Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdegp1ai Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdegp1ai 26511
 Description: The induction step for a vertex degree calculation. If the degree of 𝑈 in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {𝑋, 𝑌} to the edge set, where 𝑋 ≠ 𝑈 ≠ 𝑌, yields degree 𝑃 as well. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
vdeg0i.v 𝑉 ∈ V
vdegp1ai.1 (⊤ → 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
vdegp1ai.u 𝑈𝑉
vdegp1ai.2 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑈) = 𝑃
vdegp1ai.3 𝑋𝑉
vdegp1ai.4 𝑋𝑈
vdegp1ai.5 𝑌𝑉
vdegp1ai.6 𝑌𝑈
vdegp1ai.f 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩)
Assertion
Ref Expression
vdegp1ai ((𝑉 VDeg 𝐹)‘𝑈) = 𝑃
Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem vdegp1ai
StepHypRef Expression
1 vdegp1ai.f . . . . 5 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩)
2 vdegp1ai.1 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
32trud 1484 . . . . . 6 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}
4 vdeg0i.v . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
5 vdegp1ai.3 . . . . . . . 8 𝑋𝑉
6 vdegp1ai.5 . . . . . . . 8 𝑌𝑉
74, 5, 6umgrabi 26510 . . . . . . 7 (⊤ → {𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
87trud 1484 . . . . . 6 {𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}
9 cats1un 13327 . . . . . 6 ((𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}) → (𝐸 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩) = (𝐸 ∪ {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩}))
103, 8, 9mp2an 704 . . . . 5 (𝐸 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩) = (𝐸 ∪ {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩})
111, 10eqtri 2632 . . . 4 𝐹 = (𝐸 ∪ {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩})
1211oveq2i 6560 . . 3 (𝑉 VDeg 𝐹) = (𝑉 VDeg (𝐸 ∪ {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩}))
1312fveq1i 6104 . 2 ((𝑉 VDeg 𝐹)‘𝑈) = ((𝑉 VDeg (𝐸 ∪ {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩}))‘𝑈)
14 wrdf 13165 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → 𝐸:(0..^(#‘𝐸))⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
15 ffn 5958 . . . . . . 7 (𝐸:(0..^(#‘𝐸))⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → 𝐸 Fn (0..^(#‘𝐸)))
163, 14, 15mp2b 10 . . . . . 6 𝐸 Fn (0..^(#‘𝐸))
1716a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐸 Fn (0..^(#‘𝐸)))
18 fvex 6113 . . . . . . 7 (#‘𝐸) ∈ V
19 prex 4836 . . . . . . 7 {𝑋, 𝑌} ∈ V
2018, 19f1osn 6088 . . . . . 6 {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩}:{(#‘𝐸)}–1-1-onto→{{𝑋, 𝑌}}
21 f1ofn 6051 . . . . . 6 ({⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩}:{(#‘𝐸)}–1-1-onto→{{𝑋, 𝑌}} → {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩} Fn {(#‘𝐸)})
2220, 21mp1i 13 . . . . 5 (⊤ → {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩} Fn {(#‘𝐸)})
23 fzofi 12635 . . . . . 6 (0..^(#‘𝐸)) ∈ Fin
2423a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (0..^(#‘𝐸)) ∈ Fin)
25 snfi 7923 . . . . . 6 {(#‘𝐸)} ∈ Fin
2625a1i 11 . . . . 5 (⊤ → {(#‘𝐸)} ∈ Fin)
27 fzonel 12352 . . . . . . 7 ¬ (#‘𝐸) ∈ (0..^(#‘𝐸))
28 disjsn 4192 . . . . . . 7 (((0..^(#‘𝐸)) ∩ {(#‘𝐸)}) = ∅ ↔ ¬ (#‘𝐸) ∈ (0..^(#‘𝐸)))
2927, 28mpbir 220 . . . . . 6 ((0..^(#‘𝐸)) ∩ {(#‘𝐸)}) = ∅
3029a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ((0..^(#‘𝐸)) ∩ {(#‘𝐸)}) = ∅)
31 wrdumgra 25845 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}) → (𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}))
324, 3, 31mp2an 704 . . . . . 6 (𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
332, 32sylibr 223 . . . . 5 (⊤ → 𝑉 UMGrph 𝐸)
34 umgra1 25855 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝐸) ∈ V) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑉 UMGrph {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩})
354, 18, 5, 6, 34mp4an 705 . . . . . 6 𝑉 UMGrph {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩}
3635a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝑉 UMGrph {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩})
37 vdegp1ai.u . . . . . 6 𝑈𝑉
3837a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝑈𝑉)
3917, 22, 24, 26, 30, 33, 36, 38vdgrfiun 26429 . . . 4 (⊤ → ((𝑉 VDeg (𝐸 ∪ {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩}))‘𝑈) = (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑈) + ((𝑉 VDeg {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩})‘𝑈)))
4039trud 1484 . . 3 ((𝑉 VDeg (𝐸 ∪ {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩}))‘𝑈) = (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑈) + ((𝑉 VDeg {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩})‘𝑈))
414a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝑉 ∈ V)
4218a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (#‘𝐸) ∈ V)
435a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝑋𝑉)
44 vdegp1ai.4 . . . . . . 7 𝑋𝑈
4544a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝑋𝑈)
466a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝑌𝑉)
47 vdegp1ai.6 . . . . . . 7 𝑌𝑈
4847a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝑌𝑈)
4941, 42, 38, 43, 45, 46, 48vdgr1a 26433 . . . . 5 (⊤ → ((𝑉 VDeg {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩})‘𝑈) = 0)
5049trud 1484 . . . 4 ((𝑉 VDeg {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩})‘𝑈) = 0
5150oveq2i 6560 . . 3 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑈) + ((𝑉 VDeg {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩})‘𝑈)) = (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑈) + 0)
52 vdgrfif 26426 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 Fn (0..^(#‘𝐸)) ∧ (0..^(#‘𝐸)) ∈ Fin) → (𝑉 VDeg 𝐸):𝑉⟶ℕ0)
534, 16, 23, 52mp3an 1416 . . . . . . 7 (𝑉 VDeg 𝐸):𝑉⟶ℕ0
5453ffvelrni 6266 . . . . . 6 (𝑈𝑉 → ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑈) ∈ ℕ0)
5537, 54ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑈) ∈ ℕ0
5655nn0cni 11181 . . . 4 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑈) ∈ ℂ
5756addid1i 10102 . . 3 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑈) + 0) = ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑈)
5840, 51, 573eqtri 2636 . 2 ((𝑉 VDeg (𝐸 ∪ {⟨(#‘𝐸), {𝑋, 𝑌}⟩}))‘𝑈) = ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑈)
59 vdegp1ai.2 . 2 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑈) = 𝑃
6013, 58, 593eqtri 2636 1 ((𝑉 VDeg 𝐹)‘𝑈) = 𝑃
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  0cc0 9815   + caddc 9818   ≤ cle 9954  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148  ⟨“cs1 13149   UMGrph cumg 25841   VDeg cvdg 26420 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-umgra 25842  df-vdgr 26421 This theorem is referenced by:  konigsberg  26514
 Copyright terms: Public domain W3C validator