Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlkndivn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlkndivn 26364
 Description: The size of the set of closed walks (defined as words) of length n is divisible by n. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwwlkndivn ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ (#‘((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)))

Proof of Theorem clwwlkndivn
Dummy variables 𝑛 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1055 . . . . . 6 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑉 ∈ Fin)
2 usgrav 25867 . . . . . . . 8 (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
32simprd 478 . . . . . . 7 (𝑉 USGrph 𝐸𝐸 ∈ V)
433ad2ant1 1075 . . . . . 6 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝐸 ∈ V)
5 prmnn 15226 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
65nnnn0d 11228 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ0)
763ad2ant3 1077 . . . . . 6 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
8 eqid 2610 . . . . . . 7 ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) = ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)
9 eqid 2610 . . . . . . 7 {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ 𝑢 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))} = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ 𝑢 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
108, 9qerclwwlknfi 26357 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) / {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ 𝑢 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}) ∈ Fin)
111, 4, 7, 10syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) / {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ 𝑢 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}) ∈ Fin)
12 hashcl 13009 . . . . 5 ((((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) / {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ 𝑢 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}) ∈ Fin → (#‘(((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) / {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ 𝑢 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))})) ∈ ℕ0)
1311, 12syl 17 . . . 4 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (#‘(((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) / {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ 𝑢 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))})) ∈ ℕ0)
1413nn0zd 11356 . . 3 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (#‘(((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) / {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ 𝑢 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))})) ∈ ℤ)
15 prmz 15227 . . . 4 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℤ)
16153ad2ant3 1077 . . 3 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
17 dvdsmul2 14842 . . 3 (((#‘(((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) / {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ 𝑢 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))})) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((#‘(((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) / {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ 𝑢 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))})) · 𝑁))
1814, 16, 17syl2anc 691 . 2 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ ((#‘(((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) / {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ 𝑢 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))})) · 𝑁))
198, 9hashclwwlkn 26363 . . 3 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 USGrph 𝐸𝑁 ∈ ℙ) → (#‘((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) = ((#‘(((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) / {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ 𝑢 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))})) · 𝑁))
20193com12 1261 . 2 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (#‘((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) = ((#‘(((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) / {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ 𝑢 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))})) · 𝑁))
2118, 20breqtrrd 4611 1 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ (#‘((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  {copab 4642  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   / cqs 7628  Fincfn 7841  0cc0 9815   · cmul 9820  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ...cfz 12197  #chash 12979   cyclShift ccsh 13385   ∥ cdvds 14821  ℙcprime 15223   USGrph cusg 25859   ClWWalksN cclwwlkn 26277 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-substr 13158  df-reps 13161  df-csh 13386  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-phi 15309  df-usgra 25862  df-clwwlk 26279  df-clwwlkn 26280 This theorem is referenced by:  clwlkndivn  26380  numclwwlk8  26642
 Copyright terms: Public domain W3C validator