)  =  ( # `  G ) )
109oveq2d 6301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( # `  E ) )  =  ( 0..^ ( # `  G ) ) )
1110fneq2d 5672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  Fn  (
0..^ ( # `  E
) )  <->  G  Fn  ( 0..^ ( # `  G
) ) ) )
128, 11mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  Fn  ( 0..^ ( # `  E
) ) )
13 ovex 6310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0..^ ( # `  E
) )  e.  _V
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( # `  E ) )  e. 
_V )
15 inidm 3707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0..^ ( # `  E
) )  i^i  (
0..^ ( # `  E
) ) )  =  ( 0..^ ( # `  E ) )
164, 12, 14, 14, 15offn 6536 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  oF R G )  Fn  ( 0..^ ( # `  E ) ) )
17 hashfn 12412 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  oF R G )  Fn  (
0..^ ( # `  E
) )  ->  ( # `
 ( E  oF R G ) )  =  ( # `  ( 0..^ ( # `  E ) ) ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  ( E  oF R G ) )  =  (
# `  ( 0..^ ( # `  E ) ) ) )
19 wrdfin 12528 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e. Word  S  ->  E  e.  Fin )
20 hashcl 12397 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  Fin  ->  ( # `
 E )  e. 
NN0 )
211, 19, 203syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  E
)  e.  NN0 )
22 hashfzo0 12454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  E )  e.  NN0  ->  ( # `  (
0..^ ( # `  E
) ) )  =  ( # `  E
) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  (
0..^ ( # `  E
) ) )  =  ( # `  E
) )
2418, 23eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  ( E  oF R G ) )  =  (
# `  E )
)
2524adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  -> 
( # `  ( E  oF R G ) )  =  (
# `  E )
)
2625oveq2d 6301 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  -> 
( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) )  =  ( 0..^ ( # `  E
) ) )
2726eleq2d 2537 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  -> 
( i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) )  <->  i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ) )
284ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  E  Fn  (
0..^ ( # `  E
) ) )
2912ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  G  Fn  (
0..^ ( # `  E
) ) )
3013a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  ( 0..^ (
# `  E )
)  e.  _V )
3127biimpa 484 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) )
32 fnfvof 6538 . . . . 5  |-  ( ( ( E  Fn  (
0..^ ( # `  E
) )  /\  G  Fn  ( 0..^ ( # `  E ) ) )  /\  ( ( 0..^ ( # `  E
) )  e.  _V  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ) )  ->  ( ( E  oF R G ) `  i )  =  ( ( E `
 i ) R ( G `  i
) ) )
3328, 29, 30, 31, 32syl22anc 1229 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  ( ( E  oF R G ) `  i )  =  ( ( E `
 i ) R ( G `  i
) ) )
3425adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  ( # `
 ( E  oF R G ) )  =  ( # `  E ) )
3534oveq2d 6301 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  (
i  -  ( # `  ( E  oF R G ) ) )  =  ( i  -  ( # `  E
) ) )
3635fveq2d 5870 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  (
( F  oF R H ) `  ( i  -  ( # `
 ( E  oF R G ) ) ) )  =  ( ( F  oF R H ) `
 ( i  -  ( # `  E ) ) ) )
37 ofccat.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e. Word  S )
38 wrdf 12520 . . . . . . . 8  |-  ( F  e. Word  S  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> S )
39 ffn 5731 . . . . . . . 8  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> S  ->  F  Fn  ( 0..^ ( # `  F ) ) )
4037, 38, 393syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
4140ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  F  Fn  ( 0..^ ( # `  F ) ) )
42 ofccat.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  H  e. Word  T )
43 wrdf 12520 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e. Word  T  ->  H : ( 0..^ (
# `  H )
) --> T )
44 ffn 5731 . . . . . . . . 9  |-  ( H : ( 0..^ (
# `  H )
) --> T  ->  H  Fn  ( 0..^ ( # `  H ) ) )
4542, 43, 443syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( 0..^ ( # `  H
) ) )
46 ofccat.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  F
)  =  ( # `  H ) )
4746oveq2d 6301 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( # `  F ) )  =  ( 0..^ ( # `  H ) ) )
4847fneq2d 5672 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H  Fn  (
0..^ ( # `  F
) )  <->  H  Fn  ( 0..^ ( # `  H
) ) ) )
4945, 48mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
5049ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  H  Fn  ( 0..^ ( # `  F ) ) )
51 ovex 6310 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  e.  _V
5251a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  e.  _V )
53 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )
54 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )
5526adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  (
0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) )  =  ( 0..^ ( # `  E ) ) )
5654, 55neleqtrd 2579 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) )
5721ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  ( # `
 E )  e. 
