Theorem hashge2el2dif 12634

Description: A set with size at least 2 has at least 2 different elements. (Contributed by AV, 18-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
hashge2el2dif	|- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> E. x e. D E. y e. D x =/= y )

Distinct variable groups:   x, y, D   x, V, y

Proof of Theorem hashge2el2dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5863	. . . . . . 7 |- ( D = { x } -> ( # ` D ) = ( # ` { x } ) )
2		hashsng 12546	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> ( # ` { x } ) = 1 )
3	1, 2	sylan9eqr 2506	. . . . . 6 |- ( ( x e. D /\ D = { x } ) -> ( # ` D ) = 1 )
4	3	ralimiaa 2779	. . . . 5 |- ( A. x e. D D = { x } -> A. x e. D ( # ` D ) = 1 )
5		0re 9640	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR
6		1re 9639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR
7	5, 6	readdcli 9653	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 + 1 ) e. RR
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( 0 + 1 ) e. RR )
9		2re 10676	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> 2 e. RR )
11		hashcl 12535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( D e. Fin -> ( # ` D ) e. NN0 )
12	11	nn0red 10923	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( D e. Fin -> ( # ` D ) e. RR )
13	12	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( # ` D ) e. RR )
14	8, 10, 13	3jca 1187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( ( 0 + 1 ) e. RR /\ 2 e. RR /\ ( # ` D ) e. RR ) )
15		0p1e1 10718	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0 + 1 ) = 1
16		1lt2 10773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 < 2
17	15, 16	eqbrtri 4421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 + 1 ) < 2
18	17	jctl 544	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 <_ ( # ` D ) -> ( ( 0 + 1 ) < 2 /\ 2 <_ ( # ` D ) ) )
19	18	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( ( 0 + 1 ) < 2 /\ 2 <_ ( # ` D ) ) )
20	19	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( ( 0 + 1 ) < 2 /\ 2 <_ ( # ` D ) ) )
21		ltleletr 9723	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 0 + 1 ) e. RR /\ 2 e. RR /\ ( # ` D ) e. RR ) -> ( ( ( 0 + 1 ) < 2 /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( 0 + 1 ) <_ ( # ` D ) ) )
22	14, 20, 21	sylc 62	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( 0 + 1 ) <_ ( # ` D ) )
23	11	nn0zd 11035	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( D e. Fin -> ( # ` D ) e. ZZ )
24		0z 10945	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. ZZ
25	23, 24	jctil 540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( D e. Fin -> ( 0 e. ZZ /\ ( # ` D ) e. ZZ ) )
26	25	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( 0 e. ZZ /\ ( # ` D ) e. ZZ ) )
27		zltp1le 10983	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( # ` D ) e. ZZ ) -> ( 0 < ( # ` D ) <-> ( 0 + 1 ) <_ ( # ` D ) ) )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( 0 < ( # ` D ) <-> ( 0 + 1 ) <_ ( # ` D ) ) )
29	22, 28	mpbird 236	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> 0 < ( # ` D ) )
30		0ltpnf 11421	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < +oo
31		simpl 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> D e. V )
32	31	anim2i 572	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( -. D e. Fin /\ D e. V ) )
33	32	ancomd 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( D e. V /\ -. D e. Fin ) )
34		hashinf 12517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. V /\ -. D e. Fin ) -> ( # ` D ) = +oo )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( # ` D ) = +oo )
36	30, 35	syl5breqr 4438	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> 0 < ( # ` D ) )
37	29, 36	pm2.61ian 798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> 0 < ( # ` D ) )
38		hashgt0n0 12543	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. V /\ 0 < ( # ` D ) ) -> D =/= (/) )
