Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isnumbasgrplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnumbasgrplem3 36694
Description: Every nonempty numerable set can be given the structure of an Abelian group, either a finite cyclic group or a vector space over Z/2Z. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
isnumbasgrplem3 ((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))

Proof of Theorem isnumbasgrplem3
StepHypRef Expression
1 hashcl 13009 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Fin → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
21adantl 481 . . . . 5 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
3 eqid 2610 . . . . . 6 (ℤ/nℤ‘(#‘𝑆)) = (ℤ/nℤ‘(#‘𝑆))
43zncrng 19712 . . . . 5 ((#‘𝑆) ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘(#‘𝑆)) ∈ CRing)
5 crngring 18381 . . . . 5 ((ℤ/nℤ‘(#‘𝑆)) ∈ CRing → (ℤ/nℤ‘(#‘𝑆)) ∈ Ring)
6 ringabl 18403 . . . . 5 ((ℤ/nℤ‘(#‘𝑆)) ∈ Ring → (ℤ/nℤ‘(#‘𝑆)) ∈ Abel)
72, 4, 5, 64syl 19 . . . 4 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (ℤ/nℤ‘(#‘𝑆)) ∈ Abel)
8 hashnncl 13018 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Fin → ((#‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
98biimparc 503 . . . . . . 7 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (#‘𝑆) ∈ ℕ)
10 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Base‘(ℤ/nℤ‘(#‘𝑆))) = (Base‘(ℤ/nℤ‘(#‘𝑆)))
113, 10znhash 19726 . . . . . . 7 ((#‘𝑆) ∈ ℕ → (#‘(Base‘(ℤ/nℤ‘(#‘𝑆)))) = (#‘𝑆))
129, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (#‘(Base‘(ℤ/nℤ‘(#‘𝑆)))) = (#‘𝑆))
1312eqcomd 2616 . . . . 5 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (#‘𝑆) = (#‘(Base‘(ℤ/nℤ‘(#‘𝑆)))))
14 simpr 476 . . . . . 6 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ Fin)
153, 10znfi 19727 . . . . . . 7 ((#‘𝑆) ∈ ℕ → (Base‘(ℤ/nℤ‘(#‘𝑆))) ∈ Fin)
169, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (Base‘(ℤ/nℤ‘(#‘𝑆))) ∈ Fin)
17 hashen 12997 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Fin ∧ (Base‘(ℤ/nℤ‘(#‘𝑆))) ∈ Fin) → ((#‘𝑆) = (#‘(Base‘(ℤ/nℤ‘(#‘𝑆)))) ↔ 𝑆 ≈ (Base‘(ℤ/nℤ‘(#‘𝑆)))))
1814, 16, 17syl2anc 691 . . . . 5 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ((#‘𝑆) = (#‘(Base‘(ℤ/nℤ‘(#‘𝑆)))) ↔ 𝑆 ≈ (Base‘(ℤ/nℤ‘(#‘𝑆)))))
1913, 18mpbid 221 . . . 4 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ≈ (Base‘(ℤ/nℤ‘(#‘𝑆))))
2010isnumbasgrplem1 36690 . . . 4 (((ℤ/nℤ‘(#‘𝑆)) ∈ Abel ∧ 𝑆 ≈ (Base‘(ℤ/nℤ‘(#‘𝑆)))) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))
217, 19, 20syl2anc 691 . . 3 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))
2221adantll 746 . 2 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))
23 2nn0 11186 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
24 eqid 2610 . . . . . . . 8 (ℤ/nℤ‘2) = (ℤ/nℤ‘2)
2524zncrng 19712 . . . . . . 7 (2 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘2) ∈ CRing)
26 crngring 18381 . . . . . . 7 ((ℤ/nℤ‘2) ∈ CRing → (ℤ/nℤ‘2) ∈ Ring)
2723, 25, 26mp2b 10 . . . . . 6 (ℤ/nℤ‘2) ∈ Ring
28 eqid 2610 . . . . . . 7 ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) = ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)
2928frlmlmod 19912 . . . . . 6 (((ℤ/nℤ‘2) ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ dom card) → ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ LMod)
3027, 29mpan 702 . . . . 5 (𝑆 ∈ dom card → ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ LMod)
31 lmodabl 18733 . . . . 5 (((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ LMod → ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ Abel)
3230, 31syl 17 . . . 4 (𝑆 ∈ dom card → ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ Abel)
3332ad2antrr 758 . . 3 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ Abel)
34 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)) = (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆))
3524, 28, 34frlmpwfi 36686 . . . . . 6 (𝑆 ∈ dom card → (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)) ≈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
3635ad2antrr 758 . . . . 5 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)) ≈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
37 simpll 786 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ dom card)
38 numinfctb 36692 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ dom card ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ≼ 𝑆)
3938adantlr 747 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ≼ 𝑆)
40 infpwfien 8768 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑆) → (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ≈ 𝑆)
4137, 39, 40syl2anc 691 . . . . 5 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ≈ 𝑆)
42 entr 7894 . . . . 5 (((Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)) ≈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ≈ 𝑆) → (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)) ≈ 𝑆)
4336, 41, 42syl2anc 691 . . . 4 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)) ≈ 𝑆)
4443ensymd 7893 . . 3 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ≈ (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆)))
4534isnumbasgrplem1 36690 . . 3 ((((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆) ∈ Abel ∧ 𝑆 ≈ (Base‘((ℤ/nℤ‘2) freeLMod 𝑆))) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))
4633, 44, 45syl2anc 691 . 2 (((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))
4722, 46pm2.61dan 828 1 ((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (Base “ Abel))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  cin 3539  c0 3874  𝒫 cpw 4108   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  cima 5041  cfv 5804  (class class class)co 6549  ωcom 6957  cen 7838  cdom 7839  Fincfn 7841  cardccrd 8644  cn 10897  2c2 10947  0cn0 11169  #chash 12979  Basecbs 15695  Abelcabl 18017  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371  LModclmod 18686  ℤ/nczn 19670   freeLMod cfrlm 19909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-seqom 7430  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-hash 12980  df-dvds 14822  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-prds 15931  df-pws 15933  df-imas 15991  df-qus 15992  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-nsg 17415  df-eqg 17416  df-ghm 17481  df-gim 17524  df-gic 17525  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-rnghom 18538  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995  df-rsp 18996  df-2idl 19053  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zrh 19671  df-zn 19674  df-dsmm 19895  df-frlm 19910
This theorem is referenced by:  isnumbasabl  36695  dfacbasgrp  36697
  Copyright terms: Public domain W3C validator