NN0 )
5857nn0zd 10965 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  ( # `
 E )  e.  ZZ )
59 wrdfin 12528 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e. Word  S  ->  F  e.  Fin )
60 hashcl 12397 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 F )  e. 
NN0 )
6137, 59, 603syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  F
)  e.  NN0 )
6261ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  ( # `
 F )  e. 
NN0 )
6362nn0zd 10965 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  ( # `
 F )  e.  ZZ )
64 fzocatel 11849 . . . . . . 7  |-  ( ( ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) )  /\  ( ( # `  E
)  e.  ZZ  /\  ( # `  F )  e.  ZZ ) )  ->  ( i  -  ( # `  E ) )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
6553, 56, 58, 63, 64syl22anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  (
i  -  ( # `  E ) )  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )
66 fnfvof 6538 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  Fn  (
0..^ ( # `  F
) )  /\  H  Fn  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  /\  ( ( 0..^ ( # `  F
) )  e.  _V  /\  ( i  -  ( # `
 E ) )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
) ) )  -> 
( ( F  oF R H ) `
 ( i  -  ( # `  E ) ) )  =  ( ( F `  (
i  -  ( # `  E ) ) ) R ( H `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) ) )
6741, 50, 52, 65, 66syl22anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  (
( F  oF R H ) `  ( i  -  ( # `
 E ) ) )  =  ( ( F `  ( i  -  ( # `  E
) ) ) R ( H `  (
i  -  ( # `  E ) ) ) ) )
6836, 67eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) )  ->  (
( F  oF R H ) `  ( i  -  ( # `
 ( E  oF R G ) ) ) )  =  ( ( F `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) R ( H `
 ( i  -  ( # `  E ) ) ) ) )
6927, 33, 68ifbieq12d2 27191 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  ->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ,  ( ( E  oF R G ) `
 i ) ,  ( ( F  oF R H ) `
 ( i  -  ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ) )  =  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( ( E `  i
) R ( G `
 i ) ) ,  ( ( F `
 ( i  -  ( # `  E ) ) ) R ( H `  ( i  -  ( # `  E
) ) ) ) ) )
7069mpteq2dva 4533 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ,  ( ( E  oF R G ) `
 i ) ,  ( ( F  oF R H ) `
 ( i  -  ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ) ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E
)  +  ( # `  F ) ) ) 
|->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E ) ) ,  ( ( E `  i ) R ( G `  i ) ) ,  ( ( F `  ( i  -  ( # `  E
) ) ) R ( H `  (
i  -  ( # `  E ) ) ) ) ) ) )
71 ovex 6310 . . . 4  |-  ( E  oF R G )  e.  _V
72 ovex 6310 . . . 4  |-  ( F  oF R H )  e.  _V
73 ccatfval 12558 . . . 4  |-  ( ( ( E  oF R G )  e. 
_V  /\  ( F  oF R H )  e.  _V )  ->  ( ( E  oF R G ) concat 
( F  oF R H ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( E  oF R G ) )  +  (
# `  ( F  oF R H ) ) ) ) 
|->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ,  ( ( E  oF R G ) `  i
) ,  ( ( F  oF R H ) `  (
i  -  ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ) ) ) )
7471, 72, 73mp2an 672 . . 3  |-  ( ( E  oF R G ) concat  ( F  oF R H ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( E  oF R G ) )  +  (
# `  ( F  oF R H ) ) ) ) 
|->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ,  ( ( E  oF R G ) `  i
) ,  ( ( F  oF R H ) `  (
i  -  ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ) ) )
7551a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( # `  F ) )  e. 
