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Theorem hashge2el2dif 12305
Description: A set with size at least 2 has at least 2 different elements. (Contributed by AV, 18-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
hashge2el2dif  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  E. x  e.  D  E. y  e.  D  x  =/=  y )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, V, y

Proof of Theorem hashge2el2dif
StepHypRef Expression
1 fveq2 5802 . . . . . . 7  |-  ( D  =  { x }  ->  ( # `  D
)  =  ( # `  { x } ) )
2 hashsng 12256 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  ( # `
 { x }
)  =  1 )
31, 2sylan9eqr 2517 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  D  /\  D  =  { x } )  ->  ( # `
 D )  =  1 )
43ralimiaa 2818 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  D  D  =  { x }  ->  A. x  e.  D  (
# `  D )  =  1 )
5 0re 9500 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
6 1re 9499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR
75, 6readdcli 9513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  +  1 )  e.  RR
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  ( 0  +  1 )  e.  RR )
9 2re 10505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  2  e.  RR )
11 hashcl 12246 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( # `
 D )  e. 
NN0 )
1211nn0red 10751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( # `
 D )  e.  RR )
1312adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  ( # `  D
)  e.  RR )
148, 10, 133jca 1168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  ( ( 0  +  1 )  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( # `  D )  e.  RR ) )
15 0p1e1 10547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  +  1 )  =  1
16 1lt2 10602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  <  2
1715, 16eqbrtri 4422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  +  1 )  <  2
1817jctl 541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  <_  ( # `  D
)  ->  ( (
0  +  1 )  <  2  /\  2  <_  ( # `  D
) ) )
1918adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  (
( 0  +  1 )  <  2  /\  2  <_  ( # `  D
) ) )
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  ( ( 0  +  1 )  <  2  /\  2  <_ 
( # `  D ) ) )
21 ltleletr 9581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 0  +  1 )  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( # `
 D )  e.  RR )  ->  (
( ( 0  +  1 )  <  2  /\  2  <_  ( # `  D ) )  -> 
( 0  +  1 )  <_  ( # `  D
) ) )
2214, 20, 21sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  ( 0  +  1 )  <_  ( # `
 D ) )
2311nn0zd 10859 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( # `
 D )  e.  ZZ )
24 0z 10771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  ZZ
2523, 24jctil 537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  Fin  ->  (
0  e.  ZZ  /\  ( # `  D )  e.  ZZ ) )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  ( 0  e.  ZZ  /\  ( # `  D )  e.  ZZ ) )
27 zltp1le 10808 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( # `  D )  e.  ZZ )  -> 
( 0  <  ( # `
 D )  <->  ( 0  +  1 )  <_ 
( # `  D ) ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  ( 0  < 
( # `  D )  <-> 
( 0  +  1 )  <_  ( # `  D
) ) )
2922, 28mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  0  <  ( # `
 D ) )
30 0ltpnf 11217 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  < +oo
31 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  D  e.  V )
3231anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  ( -.  D  e.  Fin  /\  D  e.  V ) )
3332ancomd 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  ( D  e.  V  /\  -.  D  e.  Fin ) )
34 hashinf 12228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  V  /\  -.  D  e.  Fin )  ->  ( # `  D
)  = +oo )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  ( # `  D
)  = +oo )
3630, 35syl5breqr 4439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  0  <  ( # `
 D ) )
3729, 36pm2.61ian 788 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  0  <  ( # `  D
) )
38 hashgt0n0 12253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  V  /\  0  <  ( # `  D
) )  ->  D  =/=  (/) )
3937, 38syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  D  =/=  (/) )
40 rspn0 3760 . . . . . . . . 9  |-  ( D  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  D  ( # `
 D )  =  1  ->  ( # `  D
)  =  1 ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  ( A. x  e.  D  ( # `  D )  =  1  ->  ( # `
 D )  =  1 ) )
4241imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) )  /\  A. x  e.  D  (
# `  D )  =  1 )  -> 
( # `  D )  =  1 )
43 breq2 4407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  D )  =  1  ->  (
2  <_  ( # `  D
)  <->  2  <_  1
) )
446, 9ltnlei 9609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  <  2  <->  -.  2  <_  1 )
45 pm2.21 108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  2  <_  1  ->  ( 2  <_  1  ->  -. 
