Theorem hashge2el2dif 12525

Description: A set with size at least 2 has at least 2 different elements. (Contributed by AV, 18-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
hashge2el2dif	|- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> E. x e. D E. y e. D x =/= y )

Distinct variable groups:   x, y, D   x, V, y

Proof of Theorem hashge2el2dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5872	. . . . . . 7 |- ( D = { x } -> ( # ` D ) = ( # ` { x } ) )
2		hashsng 12441	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> ( # ` { x } ) = 1 )
3	1, 2	sylan9eqr 2520	. . . . . 6 |- ( ( x e. D /\ D = { x } ) -> ( # ` D ) = 1 )
4	3	ralimiaa 2849	. . . . 5 |- ( A. x e. D D = { x } -> A. x e. D ( # ` D ) = 1 )
5		0re 9613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR
6		1re 9612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR
7	5, 6	readdcli 9626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 + 1 ) e. RR
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( 0 + 1 ) e. RR )
9		2re 10626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> 2 e. RR )
11		hashcl 12431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( D e. Fin -> ( # ` D ) e. NN0 )
12	11	nn0red 10874	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( D e. Fin -> ( # ` D ) e. RR )
13	12	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( # ` D ) e. RR )
14	8, 10, 13	3jca 1176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( ( 0 + 1 ) e. RR /\ 2 e. RR /\ ( # ` D ) e. RR ) )
15		0p1e1 10668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0 + 1 ) = 1
16		1lt2 10723	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 < 2
17	15, 16	eqbrtri 4475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 + 1 ) < 2
18	17	jctl 541	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 <_ ( # ` D ) -> ( ( 0 + 1 ) < 2 /\ 2 <_ ( # ` D ) ) )
19	18	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( ( 0 + 1 ) < 2 /\ 2 <_ ( # ` D ) ) )
20	19	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( ( 0 + 1 ) < 2 /\ 2 <_ ( # ` D ) ) )
21		ltleletr 9694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 0 + 1 ) e. RR /\ 2 e. RR /\ ( # ` D ) e. RR ) -> ( ( ( 0 + 1 ) < 2 /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( 0 + 1 ) <_ ( # ` D ) ) )
22	14, 20, 21	sylc 60	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( 0 + 1 ) <_ ( # ` D ) )
23	11	nn0zd 10988	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( D e. Fin -> ( # ` D ) e. ZZ )
24		0z 10896	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. ZZ
25	23, 24	jctil 537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( D e. Fin -> ( 0 e. ZZ /\ ( # ` D ) e. ZZ ) )
26	25	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( 0 e. ZZ /\ ( # ` D ) e. ZZ ) )
27		zltp1le 10934	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( # ` D ) e. ZZ ) -> ( 0 < ( # ` D ) <-> ( 0 + 1 ) <_ ( # ` D ) ) )
28	26, 27	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( 0 < ( # ` D ) <-> ( 0 + 1 ) <_ ( # ` D ) ) )
29	22, 28	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> 0 < ( # ` D ) )
30		0ltpnf 11357	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < +oo
31		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> D e. V )
32	31	anim2i 569	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( -. D e. Fin /\ D e. V ) )
33	32	ancomd 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( D e. V /\ -. D e. Fin ) )
34		hashinf 12413	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. V /\ -. D e. Fin ) -> ( # ` D ) = +oo )
35	33, 34	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( # ` D ) = +oo )
36	30, 35	syl5breqr 4492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> 0 < ( # ` D ) )
37	29, 36	pm2.61ian 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> 0 < ( # ` D ) )
38		hashgt0n0 12438	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. V /\ 0 < ( # ` D ) ) -> D =/= (/) )
