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Theorem hashunx 12149
Description: The size of the union of disjoint sets is the result of the extended real addition of their sizes, analogous to hashun 12145. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashunx  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( # `
 ( A  u.  B ) )  =  ( ( # `  A
) +e (
# `  B )
) )

Proof of Theorem hashunx
StepHypRef Expression
1 hashun 12145 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( # `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) )
213expa 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( # `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) )
3 hashcl 12126 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
43nn0red 10637 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e.  RR )
5 hashcl 12126 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
65nn0red 10637 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e.  RR )
74, 6anim12i 566 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  e.  RR  /\  ( # `  B )  e.  RR ) )
87adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( ( # `  A
)  e.  RR  /\  ( # `  B )  e.  RR ) )
9 rexadd 11202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  RR  /\  ( # `  B )  e.  RR )  -> 
( ( # `  A
) +e (
# `  B )
)  =  ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) )
108, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( ( # `  A
) +e (
# `  B )
)  =  ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) )
1110eqcomd 2448 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  =  ( ( # `  A
) +e (
# `  B )
) )
122, 11eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( # `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( # `  A ) +e
( # `  B ) ) )
1312expcom 435 . . 3  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  =  ( (
# `  A ) +e ( # `  B ) ) ) )
14133ad2ant3 1011 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  (
( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  =  ( (
# `  A ) +e ( # `  B ) ) ) )
15 unexg 6381 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
16 unfir 7580 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  B )  e.  Fin  ->  ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin ) )
1716con3i 135 . . . . . 6  |-  ( -.  ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  -.  ( A  u.  B )  e.  Fin )
18 hashinf 12108 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  u.  B
)  e.  _V  /\  -.  ( A  u.  B
)  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  = +oo )
1915, 17, 18syl2anr 478 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W )
)  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  = +oo )
20 ianor 488 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  <->  ( -.  A  e.  Fin  \/ 
-.  B  e.  Fin ) )
21 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  A  e.  V )
22 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  B  e.  W )
23 hashnfinnn0 12130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  e/  NN0 )
2423ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  V  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( # `  A
)  e/  NN0 ) )
2524adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( -.  A  e. 
Fin  ->  ( # `  A
)  e/  NN0 ) )
2625impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  ( # `
 A )  e/  NN0 )
27 hashinfxadd 12148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  ( # `  A )  e/  NN0 )  -> 
( ( # `  A
) +e (
# `  B )
)  = +oo )
2821, 22, 26, 27syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  (
( # `  A ) +e ( # `  B ) )  = +oo )
2928eqcomd 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  -> +oo  =  ( ( # `  A
) +e (
# `  B )
) )
3029ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  -> +oo  =  ( ( # `  A
) +e (
# `  B )
) ) )
31 hashxrcl 12127 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 A )  e. 
RR* )
32 hashxrcl 12127 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  W  ->  ( # `
 B )  e. 
RR* )
3331, 32anim12i 566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( ( # `  A
)  e.  RR*  /\  ( # `
 B )  e. 
RR* ) )
3433adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  B  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  (
( # `  A )  e.  RR*  /\  ( # `
 B )  e. 
RR* ) )
35 xaddcom 11208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  RR*  /\  ( # `
 B )  e. 
RR* )  ->  (
( # `  A ) +e ( # `  B ) )  =  ( ( # `  B
) +e (
# `  A )
) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  B  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  (
( # `  A ) +e ( # `  B ) )  =  ( ( # `  B
) +e (
# `  A )
) )
37 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  B  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  B  e.  W )
38 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  B  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  A  e.  V )
39 hashnfinnn0 12130 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  W  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  e/  NN0 )
4039ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  W  ->  ( -.  B  e.  Fin  ->  ( # `  B
)  e/  NN0 ) )
4140adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( -.  B  e. 
Fin  ->  ( # `  B
)  e/  NN0 ) )
4241impcom 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  B  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  ( # `
 B )  e/  NN0 )
43 hashinfxadd 12148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  W  /\  A  e.  V  /\  ( # `  B )  e/  NN0 )  -> 
( ( # `  B
) +e (
# `  A )
)  = +oo )
4437, 38, 42, 43syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  B  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  (
( # `  B ) +e ( # `  A ) )  = +oo )
4536, 44eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  B  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  (
( # `  A ) +e ( # `  B ) )  = +oo )
4645eqcomd 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  B  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  -> +oo  =  ( ( # `  A
) +e (
# `  B )
) )
4746ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( -.  B  e.  Fin  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  -> +oo  =  ( ( # `  A
) +e (
# `  B )
) ) )
4830, 47jaoi 379 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  \/ 
-.  B  e.  Fin )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  -> +oo  =  ( ( # `  A
) +e (
# `  B )
) ) )
4920, 48sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( -.  ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  -> +oo  =  ( ( # `  A
) +e (
# `  B )
) ) )
5049imp 429 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W )
)  -> +oo  =  ( ( # `  A
) +e (
# `  B )
) )
5119, 50eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ( -.  ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W )
)  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  =  ( (
# `  A ) +e ( # `  B ) ) )
5251expcom 435 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( -.  ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 ( A  u.  B ) )  =  ( ( # `  A
) +e (
# `  B )
) ) )
53523adant3 1008 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( -.  ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  =  ( (
# `  A ) +e ( # `  B ) ) ) )
5414, 53pm2.61d 158 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( # `
 ( A  u.  B ) )  =  ( ( # `  A
) +e (
# `  B )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    e/ wnel 2607   _Vcvv 2972    u. cun 3326    i^i cin 3327   (/)c0 3637   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Fincfn 7310   RRcr 9281    + caddc 9285   +oocpnf 9415   RR*cxr 9417   NN0cn0 10579   +ecxad 11087   #chash 12103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-xadd 11090  df-hash 12104
This theorem is referenced by:  vdgrun  23571
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