A. x  e.  D  D  =  { x } ) )
4644, 45sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  <  2  ->  (
2  <_  1  ->  -. 
A. x  e.  D  D  =  { x } ) )
4716, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  <_  1  ->  -.  A. x  e.  D  D  =  { x } )
4843, 47syl6bi 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  D )  =  1  ->  (
2  <_  ( # `  D
)  ->  -.  A. x  e.  D  D  =  { x } ) )
4948com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  <_  ( # `  D
)  ->  ( ( # `
 D )  =  1  ->  -.  A. x  e.  D  D  =  { x } ) )
5049adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  (
( # `  D )  =  1  ->  -.  A. x  e.  D  D  =  { x } ) )
5150adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) )  /\  A. x  e.  D  (
# `  D )  =  1 )  -> 
( ( # `  D
)  =  1  ->  -.  A. x  e.  D  D  =  { x } ) )
5242, 51mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) )  /\  A. x  e.  D  (
# `  D )  =  1 )  ->  -.  A. x  e.  D  D  =  { x } )
5352expcom 435 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  D  ( # `
 D )  =  1  ->  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  -.  A. x  e.  D  D  =  { x } ) )
544, 53syl 16 . . . 4  |-  ( A. x  e.  D  D  =  { x }  ->  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) )  ->  -.  A. x  e.  D  D  =  { x } ) )
55 ax-1 6 . . . 4  |-  ( -. 
A. x  e.  D  D  =  { x }  ->  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  -.  A. x  e.  D  D  =  { x } ) )
5654, 55pm2.61i 164 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  -.  A. x  e.  D  D  =  { x } )
57 eqsn 4145 . . . . . 6  |-  ( D  =/=  (/)  ->  ( D  =  { x }  <->  A. y  e.  D  y  =  x ) )
5839, 57syl 16 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  ( D  =  { x } 
<-> 
A. y  e.  D  y  =  x )
)
59 equcom 1734 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
6059a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  (
y  =  x  <->  x  =  y ) )
6160ralbidv 2846 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  ( A. y  e.  D  y  =  x  <->  A. y  e.  D  x  =  y ) )
6258, 61bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  ( D  =  { x } 
<-> 
A. y  e.  D  x  =  y )
)
6362ralbidv 2846 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  ( A. x  e.  D  D  =  { x } 
<-> 
A. x  e.  D  A. y  e.  D  x  =  y )
)
6456, 63mtbid 300 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  -.  A. x  e.  D  A. y  e.  D  x  =  y )
65 df-ne 2650 . . . . . 6  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
6665rexbii 2862 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  D  x  =/=  y  <->  E. y  e.  D  -.  x  =  y )
67 rexnal 2854 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  D  -.  x  =  y  <->  -.  A. y  e.  D  x  =  y )
6866, 67bitri 249 . . . 4  |-  ( E. y  e.  D  x  =/=  y  <->  -.  A. y  e.  D  x  =  y )
6968rexbii 2862 . . 3  |-  ( E. x  e.  D  E. y  e.  D  x  =/=  y  <->  E. x  e.  D  -.  A. y  e.  D  x  =  y )
70 rexnal 2854 . . 3  |-  ( E. x  e.  D  -.  A. y  e.  D  x  =  y  <->  -.  A. x  e.  D  A. y  e.  D  x  =  y )
7169, 70bitri 249 . 2  |-  ( E. x  e.  D  E. y  e.  D  x  =/=  y  <->  -.  A. x  e.  D  A. y  e.  D  x  =  y )
7264, 71sylibr 212 1  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  E. x  e.  D  E. y  e.  D  x  =/=  y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   (/)c0 3748   {csn 3988   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Fincfn 7423   RRcr 9395   0cc0 9396   1c1 9397    + caddc 9399   +oocpnf 9529    < clt 9532    <_ cle 9533   2c2 10485   ZZcz 10760   #chash 12223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-hash 12224
This theorem is referenced by:  tglowdim1  23091
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