Theorem hashge2el2dif 12305

Description: A set with size at least 2 has at least 2 different elements. (Contributed by AV, 18-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
hashge2el2dif	|- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> E. x e. D E. y e. D x =/= y )

Distinct variable groups:   x, y, D   x, V, y

Proof of Theorem hashge2el2dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5802	. . . . . . 7 |- ( D = { x } -> ( # ` D ) = ( # ` { x } ) )
2		hashsng 12256	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> ( # ` { x } ) = 1 )
3	1, 2	sylan9eqr 2517	. . . . . 6 |- ( ( x e. D /\ D = { x } ) -> ( # ` D ) = 1 )
4	3	ralimiaa 2818	. . . . 5 |- ( A. x e. D D = { x } -> A. x e. D ( # ` D ) = 1 )
5		0re 9500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR
6		1re 9499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR
7	5, 6	readdcli 9513	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 + 1 ) e. RR
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( 0 + 1 ) e. RR )
9		2re 10505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> 2 e. RR )
11		hashcl 12246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( D e. Fin -> ( # ` D ) e. NN0 )
12	11	nn0red 10751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( D e. Fin -> ( # ` D ) e. RR )
13	12	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( # ` D ) e. RR )
14	8, 10, 13	3jca 1168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( ( 0 + 1 ) e. RR /\ 2 e. RR /\ ( # ` D ) e. RR ) )
15		0p1e1 10547	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0 + 1 ) = 1
16		1lt2 10602	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 < 2
17	15, 16	eqbrtri 4422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 + 1 ) < 2
18	17	jctl 541	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 <_ ( # ` D ) -> ( ( 0 + 1 ) < 2 /\ 2 <_ ( # ` D ) ) )
19	18	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( ( 0 + 1 ) < 2 /\ 2 <_ ( # ` D ) ) )
20	19	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( ( 0 + 1 ) < 2 /\ 2 <_ ( # ` D ) ) )
21		ltleletr 9581	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 0 + 1 ) e. RR /\ 2 e. RR /\ ( # ` D ) e. RR ) -> ( ( ( 0 + 1 ) < 2 /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( 0 + 1 ) <_ ( # ` D ) ) )
22	14, 20, 21	sylc 60	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( 0 + 1 ) <_ ( # ` D ) )
23	11	nn0zd 10859	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( D e. Fin -> ( # ` D ) e. ZZ )
24		0z 10771	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. ZZ
25	23, 24	jctil 537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( D e. Fin -> ( 0 e. ZZ /\ ( # ` D ) e. ZZ ) )
26	25	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( 0 e. ZZ /\ ( # ` D ) e. ZZ ) )
27		zltp1le 10808	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( # ` D ) e. ZZ ) -> ( 0 < ( # ` D ) <-> ( 0 + 1 ) <_ ( # ` D ) ) )
28	26, 27	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( 0 < ( # ` D ) <-> ( 0 + 1 ) <_ ( # ` D ) ) )
29	22, 28	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> 0 < ( # ` D ) )
30		0ltpnf 11217	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < +oo
31		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> D e. V )
32	31	anim2i 569	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( -. D e. Fin /\ D e. V ) )
33	32	ancomd 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( D e. V /\ -. D e. Fin ) )
34		hashinf 12228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. V /\ -. D e. Fin ) -> ( # ` D ) = +oo )
35	33, 34	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( # ` D ) = +oo )
36	30, 35	syl5breqr 4439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> 0 < ( # ` D ) )
37	29, 36	pm2.61ian 788	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> 0 < ( # ` D ) )
38		hashgt0n0 12253	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. V /\ 0 < ( # ` D ) ) -> D =/= (/) )
