Theorem hashge2el2dif 13117

Description: A set with size at least 2 has at least 2 different elements. (Contributed by AV, 18-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
hashge2el2dif	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem hashge2el2dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = {𝑥} → (#‘𝐷) = (#‘{𝑥}))
2		hashsng 13020	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (#‘{𝑥}) = 1)
3	1, 2	sylan9eqr 2666	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝐷 = {𝑥}) → (#‘𝐷) = 1)
4	3	ralimiaa 2935	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥} → ∀𝑥 ∈ 𝐷 (#‘𝐷) = 1)
5		0re 9919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		1re 9918	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℝ
7	5, 6	readdcli 9932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + 1) ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (0 + 1) ∈ ℝ)
9		2re 10967	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → 2 ∈ ℝ)
11		hashcl 13009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (#‘𝐷) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 11229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (#‘𝐷) ∈ ℝ)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (#‘𝐷) ∈ ℝ)
14	8, 10, 13	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → ((0 + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℝ))
15		0p1e1 11009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 + 1) = 1
16		1lt2 11071	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 2
17	15, 16	eqbrtri 4604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 + 1) < 2
18	17	jctl 562	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ≤ (#‘𝐷) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)))
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)))
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)))
21		ltleletr 10009	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((0 + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℝ) → (((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (0 + 1) ≤ (#‘𝐷)))
22	14, 20, 21	sylc 63	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (0 + 1) ≤ (#‘𝐷))
23	11	nn0zd 11356	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (#‘𝐷) ∈ ℤ)
24		0z 11265	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℤ
25	23, 24	jctil 558	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (0 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℤ))
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (0 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℤ))
27		zltp1le 11304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℤ) → (0 < (#‘𝐷) ↔ (0 + 1) ≤ (#‘𝐷)))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (0 < (#‘𝐷) ↔ (0 + 1) ≤ (#‘𝐷)))
29	22, 28	mpbird 246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → 0 < (#‘𝐷))
30		0ltpnf 11832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < +∞
31		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
32	31	anim2i 591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐷 ∈ 𝑉))
33	32	ancomd 466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐷 ∈ Fin))
34		hashinf 12984	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐷 ∈ Fin) → (#‘𝐷) = +∞)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (#‘𝐷) = +∞)
36	30, 35	syl5breqr 4621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → 0 < (#‘𝐷))
37	29, 36	pm2.61ian 827	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → 0 < (#‘𝐷))
38		hashgt0n0 13017	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 0 < (#‘𝐷)) → 𝐷 ≠ ∅)
39	37, 38	syldan 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → 𝐷 ≠ ∅)
40		rspn0 3892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐷 (#‘𝐷) = 1 → (#‘𝐷) = 1))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (∀𝑥 ∈ 𝐷 (#‘𝐷) = 1 → (#‘𝐷) = 1))
42	41	imp 444	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 (#‘𝐷) = 1) → (#‘𝐷) = 1)
43		breq2 4587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝐷) = 1 → (2 ≤ (#‘𝐷) ↔ 2 ≤ 1))
44	6, 9	ltnlei 10037	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
45		pm2.21 119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 2 ≤ 1 → (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
46	44, 45	sylbi 206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 < 2 → (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
47	16, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥})
48	43, 47	syl6bi 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝐷) = 1 → (2 ≤ (#‘𝐷) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
49	48	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ≤ (#‘𝐷) → ((#‘𝐷) = 1 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
50	49	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ((#‘𝐷) = 1 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
51	50	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 (#‘𝐷) = 1) → ((#‘𝐷) = 1 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
52	42, 51	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 (#‘𝐷) = 1) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥})
53	52	expcom 450	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐷 (#‘𝐷) = 1 → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
54	4, 53	syl 17	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥} → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
55		ax-1 6	. . . 4 ⊢ (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥} → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
56	54, 55	pm2.61i 175	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥})
57		eqsn 4301	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ≠ ∅ → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 = 𝑥))
58	39, 57	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 = 𝑥))
59		equcom 1932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑦)
60	59	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑦))
61	60	ralbidv 2969	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 = 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦))
62	58, 61	bitrd 267	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦))
63	62	ralbidv 2969	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦))
64	56, 63	mtbid 313	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
65		df-ne 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
66	65	rexbii 3023	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 ¬ 𝑥 = 𝑦)
67		rexnal 2978	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐷 ¬ 𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
68	66, 67	bitri 263	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
69	68	rexbii 3023	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐷 ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
70		rexnal 2978	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐷 ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
71	69, 70	bitri 263	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
72	64, 71	sylibr 223	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  +∞cpnf 9950   < clt 9953   ≤ cle 9954  2c2 10947  ℤcz 11254  #chash 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980

This theorem is referenced by:  hashge2el2difb  13119  fundmge2nop0  13129  tglowdim1  25195