MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashinfxadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashinfxadd 13035
Description: The extended real addition of the size of an infinite set with the size of an arbitrary set yields plus infinity. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashinfxadd ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = +∞)

Proof of Theorem hashinfxadd
StepHypRef Expression
1 hashnn0pnf 12992 . . . . 5 (𝐴𝑉 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝐴) = +∞))
2 df-nel 2783 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐴) ∉ ℕ0 ↔ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
32anbi2i 726 . . . . . . . 8 ((((#‘𝐴) = +∞ ∨ (#‘𝐴) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) ↔ (((#‘𝐴) = +∞ ∨ (#‘𝐴) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0))
4 pm5.61 745 . . . . . . . 8 ((((#‘𝐴) = +∞ ∨ (#‘𝐴) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0) ↔ ((#‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0))
53, 4sylbb 208 . . . . . . 7 ((((#‘𝐴) = +∞ ∨ (#‘𝐴) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((#‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0))
65ex 449 . . . . . 6 (((#‘𝐴) = +∞ ∨ (#‘𝐴) ∈ ℕ0) → ((#‘𝐴) ∉ ℕ0 → ((#‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0)))
76orcoms 403 . . . . 5 (((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝐴) = +∞) → ((#‘𝐴) ∉ ℕ0 → ((#‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0)))
81, 7syl 17 . . . 4 (𝐴𝑉 → ((#‘𝐴) ∉ ℕ0 → ((#‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0)))
98imp 444 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((#‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0))
1093adant2 1073 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((#‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0))
11 oveq1 6556 . . . . 5 ((#‘𝐴) = +∞ → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = (+∞ +𝑒 (#‘𝐵)))
12 hashxrcl 13010 . . . . . . . 8 (𝐵𝑊 → (#‘𝐵) ∈ ℝ*)
13 hashnemnf 12994 . . . . . . . 8 (𝐵𝑊 → (#‘𝐵) ≠ -∞)
1412, 13jca 553 . . . . . . 7 (𝐵𝑊 → ((#‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (#‘𝐵) ≠ -∞))
15143ad2ant2 1076 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((#‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (#‘𝐵) ≠ -∞))
16 xaddpnf2 11932 . . . . . 6 (((#‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (#‘𝐵) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (#‘𝐵)) = +∞)
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) → (+∞ +𝑒 (#‘𝐵)) = +∞)
1811, 17sylan9eqr 2666 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) ∧ (#‘𝐴) = +∞) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = +∞)
1918expcom 450 . . 3 ((#‘𝐴) = +∞ → ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = +∞))
2019adantr 480 . 2 (((#‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = +∞))
2110, 20mpcom 37 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wnel 2781  cfv 5804  (class class class)co 6549  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  *cxr 9952  0cn0 11169   +𝑒 cxad 11820  #chash 12979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-hash 12980
This theorem is referenced by:  hashunx  13036  vdgrf  26425
  Copyright terms: Public domain W3C validator