Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdgrfif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdgrfif 26426
 Description: The vertex degree function on graphs of finite size is a function from vertices to nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
vdgrfif ((𝑉𝑊𝐸 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) → (𝑉 VDeg 𝐸):𝑉⟶ℕ0)

Proof of Theorem vdgrfif
Dummy variables 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabfi 8070 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → {𝑥𝐴𝑢 ∈ (𝐸𝑥)} ∈ Fin)
2 hashcl 13009 . . . . . . . . 9 ({𝑥𝐴𝑢 ∈ (𝐸𝑥)} ∈ Fin → (#‘{𝑥𝐴𝑢 ∈ (𝐸𝑥)}) ∈ ℕ0)
3 nn0re 11178 . . . . . . . . 9 ((#‘{𝑥𝐴𝑢 ∈ (𝐸𝑥)}) ∈ ℕ0 → (#‘{𝑥𝐴𝑢 ∈ (𝐸𝑥)}) ∈ ℝ)
41, 2, 33syl 18 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → (#‘{𝑥𝐴𝑢 ∈ (𝐸𝑥)}) ∈ ℝ)
5 rabfi 8070 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → {𝑥𝐴 ∣ (𝐸𝑥) = {𝑢}} ∈ Fin)
6 hashcl 13009 . . . . . . . . 9 ({𝑥𝐴 ∣ (𝐸𝑥) = {𝑢}} ∈ Fin → (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐸𝑥) = {𝑢}}) ∈ ℕ0)
7 nn0re 11178 . . . . . . . . 9 ((#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐸𝑥) = {𝑢}}) ∈ ℕ0 → (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐸𝑥) = {𝑢}}) ∈ ℝ)
85, 6, 73syl 18 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐸𝑥) = {𝑢}}) ∈ ℝ)
94, 8jca 553 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘{𝑥𝐴𝑢 ∈ (𝐸𝑥)}) ∈ ℝ ∧ (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐸𝑥) = {𝑢}}) ∈ ℝ))
1093ad2ant3 1077 . . . . . 6 ((𝑉𝑊𝐸 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) → ((#‘{𝑥𝐴𝑢 ∈ (𝐸𝑥)}) ∈ ℝ ∧ (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐸𝑥) = {𝑢}}) ∈ ℝ))
1110adantr 480 . . . . 5 (((𝑉𝑊𝐸 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑢𝑉) → ((#‘{𝑥𝐴𝑢 ∈ (𝐸𝑥)}) ∈ ℝ ∧ (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐸𝑥) = {𝑢}}) ∈ ℝ))
12 rexadd 11937 . . . . 5 (((#‘{𝑥𝐴𝑢 ∈ (𝐸𝑥)}) ∈ ℝ ∧ (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐸𝑥) = {𝑢}}) ∈ ℝ) → ((#‘{𝑥𝐴𝑢 ∈ (𝐸𝑥)}) +𝑒 (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐸𝑥) = {𝑢}})) = ((#‘{𝑥𝐴𝑢 ∈ (𝐸𝑥)}) + (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐸𝑥) = {𝑢}})))
1311, 12syl 17 . . . 4 (((𝑉𝑊𝐸 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑢𝑉) → ((#‘{𝑥𝐴𝑢 ∈ (𝐸𝑥)}) +𝑒 (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐸𝑥) = {𝑢}})) = ((#‘{𝑥𝐴𝑢 ∈ (𝐸𝑥)}) + (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐸𝑥) = {𝑢}})))
14 simpl3 1059 . . . . . 6 (((𝑉𝑊𝐸 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑢𝑉) → 𝐴 ∈ Fin)
1514, 1, 23syl 18 . . . . 5 (((𝑉𝑊𝐸 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑢𝑉) → (#‘{𝑥𝐴𝑢 ∈ (𝐸𝑥)}) ∈ ℕ0)
1614, 5, 63syl 18 . . . . 5 (((𝑉𝑊𝐸 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑢𝑉) → (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐸𝑥) = {𝑢}}) ∈ ℕ0)
1715, 16nn0addcld 11232 . . . 4 (((𝑉𝑊𝐸 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑢𝑉) → ((#‘{𝑥𝐴𝑢 ∈ (𝐸𝑥)}) + (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐸𝑥) = {𝑢}})) ∈ ℕ0)
1813, 17eqeltrd 2688 . . 3 (((𝑉𝑊𝐸 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑢𝑉) → ((#‘{𝑥𝐴𝑢 ∈ (𝐸𝑥)}) +𝑒 (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐸𝑥) = {𝑢}})) ∈ ℕ0)
19 eqid 2610 . . 3 (𝑢𝑉 ↦ ((#‘{𝑥𝐴𝑢 ∈ (𝐸𝑥)}) +𝑒 (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐸𝑥) = {𝑢}}))) = (𝑢𝑉 ↦ ((#‘{𝑥𝐴𝑢 ∈ (𝐸𝑥)}) +𝑒 (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐸𝑥) = {𝑢}})))
2018, 19fmptd 6292 . 2 ((𝑉𝑊𝐸 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) → (𝑢𝑉 ↦ ((#‘{𝑥𝐴𝑢 ∈ (𝐸𝑥)}) +𝑒 (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐸𝑥) = {𝑢}}))):𝑉⟶ℕ0)
21 vdgrfval 26422 . . 3 ((𝑉𝑊𝐸 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) → (𝑉 VDeg 𝐸) = (𝑢𝑉 ↦ ((#‘{𝑥𝐴𝑢 ∈ (𝐸𝑥)}) +𝑒 (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐸𝑥) = {𝑢}}))))
2221feq1d 5943 . 2 ((𝑉𝑊𝐸 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) → ((𝑉 VDeg 𝐸):𝑉⟶ℕ0 ↔ (𝑢𝑉 ↦ ((#‘{𝑥𝐴𝑢 ∈ (𝐸𝑥)}) +𝑒 (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐸𝑥) = {𝑢}}))):𝑉⟶ℕ0))
2320, 22mpbird 246 1 ((𝑉𝑊𝐸 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) → (𝑉 VDeg 𝐸):𝑉⟶ℕ0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  {csn 4125   ↦ cmpt 4643   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℝcr 9814   + caddc 9818  ℕ0cn0 11169   +𝑒 cxad 11820  #chash 12979   VDeg cvdg 26420 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-hash 12980  df-vdgr 26421 This theorem is referenced by:  usgfidegfi  26437  eupath2lem3  26506  vdegp1ai  26511
 Copyright terms: Public domain W3C validator