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Theorem hashge2el2dif 12634
Description: A set with size at least 2 has at least 2 different elements. (Contributed by AV, 18-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
hashge2el2dif  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  E. x  e.  D  E. y  e.  D  x  =/=  y )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, V, y

Proof of Theorem hashge2el2dif
StepHypRef Expression
1 fveq2 5863 . . . . . . 7  |-  ( D  =  { x }  ->  ( # `  D
)  =  ( # `  { x } ) )
2 hashsng 12546 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  ( # `
 { x }
)  =  1 )
31, 2sylan9eqr 2506 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  D  /\  D  =  { x } )  ->  ( # `
 D )  =  1 )
43ralimiaa 2779 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  D  D  =  { x }  ->  A. x  e.  D  (
# `  D )  =  1 )
5 0re 9640 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
6 1re 9639 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR
75, 6readdcli 9653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  +  1 )  e.  RR
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  ( 0  +  1 )  e.  RR )
9 2re 10676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  2  e.  RR )
11 hashcl 12535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( # `
 D )  e. 
NN0 )
1211nn0red 10923 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( # `
 D )  e.  RR )
1312adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  ( # `  D
)  e.  RR )
148, 10, 133jca 1187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  ( ( 0  +  1 )  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( # `  D )  e.  RR ) )
15 0p1e1 10718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  +  1 )  =  1
16 1lt2 10773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  <  2
1715, 16eqbrtri 4421 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  +  1 )  <  2
1817jctl 544 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  <_  ( # `  D
)  ->  ( (
0  +  1 )  <  2  /\  2  <_  ( # `  D
) ) )
1918adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  (
( 0  +  1 )  <  2  /\  2  <_  ( # `  D
) ) )
2019adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  ( ( 0  +  1 )  <  2  /\  2  <_ 
( # `  D ) ) )
21 ltleletr 9723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 0  +  1 )  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( # `
 D )  e.  RR )  ->  (
( ( 0  +  1 )  <  2  /\  2  <_  ( # `  D ) )  -> 
( 0  +  1 )  <_  ( # `  D
) ) )
2214, 20, 21sylc 62 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  ( 0  +  1 )  <_  ( # `
 D ) )
2311nn0zd 11035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( # `
 D )  e.  ZZ )
24 0z 10945 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  ZZ
2523, 24jctil 540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  Fin  ->  (
0  e.  ZZ  /\  ( # `  D )  e.  ZZ ) )
2625adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  ( 0  e.  ZZ  /\  ( # `  D )  e.  ZZ ) )
27 zltp1le 10983 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( # `  D )  e.  ZZ )  -> 
( 0  <  ( # `
 D )  <->  ( 0  +  1 )  <_ 
( # `  D ) ) )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  ( 0  < 
( # `  D )  <-> 
( 0  +  1 )  <_  ( # `  D
) ) )
2922, 28mpbird 236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  0  <  ( # `
 D ) )
30 0ltpnf 11421 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  < +oo
31 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  D  e.  V )
3231anim2i 572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  ( -.  D  e.  Fin  /\  D  e.  V ) )
3332ancomd 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  ( D  e.  V  /\  -.  D  e.  Fin ) )
34 hashinf 12517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  V  /\  -.  D  e.  Fin )  ->  ( # `  D
)  = +oo )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  ( # `  D
)  = +oo )
3630, 35syl5breqr 4438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  0  <  ( # `
 D ) )
3729, 36pm2.61ian 798 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  0  <  ( # `  D
) )
38 hashgt0n0 12543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  V  /\  0  <  ( # `  D
) )  ->  D  =/=  (/) )
3937, 38syldan 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  D  =/=  (/) )
40 rspn0 3743 . . . . . . . . 9  |-  ( D  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  D  ( # `
 D )  =  1  ->  ( # `  D
)  =  1 ) )
4139, 40syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  ( A. x  e.  D  ( # `  D )  =  1  ->  ( # `
 D )  =  1 ) )
4241imp 431 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) )  /\  A. x  e.  D  (
# `  D )  =  1 )  -> 
( # `  D )  =  1 )
43 breq2 4405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  D )  =  1  ->  (
2  <_  ( # `  D
)  <->  2  <_  1
) )
446, 9ltnlei 9752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  <  2  <->  -.  2  <_  1 )
45 pm2.21 112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  2  <_  1  ->  ( 2  <_  1  ->  -. 