_V )
76 inidm 3707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0..^ ( # `  F
) )  i^i  (
0..^ ( # `  F
) ) )  =  ( 0..^ ( # `  F ) )
7740, 49, 75, 75, 76offn 6536 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  oF R H )  Fn  ( 0..^ ( # `  F ) ) )
78 hashfn 12412 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  oF R H )  Fn  (
0..^ ( # `  F
) )  ->  ( # `
 ( F  oF R H ) )  =  ( # `  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )
7977, 78syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  ( F  oF R H ) )  =  (
# `  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )
80 hashfzo0 12454 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) )  =  ( # `  F
) )
8161, 80syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) )  =  ( # `  F
) )
8279, 81eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  ( F  oF R H ) )  =  (
# `  F )
)
8324, 82oveq12d 6303 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( E  oF R G ) )  +  (
# `  ( F  oF R H ) ) )  =  ( ( # `  E
)  +  ( # `  F ) ) )
8483oveq2d 6301 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( (
# `  ( E  oF R G ) )  +  (
# `  ( F  oF R H ) ) ) )  =  ( 0..^ ( ( # `  E
)  +  ( # `  F ) ) ) )
8584mpteq1d 4528 . . 3  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( E  oF R G ) )  +  ( # `  ( F  oF R H ) ) ) ) 
|->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ,  ( ( E  oF R G ) `  i
) ,  ( ( F  oF R H ) `  (
i  -  ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ) ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ,  ( ( E  oF R G ) `
 i ) ,  ( ( F  oF R H ) `
 ( i  -  ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ) ) ) )
8674, 85syl5eq 2520 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E  oF R G ) concat 
( F  oF R H ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ,  ( ( E  oF R G ) `
 i ) ,  ( ( F  oF R H ) `
 ( i  -  ( # `  ( E  oF R G ) ) ) ) ) ) )
87 ovex 6310 . . . . . 6  |-  ( 0..^ ( ( # `  E
)  +  ( # `  F ) ) )  e.  _V
8887a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) )  e. 
_V )
89 fvex 5876 . . . . . . 7  |-  ( E `
 i )  e. 
_V
90 fvex 5876 . . . . . . 7  |-  ( F `
 ( i  -  ( # `  E ) ) )  e.  _V
9189, 90ifex 4008 . . . . . 6  |-  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( E `  i ) ,  ( F `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) )  e.  _V
9291a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  ->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( E `  i ) ,  ( F `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) )  e.  _V )
93 fvex 5876 . . . . . . 7  |-  ( G `
 i )  e. 
_V
94 fvex 5876 . . . . . . 7  |-  ( H `
 ( i  -  ( # `  G ) ) )  e.  _V
9593, 94ifex 4008 . . . . . 6  |-  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) )  e.  _V
9695a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  ->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) )  e.  _V )
97 ccatfval 12558 . . . . . 6  |-  ( ( E  e. Word  S  /\  F  e. Word  S )  ->  ( E concat  F )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( E `  i ) ,  ( F `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) ) ) )
981, 37, 97syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E concat  F )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( E `  i ) ,  ( F `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) ) ) )
99 ccatfval 12558 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e. Word  T  /\  H  e. Word  T )  ->  ( G concat  H )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  G )  +  ( # `  H
) ) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) ) ) )
1005, 42, 99syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G concat  H )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  G )  +  ( # `  H
) ) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) ) ) )
1019, 46oveq12d 6303 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( # `  E
)  +  ( # `  F ) )  =  ( ( # `  G
)  +  ( # `  H ) ) )
102101oveq2d 6301 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) )  =  ( 0..^ ( (
# `  G )  +  ( # `  H
) ) ) )
103102mpteq1d 4528 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  G )  +  (
# `  H )
) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) ) ) )
104100, 103eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G concat  H )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) ) ) )
10588, 92, 96, 98, 104offval2 6541 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E concat  F
