Theorem mule1 24674

Description: The Möbius function takes on values in magnitude at most 1. (Together with mucl 24667, this implies that it takes a value in {-1, 0, 1} for every positive integer.) (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mule1	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)

Proof of Theorem mule1

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muval 24658	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
2		iftrue 4042	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = 0)
3	1, 2	sylan9eq 2664	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = 0)
4	3	fveq2d 6107	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) = (abs‘0))
5		abs0 13873	. . . 4 ⊢ (abs‘0) = 0
6		0le1 10430	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
7	5, 6	eqbrtri 4604	. . 3 ⊢ (abs‘0) ≤ 1
8	4, 7	syl6eqbr 4622	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)
9		iffalse 4045	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
10	1, 9	sylan9eq 2664	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
11	10	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) = (abs‘(-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
12		neg1cn 11001	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
13		prmdvdsfi 24633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
14		hashcl 13009	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin → (#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℕ0)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℕ0)
16		absexp 13892	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ (#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℕ0) → (abs‘(-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = ((abs‘-1)↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
17	12, 15, 16	sylancr 694	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = ((abs‘-1)↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
18		ax-1cn 9873	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
19	18	absnegi 13987	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
20		abs1 13885	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘1) = 1
21	19, 20	eqtri 2632	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘-1) = 1
22	21	oveq1i 6559	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘-1)↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) = (1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))
23	15	nn0zd 11356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℤ)
24		1exp 12751	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℤ → (1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) = 1)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) = 1)
26	22, 25	syl5eq 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((abs‘-1)↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) = 1)
27	17, 26	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = 1)
28	27	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = 1)
29	11, 28	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) = 1)
30		1le1 10534	. . 3 ⊢ 1 ≤ 1
31	29, 30	syl6eqbr 4622	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)
32	8, 31	pm2.61dan 828	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  {crab 2900  ifcif 4036   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   ≤ cle 9954  -cneg 10146  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ↑cexp 12722  #chash 12979  abscabs 13822   ∥ cdvds 14821  ℙcprime 15223  μcmu 24621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-prm 15224  df-mu 24627

This theorem is referenced by:  dchrmusum2  24983  dchrvmasumlem3  24988  mudivsum  25019  mulogsumlem  25020  mulog2sumlem2  25024  selberglem2  25035