A. x  e.  D  D  =  { x } ) )
4644, 45sylbi 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  <  2  ->  (
2  <_  1  ->  -. 
A. x  e.  D  D  =  { x } ) )
4716, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  <_  1  ->  -.  A. x  e.  D  D  =  { x } )
4843, 47syl6bi 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  D )  =  1  ->  (
2  <_  ( # `  D
)  ->  -.  A. x  e.  D  D  =  { x } ) )
4948com12 32 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  <_  ( # `  D
)  ->  ( ( # `
 D )  =  1  ->  -.  A. x  e.  D  D  =  { x } ) )
5049adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  (
( # `  D )  =  1  ->  -.  A. x  e.  D  D  =  { x } ) )
5150adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) )  /\  A. x  e.  D  (
# `  D )  =  1 )  -> 
( ( # `  D
)  =  1  ->  -.  A. x  e.  D  D  =  { x } ) )
5242, 51mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) )  /\  A. x  e.  D  (
# `  D )  =  1 )  ->  -.  A. x  e.  D  D  =  { x } )
5352expcom 437 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  D  ( # `
 D )  =  1  ->  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  -.  A. x  e.  D  D  =  { x } ) )
544, 53syl 17 . . . 4  |-  ( A. x  e.  D  D  =  { x }  ->  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) )  ->  -.  A. x  e.  D  D  =  { x } ) )
55 ax-1 6 . . . 4  |-  ( -. 
A. x  e.  D  D  =  { x }  ->  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  -.  A. x  e.  D  D  =  { x } ) )
5654, 55pm2.61i 168 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  -.  A. x  e.  D  D  =  { x } )
57 eqsn 4132 . . . . . 6  |-  ( D  =/=  (/)  ->  ( D  =  { x }  <->  A. y  e.  D  y  =  x ) )
5839, 57syl 17 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  ( D  =  { x } 
<-> 
A. y  e.  D  y  =  x )
)
59 equcom 1861 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
6059a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  (
y  =  x  <->  x  =  y ) )
6160ralbidv 2826 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  ( A. y  e.  D  y  =  x  <->  A. y  e.  D  x  =  y ) )
6258, 61bitrd 257 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  ( D  =  { x } 
<-> 
A. y  e.  D  x  =  y )
)
6362ralbidv 2826 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  ( A. x  e.  D  D  =  { x } 
<-> 
A. x  e.  D  A. y  e.  D  x  =  y )
)
6456, 63mtbid 302 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  -.  A. x  e.  D  A. y  e.  D  x  =  y )
65 df-ne 2623 . . . . . 6  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
6665rexbii 2888 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  D  x  =/=  y  <->  E. y  e.  D  -.  x  =  y )
67 rexnal 2835 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  D  -.  x  =  y  <->  -.  A. y  e.  D  x  =  y )
6866, 67bitri 253 . . . 4  |-  ( E. y  e.  D  x  =/=  y  <->  -.  A. y  e.  D  x  =  y )
6968rexbii 2888 . . 3  |-  ( E. x  e.  D  E. y  e.  D  x  =/=  y  <->  E. x  e.  D  -.  A. y  e.  D  x  =  y )
70 rexnal 2835 . . 3  |-  ( E. x  e.  D  -.  A. y  e.  D  x  =  y  <->  -.  A. x  e.  D  A. y  e.  D  x  =  y )
7169, 70bitri 253 . 2  |-  ( E. x  e.  D  E. y  e.  D  x  =/=  y  <->  -.  A. x  e.  D  A. y  e.  D  x  =  y )
7264, 71sylibr 216 1  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  E. x  e.  D  E. y  e.  D  x  =/=  y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   (/)c0 3730   {csn 3967   class class class wbr 4401   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   Fincfn 7566   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539   +oocpnf 9669    < clt 9672    <_ cle 9673   2c2 10656   ZZcz 10934   #chash 12512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-hash 12513
This theorem is referenced by:  hashge2el2difb  12636  tglowdim1  24537  fundmge2nop  39020
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