)  oF R ( G concat  H ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E
)  +  ( # `  F ) ) ) 
|->  ( if ( i  e.  ( 0..^ (
# `  E )
) ,  ( E `
 i ) ,  ( F `  (
i  -  ( # `  E ) ) ) ) R if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) ) ) ) )
1069adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  -> 
( # `  E )  =  ( # `  G
) )
107106oveq2d 6301 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  -> 
( 0..^ ( # `  E ) )  =  ( 0..^ ( # `  G ) ) )
108107eleq2d 2537 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  -> 
( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) )  <->  i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ) )
109106oveq2d 6301 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  -> 
( i  -  ( # `
 E ) )  =  ( i  -  ( # `  G ) ) )
110109fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  -> 
( H `  (
i  -  ( # `  E ) ) )  =  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) )
111108, 110ifbieq2d 3964 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  ->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) )  =  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) ) )
112111oveq2d 6301 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) ) )  -> 
( if ( i  e.  ( 0..^ (
# `  E )
) ,  ( E `
 i ) ,  ( F `  (
i  -  ( # `  E ) ) ) ) R if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) ) )  =  ( if ( i  e.  ( 0..^ (
# `  E )
) ,  ( E `
 i ) ,  ( F `  (
i  -  ( # `  E ) ) ) ) R if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 G ) ) ) ) ) )
113112mpteq2dva 4533 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E )  +  (
# `  F )
) )  |->  ( if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( E `  i ) ,  ( F `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) ) R if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) ) ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) )  |->  ( if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E ) ) ,  ( E `  i
) ,  ( F `
 ( i  -  ( # `  E ) ) ) ) R if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  G ) ) ,  ( G `  i
) ,  ( H `
 ( i  -  ( # `  G ) ) ) ) ) ) )
114105, 113eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E concat  F
)  oF R ( G concat  H ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E
)  +  ( # `  F ) ) ) 
|->  ( if ( i  e.  ( 0..^ (
# `  E )
) ,  ( E `
 i ) ,  ( F `  (
i  -  ( # `  E ) ) ) ) R if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) ) ) ) )
115 ovif12 6366 . . . 4  |-  ( if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( E `  i ) ,  ( F `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) ) R if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) ) )  =  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E ) ) ,  ( ( E `  i ) R ( G `  i ) ) ,  ( ( F `  ( i  -  ( # `  E
) ) ) R ( H `  (
i  -  ( # `  E ) ) ) ) )
116115mpteq2i 4530 . . 3  |-  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E
)  +  ( # `  F ) ) ) 
|->  ( if ( i  e.  ( 0..^ (
# `  E )
) ,  ( E `
 i ) ,  ( F `  (
i  -  ( # `  E ) ) ) ) R if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( G `  i ) ,  ( H `  ( i  -  ( # `
 E ) ) ) ) ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  E )  +  ( # `  F
) ) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) ,  ( ( E `  i
) R ( G `
 i ) ) ,  ( ( F `
 ( i  -  ( # `  E ) ) ) R ( H `  ( i  -  ( # `  E
) ) ) ) ) )
117114, 116syl6eq 2524 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E concat  F
)  oF R ( G concat  H ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  E
)  +  ( # `  F ) ) ) 
|->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  E ) ) ,  ( ( E `  i ) R ( G `  i ) ) ,  ( ( F `  ( i  -  ( # `  E
) ) ) R ( H `  (
i  -  ( # `  E ) ) ) ) ) ) )
11870, 86, 1173eqtr4rd 2519 1  |-  ( ph  ->  ( ( E concat  F
)  oF R ( G concat  H ) )  =  ( ( E  oF R G ) concat  ( F  oF R H ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   ifcif 3939    |-> cmpt 4505    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    oFcof 6523   Fincfn 7517   0cc0 9493    + caddc 9496    - cmin 9806   NN0cn0 10796   ZZcz 10865  ..^cfzo 11793   #chash 12374  Word cword 12501   concat cconcat 12503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-hash 12375  df-word 12509  df-concat 12511
This theorem is referenced by:  ofcccat  28249  ofs2  28252
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