39	37, 38	syldan 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> D =/= (/) )
40		rspn0 3806	. . . . . . . . 9 |- ( D =/= (/) -> ( A. x e. D ( # ` D ) = 1 -> ( # ` D ) = 1 ) )
41	39, 40	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( A. x e. D ( # ` D ) = 1 -> ( # ` D ) = 1 ) )
42	41	imp 429	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) /\ A. x e. D ( # ` D ) = 1 ) -> ( # ` D ) = 1 )
43		breq2 4460	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` D ) = 1 -> ( 2 <_ ( # ` D ) <-> 2 <_ 1 ) )
44	6, 9	ltnlei 9722	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 < 2 <-> -. 2 <_ 1 )
45		pm2.21 108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. 2 <_ 1 -> ( 2 <_ 1 -> -. A. x e. D D = { x } ) )
46	44, 45	sylbi 195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 < 2 -> ( 2 <_ 1 -> -. A. x e. D D = { x } ) )
47	16, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 <_ 1 -> -. A. x e. D D = { x } )
48	43, 47	syl6bi 228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( # ` D ) = 1 -> ( 2 <_ ( # ` D ) -> -. A. x e. D D = { x } ) )
49	48	com12 31	. . . . . . . . 9 |- ( 2 <_ ( # ` D ) -> ( ( # ` D ) = 1 -> -. A. x e. D D = { x } ) )
50	49	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( ( # ` D ) = 1 -> -. A. x e. D D = { x } ) )
51	50	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) /\ A. x e. D ( # ` D ) = 1 ) -> ( ( # ` D ) = 1 -> -. A. x e. D D = { x } ) )
52	42, 51	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) /\ A. x e. D ( # ` D ) = 1 ) -> -. A. x e. D D = { x } )
53	52	expcom 435	. . . . 5 |- ( A. x e. D ( # ` D ) = 1 -> ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> -. A. x e. D D = { x } ) )
54	4, 53	syl 16	. . . 4 |- ( A. x e. D D = { x } -> ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> -. A. x e. D D = { x } ) )
55		ax-1 6	. . . 4 |- ( -. A. x e. D D = { x } -> ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> -. A. x e. D D = { x } ) )
56	54, 55	pm2.61i 164	. . 3 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> -. A. x e. D D = { x } )
57		eqsn 4193	. . . . . 6 |- ( D =/= (/) -> ( D = { x } <-> A. y e. D y = x ) )
58	39, 57	syl 16	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( D = { x } <-> A. y e. D y = x ) )
59		equcom 1795	. . . . . . 7 |- ( y = x <-> x = y )
60	59	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( y = x <-> x = y ) )
61	60	ralbidv 2896	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( A. y e. D y = x <-> A. y e. D x = y ) )
62	58, 61	bitrd 253	. . . 4 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( D = { x } <-> A. y e. D x = y ) )
63	62	ralbidv 2896	. . 3 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( A. x e. D D = { x } <-> A. x e. D A. y e. D x = y ) )
64	56, 63	mtbid 300	. 2 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> -. A. x e. D A. y e. D x = y )
65		df-ne 2654	. . . . . 6 |- ( x =/= y <-> -. x = y )
66	65	rexbii 2959	. . . . 5 |- ( E. y e. D x =/= y <-> E. y e. D -. x = y )
67		rexnal 2905	. . . . 5 |- ( E. y e. D -. x = y <-> -. A. y e. D x = y )
68	66, 67	bitri 249	. . . 4 |- ( E. y e. D x =/= y <-> -. A. y e. D x = y )
69	68	rexbii 2959	. . 3 |- ( E. x e. D E. y e. D x =/= y <-> E. x e. D -. A. y e. D x = y )
70		rexnal 2905	. . 3 |- ( E. x e. D -. A. y e. D x = y <-> -. A. x e. D A. y e. D x = y )
71	69, 70	bitri 249	. 2 |- ( E. x e. D E. y e. D x =/= y <-> -. A. x e. D A. y e. D x = y )
72	64, 71	sylibr 212	1 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> E. x e. D E. y e. D x =/= y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   (/)c0 3793   {csn 4032   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   +oocpnf 9642   < clt 9645   <_ cle 9646   2c2 10606   ZZcz 10885   #chash 12408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-hash 12409

This theorem is referenced by:  tglowdim1  24017