Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashunlei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashunlei 13072
 Description: Get an upper bound on a concretely specified finite set. Induction step: union of two finite bounded sets. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hashunlei.c 𝐶 = (𝐴𝐵)
hashunlei.a (𝐴 ∈ Fin ∧ (#‘𝐴) ≤ 𝐾)
hashunlei.b (𝐵 ∈ Fin ∧ (#‘𝐵) ≤ 𝑀)
hashunlei.k 𝐾 ∈ ℕ0
hashunlei.m 𝑀 ∈ ℕ0
hashunlei.n (𝐾 + 𝑀) = 𝑁
Assertion
Ref Expression
hashunlei (𝐶 ∈ Fin ∧ (#‘𝐶) ≤ 𝑁)

Proof of Theorem hashunlei
StepHypRef Expression
1 hashunlei.c . . 3 𝐶 = (𝐴𝐵)
2 hashunlei.a . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin ∧ (#‘𝐴) ≤ 𝐾)
32simpli 473 . . . 4 𝐴 ∈ Fin
4 hashunlei.b . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin ∧ (#‘𝐵) ≤ 𝑀)
54simpli 473 . . . 4 𝐵 ∈ Fin
6 unfi 8112 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
73, 5, 6mp2an 704 . . 3 (𝐴𝐵) ∈ Fin
81, 7eqeltri 2684 . 2 𝐶 ∈ Fin
91fveq2i 6106 . . . 4 (#‘𝐶) = (#‘(𝐴𝐵))
10 hashun2 13033 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴𝐵)) ≤ ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))
113, 5, 10mp2an 704 . . . 4 (#‘(𝐴𝐵)) ≤ ((#‘𝐴) + (#‘𝐵))
129, 11eqbrtri 4604 . . 3 (#‘𝐶) ≤ ((#‘𝐴) + (#‘𝐵))
132simpri 477 . . . . 5 (#‘𝐴) ≤ 𝐾
144simpri 477 . . . . 5 (#‘𝐵) ≤ 𝑀
15 hashcl 13009 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
163, 15ax-mp 5 . . . . . . 7 (#‘𝐴) ∈ ℕ0
1716nn0rei 11180 . . . . . 6 (#‘𝐴) ∈ ℝ
18 hashcl 13009 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
195, 18ax-mp 5 . . . . . . 7 (#‘𝐵) ∈ ℕ0
2019nn0rei 11180 . . . . . 6 (#‘𝐵) ∈ ℝ
21 hashunlei.k . . . . . . 7 𝐾 ∈ ℕ0
2221nn0rei 11180 . . . . . 6 𝐾 ∈ ℝ
23 hashunlei.m . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℕ0
2423nn0rei 11180 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℝ
2517, 20, 22, 24le2addi 10470 . . . . 5 (((#‘𝐴) ≤ 𝐾 ∧ (#‘𝐵) ≤ 𝑀) → ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ≤ (𝐾 + 𝑀))
2613, 14, 25mp2an 704 . . . 4 ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ≤ (𝐾 + 𝑀)
27 hashunlei.n . . . 4 (𝐾 + 𝑀) = 𝑁
2826, 27breqtri 4608 . . 3 ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ≤ 𝑁
29 hashcl 13009 . . . . . 6 (𝐶 ∈ Fin → (#‘𝐶) ∈ ℕ0)
308, 29ax-mp 5 . . . . 5 (#‘𝐶) ∈ ℕ0
3130nn0rei 11180 . . . 4 (#‘𝐶) ∈ ℝ
3217, 20readdcli 9932 . . . 4 ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ∈ ℝ
3322, 24readdcli 9932 . . . . 5 (𝐾 + 𝑀) ∈ ℝ
3427, 33eqeltrri 2685 . . . 4 𝑁 ∈ ℝ
3531, 32, 34letri 10045 . . 3 (((#‘𝐶) ≤ ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ∧ ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ≤ 𝑁) → (#‘𝐶) ≤ 𝑁)
3612, 28, 35mp2an 704 . 2 (#‘𝐶) ≤ 𝑁
378, 36pm3.2i 470 1 (𝐶 ∈ Fin ∧ (#‘𝐶) ≤ 𝑁)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℝcr 9814   + caddc 9818   ≤ cle 9954  ℕ0cn0 11169  #chash 12979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980 This theorem is referenced by:  hashprlei  13107  hashtplei  13120  kur14lem8  30449
 Copyright terms: Public domain W3C validator