39	37, 38	syldan 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> D =/= (/) )
40		rspn0 3760	. . . . . . . . 9 |- ( D =/= (/) -> ( A. x e. D ( # ` D ) = 1 -> ( # ` D ) = 1 ) )
41	39, 40	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( A. x e. D ( # ` D ) = 1 -> ( # ` D ) = 1 ) )
42	41	imp 429	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) /\ A. x e. D ( # ` D ) = 1 ) -> ( # ` D ) = 1 )
43		breq2 4407	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` D ) = 1 -> ( 2 <_ ( # ` D ) <-> 2 <_ 1 ) )
44	6, 9	ltnlei 9609	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 < 2 <-> -. 2 <_ 1 )
45		pm2.21 108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. 2 <_ 1 -> ( 2 <_ 1 -> -. A. x e. D D = { x } ) )
46	44, 45	sylbi 195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 < 2 -> ( 2 <_ 1 -> -. A. x e. D D = { x } ) )
47	16, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 <_ 1 -> -. A. x e. D D = { x } )
48	43, 47	syl6bi 228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( # ` D ) = 1 -> ( 2 <_ ( # ` D ) -> -. A. x e. D D = { x } ) )
49	48	com12 31	. . . . . . . . 9 |- ( 2 <_ ( # ` D ) -> ( ( # ` D ) = 1 -> -. A. x e. D D = { x } ) )
50	49	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( ( # ` D ) = 1 -> -. A. x e. D D = { x } ) )
51	50	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) /\ A. x e. D ( # ` D ) = 1 ) -> ( ( # ` D ) = 1 -> -. A. x e. D D = { x } ) )
52	42, 51	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) /\ A. x e. D ( # ` D ) = 1 ) -> -. A. x e. D D = { x } )
53	52	expcom 435	. . . . 5 |- ( A. x e. D ( # ` D ) = 1 -> ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> -. A. x e. D D = { x } ) )
54	4, 53	syl 16	. . . 4 |- ( A. x e. D D = { x } -> ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> -. A. x e. D D = { x } ) )
55		ax-1 6	. . . 4 |- ( -. A. x e. D D = { x } -> ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> -. A. x e. D D = { x } ) )
56	54, 55	pm2.61i 164	. . 3 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> -. A. x e. D D = { x } )
57		eqsn 4145	. . . . . 6 |- ( D =/= (/) -> ( D = { x } <-> A. y e. D y = x ) )
58	39, 57	syl 16	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( D = { x } <-> A. y e. D y = x ) )
59		equcom 1734	. . . . . . 7 |- ( y = x <-> x = y )
60	59	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( y = x <-> x = y ) )
61	60	ralbidv 2846	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( A. y e. D y = x <-> A. y e. D x = y ) )
62	58, 61	bitrd 253	. . . 4 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( D = { x } <-> A. y e. D x = y ) )
63	62	ralbidv 2846	. . 3 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( A. x e. D D = { x } <-> A. x e. D A. y e. D x = y ) )
64	56, 63	mtbid 300	. 2 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> -. A. x e. D A. y e. D x = y )
65		df-ne 2650	. . . . . 6 |- ( x =/= y <-> -. x = y )
66	65	rexbii 2862	. . . . 5 |- ( E. y e. D x =/= y <-> E. y e. D -. x = y )
67		rexnal 2854	. . . . 5 |- ( E. y e. D -. x = y <-> -. A. y e. D x = y )
68	66, 67	bitri 249	. . . 4 |- ( E. y e. D x =/= y <-> -. A. y e. D x = y )
69	68	rexbii 2862	. . 3 |- ( E. x e. D E. y e. D x =/= y <-> E. x e. D -. A. y e. D x = y )
70		rexnal 2854	. . 3 |- ( E. x e. D -. A. y e. D x = y <-> -. A. x e. D A. y e. D x = y )
71	69, 70	bitri 249	. 2 |- ( E. x e. D E. y e. D x =/= y <-> -. A. x e. D A. y e. D x = y )
72	64, 71	sylibr 212	1 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> E. x e. D E. y e. D x =/= y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   (/)c0 3748   {csn 3988   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Fincfn 7423   RRcr 9395   0cc0 9396   1c1 9397   + caddc 9399   +oocpnf 9529   < clt 9532   <_ cle 9533   2c2 10485   ZZcz 10760   #chash 12223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-hash 12224

This theorem is referenced by:  tglowdim1  23091