Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashunx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashunx 13036
 Description: The size of the union of disjoint sets is the result of the extended real addition of their sizes, analogous to hashun 13032. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashunx ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)))

Proof of Theorem hashunx
StepHypRef Expression
1 hashun 13032 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))
213expa 1257 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))
3 hashcl 13009 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
43nn0red 11229 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℝ)
5 hashcl 13009 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
65nn0red 11229 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∈ ℝ)
74, 6anim12i 588 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℝ))
87adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((#‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℝ))
9 rexadd 11937 . . . . . . 7 (((#‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℝ) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))
108, 9syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))
1110eqcomd 2616 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)))
122, 11eqtrd 2644 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)))
1312expcom 450 . . 3 ((𝐴𝐵) = ∅ → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵))))
14133ad2ant3 1077 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵))))
15 unexg 6857 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)
16 unfir 8113 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
1716con3i 149 . . . . . 6 (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ (𝐴𝐵) ∈ Fin)
18 hashinf 12984 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ∈ V ∧ ¬ (𝐴𝐵) ∈ Fin) → (#‘(𝐴𝐵)) = +∞)
1915, 17, 18syl2anr 494 . . . . 5 ((¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (#‘(𝐴𝐵)) = +∞)
20 ianor 508 . . . . . . 7 (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝐴 ∈ Fin ∨ ¬ 𝐵 ∈ Fin))
21 simprl 790 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → 𝐴𝑉)
22 simprr 792 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → 𝐵𝑊)
23 hashnfinnn0 13013 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (#‘𝐴) ∉ ℕ0)
2423ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∉ ℕ0))
2524adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∉ ℕ0))
2625impcom 445 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (#‘𝐴) ∉ ℕ0)
27 hashinfxadd 13035 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = +∞)
2821, 22, 26, 27syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = +∞)
2928eqcomd 2616 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → +∞ = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)))
3029ex 449 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ Fin → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → +∞ = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵))))
31 hashxrcl 13010 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑉 → (#‘𝐴) ∈ ℝ*)
32 hashxrcl 13010 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵𝑊 → (#‘𝐵) ∈ ℝ*)
3331, 32anim12i 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((#‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (#‘𝐵) ∈ ℝ*))
3433adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → ((#‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (#‘𝐵) ∈ ℝ*))
35 xaddcom 11945 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (#‘𝐵) ∈ ℝ*) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = ((#‘𝐵) +𝑒 (#‘𝐴)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = ((#‘𝐵) +𝑒 (#‘𝐴)))
37 simprr 792 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → 𝐵𝑊)
38 simprl 790 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → 𝐴𝑉)
39 hashnfinnn0 13013 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐵) ∉ ℕ0)
4039ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵𝑊 → (¬ 𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∉ ℕ0))
4140adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (¬ 𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∉ ℕ0))
4241impcom 445 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (#‘𝐵) ∉ ℕ0)
43 hashinfxadd 13035 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵𝑊𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐵) ∉ ℕ0) → ((#‘𝐵) +𝑒 (#‘𝐴)) = +∞)
4437, 38, 42, 43syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → ((#‘𝐵) +𝑒 (#‘𝐴)) = +∞)
4536, 44eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = +∞)
4645eqcomd 2616 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → +∞ = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)))
4746ex 449 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ Fin → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → +∞ = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵))))
4830, 47jaoi 393 . . . . . . 7 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∨ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → +∞ = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵))))
4920, 48sylbi 206 . . . . . 6 (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → +∞ = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵))))
5049imp 444 . . . . 5 ((¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → +∞ = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)))
5119, 50eqtrd 2644 . . . 4 ((¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)))
5251expcom 450 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵))))
53523adant3 1074 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵))))
5414, 53pm2.61d 169 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∉ wnel 2781  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℝcr 9814   + caddc 9818  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952  ℕ0cn0 11169   +𝑒 cxad 11820  #chash 12979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-hash 12980 This theorem is referenced by:  vdgrun  26428  vtxdun  40696
 Copyright terms: Public domain W3C validator