MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashunlei Structured version   Unicode version

Theorem hashunlei 12486
Description: Get an upper bound on a concretely specified finite set. Induction step: union of two finite bounded sets. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hashunlei.c  |-  C  =  ( A  u.  B
)
hashunlei.a  |-  ( A  e.  Fin  /\  ( # `
 A )  <_  K )
hashunlei.b  |-  ( B  e.  Fin  /\  ( # `
 B )  <_  M )
hashunlei.k  |-  K  e. 
NN0
hashunlei.m  |-  M  e. 
NN0
hashunlei.n  |-  ( K  +  M )  =  N
Assertion
Ref Expression
hashunlei  |-  ( C  e.  Fin  /\  ( # `
 C )  <_  N )

Proof of Theorem hashunlei
StepHypRef Expression
1 hashunlei.c . . 3  |-  C  =  ( A  u.  B
)
2 hashunlei.a . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  /\  ( # `
 A )  <_  K )
32simpli 458 . . . 4  |-  A  e. 
Fin
4 hashunlei.b . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  /\  ( # `
 B )  <_  M )
54simpli 458 . . . 4  |-  B  e. 
Fin
6 unfi 7805 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  u.  B
)  e.  Fin )
73, 5, 6mp2an 672 . . 3  |-  ( A  u.  B )  e. 
Fin
81, 7eqeltri 2541 . 2  |-  C  e. 
Fin
91fveq2i 5875 . . . 4  |-  ( # `  C )  =  (
# `  ( A  u.  B ) )
10 hashun2 12453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  <_  ( ( # `
 A )  +  ( # `  B
) ) )
113, 5, 10mp2an 672 . . . 4  |-  ( # `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( # `  A )  +  ( # `  B
) )
129, 11eqbrtri 4475 . . 3  |-  ( # `  C )  <_  (
( # `  A )  +  ( # `  B
) )
132simpri 462 . . . . 5  |-  ( # `  A )  <_  K
144simpri 462 . . . . 5  |-  ( # `  B )  <_  M
15 hashcl 12430 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
163, 15ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( # `  A )  e.  NN0
1716nn0rei 10827 . . . . . 6  |-  ( # `  A )  e.  RR
18 hashcl 12430 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
195, 18ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( # `  B )  e.  NN0
2019nn0rei 10827 . . . . . 6  |-  ( # `  B )  e.  RR
21 hashunlei.k . . . . . . 7  |-  K  e. 
NN0
2221nn0rei 10827 . . . . . 6  |-  K  e.  RR
23 hashunlei.m . . . . . . 7  |-  M  e. 
NN0
2423nn0rei 10827 . . . . . 6  |-  M  e.  RR
2517, 20, 22, 24le2addi 10137 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  A
)  <_  K  /\  ( # `  B )  <_  M )  -> 
( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  <_ 
( K  +  M
) )
2613, 14, 25mp2an 672 . . . 4  |-  ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) )  <_  ( K  +  M )
27 hashunlei.n . . . 4  |-  ( K  +  M )  =  N
2826, 27breqtri 4479 . . 3  |-  ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) )  <_  N
29 hashcl 12430 . . . . . 6  |-  ( C  e.  Fin  ->  ( # `
 C )  e. 
NN0 )
308, 29ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( # `  C )  e.  NN0
3130nn0rei 10827 . . . 4  |-  ( # `  C )  e.  RR
3217, 20readdcli 9626 . . . 4  |-  ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) )  e.  RR
3322, 24readdcli 9626 . . . . 5  |-  ( K  +  M )  e.  RR
3427, 33eqeltrri 2542 . . . 4  |-  N  e.  RR
3531, 32, 34letri 9730 . . 3  |-  ( ( ( # `  C
)  <_  ( ( # `
 A )  +  ( # `  B
) )  /\  (
( # `  A )  +  ( # `  B
) )  <_  N
)  ->  ( # `  C
)  <_  N )
3612, 28, 35mp2an 672 . 2  |-  ( # `  C )  <_  N
378, 36pm3.2i 455 1  |-  ( C  e.  Fin  /\  ( # `
 C )  <_  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    u. cun 3469   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   RRcr 9508    + caddc 9512    <_ cle 9646   NN0cn0 10816   #chash 12407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-hash 12408
This theorem is referenced by:  hashprlei  12517  hashtplei  12525  kur14lem8  28832
  Copyright terms: Public domain W3C validator