Theorem vdegp1ai 26511

Description: The induction step for a vertex degree calculation. If the degree of 𝑈 in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {𝑋, 𝑌} to the edge set, where 𝑋 ≠ 𝑈 ≠ 𝑌, yields degree 𝑃 as well. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdeg0i.v	⊢ 𝑉 ∈ V
vdegp1ai.1	⊢ (⊤ → 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
vdegp1ai.u	⊢ 𝑈 ∈ 𝑉
vdegp1ai.2	⊢ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑈) = 𝑃
vdegp1ai.3	⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
vdegp1ai.4	⊢ 𝑋 ≠ 𝑈
vdegp1ai.5	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
vdegp1ai.6	⊢ 𝑌 ≠ 𝑈
vdegp1ai.f	⊢ 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩)

Assertion

Ref	Expression
vdegp1ai	⊢ ((𝑉 VDeg 𝐹)‘𝑈) = 𝑃

Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem vdegp1ai

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdegp1ai.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩)
2		vdegp1ai.1	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
3	2	trud 1484	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}
4		vdeg0i.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
5		vdegp1ai.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
6		vdegp1ai.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
7	4, 5, 6	umgrabi 26510	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → {𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
8	7	trud 1484	. . . . . 6 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}
9		cats1un 13327	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}) → (𝐸 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩) = (𝐸 ∪ {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩}))
10	3, 8, 9	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩) = (𝐸 ∪ {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩})
11	1, 10	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝐸 ∪ {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩})
12	11	oveq2i 6560	. . 3 ⊢ (𝑉 VDeg 𝐹) = (𝑉 VDeg (𝐸 ∪ {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩}))
13	12	fveq1i 6104	. 2 ⊢ ((𝑉 VDeg 𝐹)‘𝑈) = ((𝑉 VDeg (𝐸 ∪ {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩}))‘𝑈)
14		wrdf 13165	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → 𝐸:(0..^(#‘𝐸))⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
15		ffn 5958	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸:(0..^(#‘𝐸))⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → 𝐸 Fn (0..^(#‘𝐸)))
16	3, 14, 15	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 Fn (0..^(#‘𝐸))
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐸 Fn (0..^(#‘𝐸)))
18		fvex 6113	. . . . . . 7 ⊢ (#‘𝐸) ∈ V
19		prex 4836	. . . . . . 7 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ V
20	18, 19	f1osn 6088	. . . . . 6 ⊢ {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩}:{(#‘𝐸)}–1-1-onto→{{𝑋, 𝑌}}
21		f1ofn 6051	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩}:{(#‘𝐸)}–1-1-onto→{{𝑋, 𝑌}} → {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩} Fn {(#‘𝐸)})
22	20, 21	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (⊤ → {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩} Fn {(#‘𝐸)})
23		fzofi 12635	. . . . . 6 ⊢ (0..^(#‘𝐸)) ∈ Fin
24	23	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (0..^(#‘𝐸)) ∈ Fin)
25		snfi 7923	. . . . . 6 ⊢ {(#‘𝐸)} ∈ Fin
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → {(#‘𝐸)} ∈ Fin)
27		fzonel 12352	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (#‘𝐸) ∈ (0..^(#‘𝐸))
28		disjsn 4192	. . . . . . 7 ⊢ (((0..^(#‘𝐸)) ∩ {(#‘𝐸)}) = ∅ ↔ ¬ (#‘𝐸) ∈ (0..^(#‘𝐸)))
29	27, 28	mpbir 220	. . . . . 6 ⊢ ((0..^(#‘𝐸)) ∩ {(#‘𝐸)}) = ∅
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((0..^(#‘𝐸)) ∩ {(#‘𝐸)}) = ∅)
31		wrdumgra 25845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}) → (𝑉 UMGrph 𝐸 ↔ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}))
32	4, 3, 31	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 UMGrph 𝐸 ↔ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
33	2, 32	sylibr 223	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝑉 UMGrph 𝐸)
34		umgra1 25855	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝐸) ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑉 UMGrph {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩})
35	4, 18, 5, 6, 34	mp4an 705	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 UMGrph {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩}
36	35	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝑉 UMGrph {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩})
37		vdegp1ai.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ 𝑉
38	37	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝑈 ∈ 𝑉)
39	17, 22, 24, 26, 30, 33, 36, 38	vdgrfiun 26429	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((𝑉 VDeg (𝐸 ∪ {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩}))‘𝑈) = (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑈) + ((𝑉 VDeg {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩})‘𝑈)))
40	39	trud 1484	. . 3 ⊢ ((𝑉 VDeg (𝐸 ∪ {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩}))‘𝑈) = (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑈) + ((𝑉 VDeg {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩})‘𝑈))
41	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝑉 ∈ V)
42	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (#‘𝐸) ∈ V)
43	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝑋 ∈ 𝑉)
44		vdegp1ai.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ≠ 𝑈
45	44	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝑋 ≠ 𝑈)
46	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝑌 ∈ 𝑉)
47		vdegp1ai.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 ≠ 𝑈
48	47	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝑌 ≠ 𝑈)
49	41, 42, 38, 43, 45, 46, 48	vdgr1a 26433	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝑉 VDeg {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩})‘𝑈) = 0)
50	49	trud 1484	. . . 4 ⊢ ((𝑉 VDeg {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩})‘𝑈) = 0
51	50	oveq2i 6560	. . 3 ⊢ (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑈) + ((𝑉 VDeg {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩})‘𝑈)) = (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑈) + 0)
52		vdgrfif 26426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 Fn (0..^(#‘𝐸)) ∧ (0..^(#‘𝐸)) ∈ Fin) → (𝑉 VDeg 𝐸):𝑉⟶ℕ0)
53	4, 16, 23, 52	mp3an 1416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 VDeg 𝐸):𝑉⟶ℕ0
54	53	ffvelrni 6266	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑈) ∈ ℕ0)
55	37, 54	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑈) ∈ ℕ0
56	55	nn0cni 11181	. . . 4 ⊢ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑈) ∈ ℂ
57	56	addid1i 10102	. . 3 ⊢ (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑈) + 0) = ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑈)
58	40, 51, 57	3eqtri 2636	. 2 ⊢ ((𝑉 VDeg (𝐸 ∪ {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩}))‘𝑈) = ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑈)
59		vdegp1ai.2	. 2 ⊢ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑈) = 𝑃
60	13, 58, 59	3eqtri 2636	1 ⊢ ((𝑉 VDeg 𝐹)‘𝑈) = 𝑃

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  0cc0 9815   + caddc 9818   ≤ cle 9954  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148  ⟨“cs1 13149   UMGrph cumg 25841   VDeg cvdg 26420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-umgra 25842  df-vdgr 26421

This theorem is referenced by:  konigsberg  26514