39	37, 38	syldan 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> D =/= (/) )
40		rspn0 3743	. . . . . . . . 9 |- ( D =/= (/) -> ( A. x e. D ( # ` D ) = 1 -> ( # ` D ) = 1 ) )
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( A. x e. D ( # ` D ) = 1 -> ( # ` D ) = 1 ) )
42	41	imp 431	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) /\ A. x e. D ( # ` D ) = 1 ) -> ( # ` D ) = 1 )
43		breq2 4405	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` D ) = 1 -> ( 2 <_ ( # ` D ) <-> 2 <_ 1 ) )
44	6, 9	ltnlei 9752	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 < 2 <-> -. 2 <_ 1 )
45		pm2.21 112	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. 2 <_ 1 -> ( 2 <_ 1 -> -. A. x e. D D = { x } ) )
46	44, 45	sylbi 199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 < 2 -> ( 2 <_ 1 -> -. A. x e. D D = { x } ) )
47	16, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 <_ 1 -> -. A. x e. D D = { x } )
48	43, 47	syl6bi 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( # ` D ) = 1 -> ( 2 <_ ( # ` D ) -> -. A. x e. D D = { x } ) )
49	48	com12 32	. . . . . . . . 9 |- ( 2 <_ ( # ` D ) -> ( ( # ` D ) = 1 -> -. A. x e. D D = { x } ) )
50	49	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( ( # ` D ) = 1 -> -. A. x e. D D = { x } ) )
51	50	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) /\ A. x e. D ( # ` D ) = 1 ) -> ( ( # ` D ) = 1 -> -. A. x e. D D = { x } ) )
52	42, 51	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) /\ A. x e. D ( # ` D ) = 1 ) -> -. A. x e. D D = { x } )
53	52	expcom 437	. . . . 5 |- ( A. x e. D ( # ` D ) = 1 -> ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> -. A. x e. D D = { x } ) )
54	4, 53	syl 17	. . . 4 |- ( A. x e. D D = { x } -> ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> -. A. x e. D D = { x } ) )
55		ax-1 6	. . . 4 |- ( -. A. x e. D D = { x } -> ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> -. A. x e. D D = { x } ) )
56	54, 55	pm2.61i 168	. . 3 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> -. A. x e. D D = { x } )
57		eqsn 4132	. . . . . 6 |- ( D =/= (/) -> ( D = { x } <-> A. y e. D y = x ) )
58	39, 57	syl 17	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( D = { x } <-> A. y e. D y = x ) )
59		equcom 1861	. . . . . . 7 |- ( y = x <-> x = y )
60	59	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( y = x <-> x = y ) )
61	60	ralbidv 2826	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( A. y e. D y = x <-> A. y e. D x = y ) )
62	58, 61	bitrd 257	. . . 4 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( D = { x } <-> A. y e. D x = y ) )
63	62	ralbidv 2826	. . 3 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( A. x e. D D = { x } <-> A. x e. D A. y e. D x = y ) )
64	56, 63	mtbid 302	. 2 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> -. A. x e. D A. y e. D x = y )
65		df-ne 2623	. . . . . 6 |- ( x =/= y <-> -. x = y )
66	65	rexbii 2888	. . . . 5 |- ( E. y e. D x =/= y <-> E. y e. D -. x = y )
67		rexnal 2835	. . . . 5 |- ( E. y e. D -. x = y <-> -. A. y e. D x = y )
68	66, 67	bitri 253	. . . 4 |- ( E. y e. D x =/= y <-> -. A. y e. D x = y )
69	68	rexbii 2888	. . 3 |- ( E. x e. D E. y e. D x =/= y <-> E. x e. D -. A. y e. D x = y )
70		rexnal 2835	. . 3 |- ( E. x e. D -. A. y e. D x = y <-> -. A. x e. D A. y e. D x = y )
71	69, 70	bitri 253	. 2 |- ( E. x e. D E. y e. D x =/= y <-> -. A. x e. D A. y e. D x = y )
72	64, 71	sylibr 216	1 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> E. x e. D E. y e. D x =/= y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   (/)c0 3730   {csn 3967   class class class wbr 4401   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   Fincfn 7566   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   + caddc 9539   +oocpnf 9669   < clt 9672   <_ cle 9673   2c2 10656   ZZcz 10934   #chash 12512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-hash 12513

This theorem is referenced by:  hashge2el2difb  12636  tglowdim1  24537  fundmge2nop  39020