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Theorem hashunx 12603
Description: The size of the union of disjoint sets is the result of the extended real addition of their sizes, analogous to hashun 12599. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashunx  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( # `
 ( A  u.  B ) )  =  ( ( # `  A
) +e (
# `  B )
) )

Proof of Theorem hashunx
StepHypRef Expression
1 hashun 12599 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( # `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) )
213expa 1231 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( # `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) )
3 hashcl 12576 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
43nn0red 10950 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e.  RR )
5 hashcl 12576 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
65nn0red 10950 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e.  RR )
74, 6anim12i 576 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  e.  RR  /\  ( # `  B )  e.  RR ) )
87adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( ( # `  A
)  e.  RR  /\  ( # `  B )  e.  RR ) )
9 rexadd 11548 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  RR  /\  ( # `  B )  e.  RR )  -> 
( ( # `  A
) +e (
# `  B )
)  =  ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) )
108, 9syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( ( # `  A
) +e (
# `  B )
)  =  ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) )
1110eqcomd 2477 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  =  ( ( # `  A
) +e (
# `  B )
) )
122, 11eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( # `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( # `  A ) +e
( # `  B ) ) )
1312expcom 442 . . 3  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  =  ( (
# `  A ) +e ( # `  B ) ) ) )
14133ad2ant3 1053 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  (
( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  =  ( (
# `  A ) +e ( # `  B ) ) ) )
15 unexg 6611 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
16 unfir 7857 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  B )  e.  Fin  ->  ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin ) )
1716con3i 142 . . . . . 6  |-  ( -.  ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  -.  ( A  u.  B )  e.  Fin )
18 hashinf 12558 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  u.  B
)  e.  _V  /\  -.  ( A  u.  B
)  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  = +oo )
1915, 17, 18syl2anr 486 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W )
)  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  = +oo )
20 ianor 496 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  <->  ( -.  A  e.  Fin  \/ 
-.  B  e.  Fin ) )
21 simprl 772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  A  e.  V )
22 simprr 774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  B  e.  W )
23 hashnfinnn0 12580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  e/  NN0 )
2423ex 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  V  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( # `  A
)  e/  NN0 ) )
2524adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( -.  A  e. 
Fin  ->  ( # `  A
)  e/  NN0 ) )
2625impcom 437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  ( # `
 A )  e/  NN0 )
27 hashinfxadd 12602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  ( # `  A )  e/  NN0 )  -> 
( ( # `  A
) +e (
# `  B )
)  = +oo )
2821, 22, 26, 27syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  (
( # `  A ) +e ( # `  B ) )  = +oo )
2928eqcomd 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  -> +oo  =  ( ( # `  A
) +e (
# `  B )
) )
3029ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  -> +oo  =  ( ( # `  A
) +e (
# `  B )
) ) )
31 hashxrcl 12577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 A )  e. 
RR* )
32 hashxrcl 12577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  W  ->  ( # `
 B )  e. 
RR* )
3331, 32anim12i 576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( ( # `  A
)  e.  RR*  /\  ( # `
 B )  e. 
RR* ) )
3433adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  B  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  (
( # `  A )  e.  RR*  /\  ( # `
 B )  e. 
RR* ) )
35 xaddcom 11555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  RR*  /\  ( # `
 B )  e. 
RR* )  ->  (
( # `  A ) +e ( # `  B ) )  =  ( ( # `  B
) +e (
# `  A )
) )
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  B  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  (
( # `  A ) +e ( # `  B ) )  =  ( ( # `  B
) +e (
# `  A )
) )
37 simprr 774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  B  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  B  e.  W )
38 simprl 772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  B  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  A  e.  V )
39 hashnfinnn0 12580 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  W  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  e/  NN0 )
4039ex 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  W  ->  ( -.  B  e.  Fin  ->  ( # `  B
)  e/  NN0 ) )
4140adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( -.  B  e. 
Fin  ->  ( # `  B
)  e/  NN0 ) )
4241impcom 437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  B  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  ( # `
 B )  e/  NN0 )
43 hashinfxadd 12602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  W  /\  A  e.  V  /\  ( # `  B )  e/  NN0 )  -> 
( ( # `  B
) +e (
# `  A )
)  = +oo )
4437, 38, 42, 43syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  B  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  (
( # `  B ) +e ( # `  A ) )  = +oo )
4536, 44eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  B  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  ->  (
( # `  A ) +e ( # `  B ) )  = +oo )
4645eqcomd 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  B  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )  -> +oo  =  ( ( # `  A
) +e (
# `  B )
) )
4746ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( -.  B  e.  Fin  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  -> +oo  =  ( ( # `  A
) +e (
# `  B )
) ) )
4830, 47jaoi 386 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  \/ 
-.  B  e.  Fin )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  -> +oo  =  ( ( # `  A
) +e (
# `  B )
) ) )
4920, 48sylbi 200 . . . . . 6  |-  ( -.  ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  -> +oo  =  ( ( # `  A
) +e (
# `  B )
) ) )
5049imp 436 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W )
)  -> +oo  =  ( ( # `  A
) +e (
# `  B )
) )
5119, 50eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( ( -.  ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W )
)  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  =  ( (
# `  A ) +e ( # `  B ) ) )
5251expcom 442 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( -.  ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 ( A  u.  B ) )  =  ( ( # `  A
) +e (
# `  B )
) ) )
53523adant3 1050 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( -.  ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  =  ( (
# `  A ) +e ( # `  B ) ) ) )
5414, 53pm2.61d 163 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( # `
 ( A  u.  B ) )  =  ( ( # `  A
) +e (
# `  B )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    e/ wnel 2642   _Vcvv 3031    u. cun 3388    i^i cin 3389   (/)c0 3722   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   RRcr 9556    + caddc 9560   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   NN0cn0 10893   +ecxad 11430   #chash 12553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-xadd 11433  df-hash 12554
This theorem is referenced by:  vdgrun  25708  vtxdun  39704
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