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Theorem hashge2el2dif 12525
Description: A set with size at least 2 has at least 2 different elements. (Contributed by AV, 18-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
hashge2el2dif  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  E. x  e.  D  E. y  e.  D  x  =/=  y )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, V, y

Proof of Theorem hashge2el2dif
StepHypRef Expression
1 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( D  =  { x }  ->  ( # `  D
)  =  ( # `  { x } ) )
2 hashsng 12441 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  ( # `
 { x }
)  =  1 )
31, 2sylan9eqr 2520 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  D  /\  D  =  { x } )  ->  ( # `
 D )  =  1 )
43ralimiaa 2849 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  D  D  =  { x }  ->  A. x  e.  D  (
# `  D )  =  1 )
5 0re 9613 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
6 1re 9612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR
75, 6readdcli 9626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  +  1 )  e.  RR
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  ( 0  +  1 )  e.  RR )
9 2re 10626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  2  e.  RR )
11 hashcl 12431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( # `
 D )  e. 
NN0 )
1211nn0red 10874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( # `
 D )  e.  RR )
1312adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  ( # `  D
)  e.  RR )
148, 10, 133jca 1176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  ( ( 0  +  1 )  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( # `  D )  e.  RR ) )
15 0p1e1 10668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  +  1 )  =  1
16 1lt2 10723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  <  2
1715, 16eqbrtri 4475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  +  1 )  <  2
1817jctl 541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  <_  ( # `  D
)  ->  ( (
0  +  1 )  <  2  /\  2  <_  ( # `  D
) ) )
1918adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  (
( 0  +  1 )  <  2  /\  2  <_  ( # `  D
) ) )
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  ( ( 0  +  1 )  <  2  /\  2  <_ 
( # `  D ) ) )
21 ltleletr 9694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 0  +  1 )  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( # `
 D )  e.  RR )  ->  (
( ( 0  +  1 )  <  2  /\  2  <_  ( # `  D ) )  -> 
( 0  +  1 )  <_  ( # `  D
) ) )
2214, 20, 21sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  ( 0  +  1 )  <_  ( # `
 D ) )
2311nn0zd 10988 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( # `
 D )  e.  ZZ )
24 0z 10896 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  ZZ
2523, 24jctil 537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  Fin  ->  (
0  e.  ZZ  /\  ( # `  D )  e.  ZZ ) )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  ( 0  e.  ZZ  /\  ( # `  D )  e.  ZZ ) )
27 zltp1le 10934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( # `  D )  e.  ZZ )  -> 
( 0  <  ( # `
 D )  <->  ( 0  +  1 )  <_ 
( # `  D ) ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  ( 0  < 
( # `  D )  <-> 
( 0  +  1 )  <_  ( # `  D
) ) )
2922, 28mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  0  <  ( # `
 D ) )
30 0ltpnf 11357 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  < +oo
31 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  D  e.  V )
3231anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  ( -.  D  e.  Fin  /\  D  e.  V ) )
3332ancomd 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  ( D  e.  V  /\  -.  D  e.  Fin ) )
34 hashinf 12413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  V  /\  -.  D  e.  Fin )  ->  ( # `  D
)  = +oo )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  ( # `  D
)  = +oo )
3630, 35syl5breqr 4492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  D  e.  Fin  /\  ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) ) )  ->  0  <  ( # `
 D ) )
3729, 36pm2.61ian 790 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  0  <  ( # `  D
) )
38 hashgt0n0 12438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  V  /\  0  <  ( # `  D
) )  ->  D  =/=  (/) )
3937, 38syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  D  =/=  (/) )
40 rspn0 3806 . . . . . . . . 9  |-  ( D  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  D  ( # `
 D )  =  1  ->  ( # `  D
)  =  1 ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  ( A. x  e.  D  ( # `  D )  =  1  ->  ( # `
 D )  =  1 ) )
4241imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) )  /\  A. x  e.  D  (
# `  D )  =  1 )  -> 
( # `  D )  =  1 )
43 breq2 4460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  D )  =  1  ->  (
2  <_  ( # `  D
)  <->  2  <_  1
) )
446, 9ltnlei 9722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  <  2  <->  -.  2  <_  1 )
45 pm2.21 108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  2  <_  1  ->  ( 2  <_  1  ->  -. 
