MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashunlei Structured version   Unicode version

Theorem hashunlei 12294
Description: Get an upper bound on a concretely specified finite set. Induction step: union of two finite bounded sets. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hashunlei.c  |-  C  =  ( A  u.  B
)
hashunlei.a  |-  ( A  e.  Fin  /\  ( # `
 A )  <_  K )
hashunlei.b  |-  ( B  e.  Fin  /\  ( # `
 B )  <_  M )
hashunlei.k  |-  K  e. 
NN0
hashunlei.m  |-  M  e. 
NN0
hashunlei.n  |-  ( K  +  M )  =  N
Assertion
Ref Expression
hashunlei  |-  ( C  e.  Fin  /\  ( # `
 C )  <_  N )

Proof of Theorem hashunlei
StepHypRef Expression
1 hashunlei.c . . 3  |-  C  =  ( A  u.  B
)
2 hashunlei.a . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  /\  ( # `
 A )  <_  K )
32simpli 458 . . . 4  |-  A  e. 
Fin
4 hashunlei.b . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  /\  ( # `
 B )  <_  M )
54simpli 458 . . . 4  |-  B  e. 
Fin
6 unfi 7691 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  u.  B
)  e.  Fin )
73, 5, 6mp2an 672 . . 3  |-  ( A  u.  B )  e. 
Fin
81, 7eqeltri 2538 . 2  |-  C  e. 
Fin
91fveq2i 5803 . . . 4  |-  ( # `  C )  =  (
# `  ( A  u.  B ) )
10 hashun2 12265 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  <_  ( ( # `
 A )  +  ( # `  B
) ) )
113, 5, 10mp2an 672 . . . 4  |-  ( # `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( # `  A )  +  ( # `  B
) )
129, 11eqbrtri 4420 . . 3  |-  ( # `  C )  <_  (
( # `  A )  +  ( # `  B
) )
132simpri 462 . . . . 5  |-  ( # `  A )  <_  K
144simpri 462 . . . . 5  |-  ( # `  B )  <_  M
15 hashcl 12244 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
163, 15ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( # `  A )  e.  NN0
1716nn0rei 10702 . . . . . 6  |-  ( # `  A )  e.  RR
18 hashcl 12244 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
195, 18ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( # `  B )  e.  NN0
2019nn0rei 10702 . . . . . 6  |-  ( # `  B )  e.  RR
21 hashunlei.k . . . . . . 7  |-  K  e. 
NN0
2221nn0rei 10702 . . . . . 6  |-  K  e.  RR
23 hashunlei.m . . . . . . 7  |-  M  e. 
NN0
2423nn0rei 10702 . . . . . 6  |-  M  e.  RR
2517, 20, 22, 24le2addi 10015 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  A
)  <_  K  /\  ( # `  B )  <_  M )  -> 
( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  <_ 
( K  +  M
) )
2613, 14, 25mp2an 672 . . . 4  |-  ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) )  <_  ( K  +  M )
27 hashunlei.n . . . 4  |-  ( K  +  M )  =  N
2826, 27breqtri 4424 . . 3  |-  ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) )  <_  N
29 hashcl 12244 . . . . . 6  |-  ( C  e.  Fin  ->  ( # `
 C )  e. 
NN0 )
308, 29ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( # `  C )  e.  NN0
3130nn0rei 10702 . . . 4  |-  ( # `  C )  e.  RR
3217, 20readdcli 9511 . . . 4  |-  ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) )  e.  RR
3322, 24readdcli 9511 . . . . 5  |-  ( K  +  M )  e.  RR
3427, 33eqeltrri 2539 . . . 4  |-  N  e.  RR
3531, 32, 34letri 9615 . . 3  |-  ( ( ( # `  C
)  <_  ( ( # `
 A )  +  ( # `  B
) )  /\  (
( # `  A )  +  ( # `  B
) )  <_  N
)  ->  ( # `  C
)  <_  N )
3612, 28, 35mp2an 672 . 2  |-  ( # `  C )  <_  N
378, 36pm3.2i 455 1  |-  ( C  e.  Fin  /\  ( # `
 C )  <_  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    u. cun 3435   class class class wbr 4401   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Fincfn 7421   RRcr 9393    + caddc 9397    <_ cle 9531   NN0cn0 10691   #chash 12221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-card 8221  df-cda 8449  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-hash 12222
This theorem is referenced by:  hashprlei  12296  hashtplei  12304  kur14lem8  27246
  Copyright terms: Public domain W3C validator