Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashge2el2dif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashge2el2dif 13117
 Description: A set with size at least 2 has at least 2 different elements. (Contributed by AV, 18-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
hashge2el2dif ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem hashge2el2dif
StepHypRef Expression
1 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝐷 = {𝑥} → (#‘𝐷) = (#‘{𝑥}))
2 hashsng 13020 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (#‘{𝑥}) = 1)
31, 2sylan9eqr 2666 . . . . . 6 ((𝑥𝐷𝐷 = {𝑥}) → (#‘𝐷) = 1)
43ralimiaa 2935 . . . . 5 (∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥} → ∀𝑥𝐷 (#‘𝐷) = 1)
5 0re 9919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
6 1re 9918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
75, 6readdcli 9932 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (0 + 1) ∈ ℝ)
9 2re 10967 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → 2 ∈ ℝ)
11 hashcl 13009 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∈ Fin → (#‘𝐷) ∈ ℕ0)
1211nn0red 11229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ Fin → (#‘𝐷) ∈ ℝ)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (#‘𝐷) ∈ ℝ)
148, 10, 133jca 1235 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → ((0 + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℝ))
15 0p1e1 11009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 + 1) = 1
16 1lt2 11071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 2
1715, 16eqbrtri 4604 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + 1) < 2
1817jctl 562 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ≤ (#‘𝐷) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)))
1918adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)))
2019adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)))
21 ltleletr 10009 . . . . . . . . . . . . 13 (((0 + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℝ) → (((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (0 + 1) ≤ (#‘𝐷)))
2214, 20, 21sylc 63 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (0 + 1) ≤ (#‘𝐷))
2311nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ Fin → (#‘𝐷) ∈ ℤ)
24 0z 11265 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℤ
2523, 24jctil 558 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ Fin → (0 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℤ))
2625adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (0 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℤ))
27 zltp1le 11304 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℤ) → (0 < (#‘𝐷) ↔ (0 + 1) ≤ (#‘𝐷)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (0 < (#‘𝐷) ↔ (0 + 1) ≤ (#‘𝐷)))
2922, 28mpbird 246 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → 0 < (#‘𝐷))
30 0ltpnf 11832 . . . . . . . . . . . 12 0 < +∞
31 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → 𝐷𝑉)
3231anim2i 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐷𝑉))
3332ancomd 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (𝐷𝑉 ∧ ¬ 𝐷 ∈ Fin))
34 hashinf 12984 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷𝑉 ∧ ¬ 𝐷 ∈ Fin) → (#‘𝐷) = +∞)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (#‘𝐷) = +∞)
3630, 35syl5breqr 4621 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → 0 < (#‘𝐷))
3729, 36pm2.61ian 827 . . . . . . . . . 10 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → 0 < (#‘𝐷))
38 hashgt0n0 13017 . . . . . . . . . 10 ((𝐷𝑉 ∧ 0 < (#‘𝐷)) → 𝐷 ≠ ∅)
3937, 38syldan 486 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → 𝐷 ≠ ∅)
40 rspn0 3892 . . . . . . . . 9 (𝐷 ≠ ∅ → (∀𝑥𝐷 (#‘𝐷) = 1 → (#‘𝐷) = 1))
4139, 40syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (∀𝑥𝐷 (#‘𝐷) = 1 → (#‘𝐷) = 1))
4241imp 444 . . . . . . 7 (((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) ∧ ∀𝑥𝐷 (#‘𝐷) = 1) → (#‘𝐷) = 1)
43 breq2 4587 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐷) = 1 → (2 ≤ (#‘𝐷) ↔ 2 ≤ 1))
446, 9ltnlei 10037 . . . . . . . . . . . . 13 (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
45 pm2.21 119 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 2 ≤ 1 → (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
4644, 45sylbi 206 . . . . . . . . . . . 12 (1 < 2 → (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
4716, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥})
4843, 47syl6bi 242 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐷) = 1 → (2 ≤ (#‘𝐷) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
4948com12 32 . . . . . . . . 9 (2 ≤ (#‘𝐷) → ((#‘𝐷) = 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
5049adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ((#‘𝐷) = 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
5150adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) ∧ ∀𝑥𝐷 (#‘𝐷) = 1) → ((#‘𝐷) = 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
5242, 51mpd 15 . . . . . 6 (((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) ∧ ∀𝑥𝐷 (#‘𝐷) = 1) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥})
5352expcom 450 . . . . 5 (∀𝑥𝐷 (#‘𝐷) = 1 → ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
544, 53syl 17 . . . 4 (∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥} → ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
55 ax-1 6 . . . 4 (¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥} → ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
5654, 55pm2.61i 175 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥})
57 eqsn 4301 . . . . . 6 (𝐷 ≠ ∅ → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦𝐷 𝑦 = 𝑥))
5839, 57syl 17 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦𝐷 𝑦 = 𝑥))
59 equcom 1932 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦)
6059a1i 11 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦))
6160ralbidv 2969 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (∀𝑦𝐷 𝑦 = 𝑥 ↔ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦))
6258, 61bitrd 267 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦))
6362ralbidv 2969 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦))
6456, 63mtbid 313 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
65 df-ne 2782 . . . . . 6 (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
6665rexbii 3023 . . . . 5 (∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦𝐷 ¬ 𝑥 = 𝑦)
67 rexnal 2978 . . . . 5 (∃𝑦𝐷 ¬ 𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
6866, 67bitri 263 . . . 4 (∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
6968rexbii 3023 . . 3 (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑥𝐷 ¬ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
70 rexnal 2978 . . 3 (∃𝑥𝐷 ¬ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
7169, 70bitri 263 . 2 (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
7264, 71sylibr 223 1 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  +∞cpnf 9950   < clt 9953   ≤ cle 9954  2c2 10947  ℤcz 11254  #chash 12979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980 This theorem is referenced by:  hashge2el2difb  13119  fundmge2nop0  13129  tglowdim1  25195
 Copyright terms: Public domain W3C validator