A. x  e.  D  D  =  { x } ) )
4644, 45sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  <  2  ->  (
2  <_  1  ->  -. 
A. x  e.  D  D  =  { x } ) )
4716, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  <_  1  ->  -.  A. x  e.  D  D  =  { x } )
4843, 47syl6bi 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  D )  =  1  ->  (
2  <_  ( # `  D
)  ->  -.  A. x  e.  D  D  =  { x } ) )
4948com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  <_  ( # `  D
)  ->  ( ( # `
 D )  =  1  ->  -.  A. x  e.  D  D  =  { x } ) )
5049adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  (
( # `  D )  =  1  ->  -.  A. x  e.  D  D  =  { x } ) )
5150adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) )  /\  A. x  e.  D  (
# `  D )  =  1 )  -> 
( ( # `  D
)  =  1  ->  -.  A. x  e.  D  D  =  { x } ) )
5242, 51mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) )  /\  A. x  e.  D  (
# `  D )  =  1 )  ->  -.  A. x  e.  D  D  =  { x } )
5352expcom 435 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  D  ( # `
 D )  =  1  ->  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  -.  A. x  e.  D  D  =  { x } ) )
544, 53syl 16 . . . 4  |-  ( A. x  e.  D  D  =  { x }  ->  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D ) )  ->  -.  A. x  e.  D  D  =  { x } ) )
55 ax-1 6 . . . 4  |-  ( -. 
A. x  e.  D  D  =  { x }  ->  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  -.  A. x  e.  D  D  =  { x } ) )
5654, 55pm2.61i 164 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  -.  A. x  e.  D  D  =  { x } )
57 eqsn 4193 . . . . . 6  |-  ( D  =/=  (/)  ->  ( D  =  { x }  <->  A. y  e.  D  y  =  x ) )
5839, 57syl 16 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  ( D  =  { x } 
<-> 
A. y  e.  D  y  =  x )
)
59 equcom 1795 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
6059a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  (
y  =  x  <->  x  =  y ) )
6160ralbidv 2896 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  ( A. y  e.  D  y  =  x  <->  A. y  e.  D  x  =  y ) )
6258, 61bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  ( D  =  { x } 
<-> 
A. y  e.  D  x  =  y )
)
6362ralbidv 2896 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  ( A. x  e.  D  D  =  { x } 
<-> 
A. x  e.  D  A. y  e.  D  x  =  y )
)
6456, 63mtbid 300 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  -.  A. x  e.  D  A. y  e.  D  x  =  y )
65 df-ne 2654 . . . . . 6  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
6665rexbii 2959 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  D  x  =/=  y  <->  E. y  e.  D  -.  x  =  y )
67 rexnal 2905 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  D  -.  x  =  y  <->  -.  A. y  e.  D  x  =  y )
6866, 67bitri 249 . . . 4  |-  ( E. y  e.  D  x  =/=  y  <->  -.  A. y  e.  D  x  =  y )
6968rexbii 2959 . . 3  |-  ( E. x  e.  D  E. y  e.  D  x  =/=  y  <->  E. x  e.  D  -.  A. y  e.  D  x  =  y )
70 rexnal 2905 . . 3  |-  ( E. x  e.  D  -.  A. y  e.  D  x  =  y  <->  -.  A. x  e.  D  A. y  e.  D  x  =  y )
7169, 70bitri 249 . 2  |-  ( E. x  e.  D  E. y  e.  D  x  =/=  y  <->  -.  A. x  e.  D  A. y  e.  D  x  =  y )
7264, 71sylibr 212 1  |-  ( ( D  e.  V  /\  2  <_  ( # `  D
) )  ->  E. x  e.  D  E. y  e.  D  x  =/=  y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   (/)c0 3793   {csn 4032   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512   +oocpnf 9642    < clt 9645    <_ cle 9646   2c2 10606   ZZcz 10885   #chash 12408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-hash 12409
This theorem is referenced by:  tglowdim1  24017
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