Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfacrp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfacrp2 18289
 Description: The factors 𝐾, 𝐿 of ablfacrp 18288 have the expected orders (which allows for repeated application to decompose 𝐺 into subgroups of prime-power order). Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfacrp.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfacrp.k 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
ablfacrp.l 𝐿 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}
ablfacrp.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfacrp.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
ablfacrp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ablfacrp.1 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
ablfacrp.2 (𝜑 → (#‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
Assertion
Ref Expression
ablfacrp2 (𝜑 → ((#‘𝐾) = 𝑀 ∧ (#‘𝐿) = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ablfacrp2
StepHypRef Expression
1 ablfacrp.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
2 ablfacrp.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
32nnnn0d 11228 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4 ablfacrp.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54nnnn0d 11228 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
63, 5nn0mulcld 11233 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
71, 6eqeltrd 2688 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
8 ablfacrp.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
9 fvex 6113 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) ∈ V
108, 9eqeltri 2684 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
11 hashclb 13011 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
137, 12sylibr 223 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
14 ablfacrp.k . . . . . 6 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
15 ssrab2 3650 . . . . . 6 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ⊆ 𝐵
1614, 15eqsstri 3598 . . . . 5 𝐾𝐵
17 ssfi 8065 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐾𝐵) → 𝐾 ∈ Fin)
1813, 16, 17sylancl 693 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Fin)
19 hashcl 13009 . . . 4 (𝐾 ∈ Fin → (#‘𝐾) ∈ ℕ0)
2018, 19syl 17 . . 3 (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℕ0)
21 ablfacrp.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
222nnzd 11357 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
23 ablfacrp.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (od‘𝐺)
2423, 8oddvdssubg 18081 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
2521, 22, 24syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
2614, 25syl5eqel 2692 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
278lagsubg 17479 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐾) ∥ (#‘𝐵))
2826, 13, 27syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝐾) ∥ (#‘𝐵))
292nncnd 10913 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
304nncnd 10913 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
3129, 30mulcomd 9940 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
321, 31eqtrd 2644 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝐵) = (𝑁 · 𝑀))
3328, 32breqtrd 4609 . . . 4 (𝜑 → (#‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀))
34 ablfacrp.l . . . . 5 𝐿 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}
35 ablfacrp.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
368, 23, 14, 34, 21, 2, 4, 35, 1ablfacrplem 18287 . . . 4 (𝜑 → ((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)
3720nn0zd 11356 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℤ)
384nnzd 11357 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
39 coprmdvds 15204 . . . . 5 (((#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((#‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀) ∧ ((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1) → (#‘𝐾) ∥ 𝑀))
4037, 38, 22, 39syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → (((#‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀) ∧ ((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1) → (#‘𝐾) ∥ 𝑀))
4133, 36, 40mp2and 711 . . 3 (𝜑 → (#‘𝐾) ∥ 𝑀)
4223, 8oddvdssubg 18081 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
4321, 38, 42syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
4434, 43syl5eqel 2692 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺))
458lagsubg 17479 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐿) ∥ (#‘𝐵))
4644, 13, 45syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘𝐿) ∥ (#‘𝐵))
4746, 1breqtrd 4609 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁))
48 gcdcom 15073 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
4922, 38, 48syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
5049, 35eqtr3d 2646 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
518, 23, 34, 14, 21, 4, 2, 50, 32ablfacrplem 18287 . . . . . . 7 (𝜑 → ((#‘𝐿) gcd 𝑀) = 1)
52 ssrab2 3650 . . . . . . . . . . . 12 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ⊆ 𝐵
5334, 52eqsstri 3598 . . . . . . . . . . 11 𝐿𝐵
54 ssfi 8065 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐿𝐵) → 𝐿 ∈ Fin)
5513, 53, 54sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ Fin)
56 hashcl 13009 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ Fin → (#‘𝐿) ∈ ℕ0)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘𝐿) ∈ ℕ0)
5857nn0zd 11356 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘𝐿) ∈ ℤ)
59 coprmdvds 15204 . . . . . . . 8 (((#‘𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((#‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ((#‘𝐿) gcd 𝑀) = 1) → (#‘𝐿) ∥ 𝑁))
6058, 22, 38, 59syl3anc 1318 . . . . . . 7 (𝜑 → (((#‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ((#‘𝐿) gcd 𝑀) = 1) → (#‘𝐿) ∥ 𝑁))
6147, 51, 60mp2and 711 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐿) ∥ 𝑁)
62 dvdscmul 14846 . . . . . . 7 (((#‘𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((#‘𝐿) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (#‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
6358, 38, 22, 62syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → ((#‘𝐿) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (#‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
6461, 63mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 · (#‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
65 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (0g𝐺) = (0g𝐺)
66 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
678, 23, 14, 34, 21, 2, 4, 35, 1, 65, 66ablfacrp 18288 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐾𝐿) = {(0g𝐺)} ∧ (𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿) = 𝐵))
6867simprd 478 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿) = 𝐵)
6968fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿)) = (#‘𝐵))
70 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
7167simpld 474 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾𝐿) = {(0g𝐺)})
7270, 21, 26, 44ablcntzd 18083 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘𝐿))
7366, 65, 70, 26, 44, 71, 72, 18, 55lsmhash 17941 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿)) = ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)))
7469, 73eqtr3d 2646 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐵) = ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)))
7574, 1eqtr3d 2646 . . . . 5 (𝜑 → ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)) = (𝑀 · 𝑁))
7664, 75breqtrrd 4611 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 · (#‘𝐿)) ∥ ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)))
7765subg0cl 17425 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝐿)
78 ne0i 3880 . . . . . . . 8 ((0g𝐺) ∈ 𝐿𝐿 ≠ ∅)
7944, 77, 783syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ≠ ∅)
80 hashnncl 13018 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ Fin → ((#‘𝐿) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ≠ ∅))
8155, 80syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((#‘𝐿) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ≠ ∅))
8279, 81mpbird 246 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐿) ∈ ℕ)
8382nnne0d 10942 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝐿) ≠ 0)
84 dvdsmulcr 14849 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝐿) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐿) ≠ 0)) → ((𝑀 · (#‘𝐿)) ∥ ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)) ↔ 𝑀 ∥ (#‘𝐾)))
8522, 37, 58, 83, 84syl112anc 1322 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 · (#‘𝐿)) ∥ ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)) ↔ 𝑀 ∥ (#‘𝐾)))
8676, 85mpbid 221 . . 3 (𝜑𝑀 ∥ (#‘𝐾))
87 dvdseq 14874 . . 3 ((((#‘𝐾) ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ((#‘𝐾) ∥ 𝑀𝑀 ∥ (#‘𝐾))) → (#‘𝐾) = 𝑀)
8820, 3, 41, 86, 87syl22anc 1319 . 2 (𝜑 → (#‘𝐾) = 𝑀)
89 dvdsmulc 14847 . . . . . . 7 (((#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((#‘𝐾) ∥ 𝑀 → ((#‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
9037, 22, 38, 89syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → ((#‘𝐾) ∥ 𝑀 → ((#‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
9141, 90mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ((#‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁))
9291, 75breqtrrd 4611 . . . 4 (𝜑 → ((#‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)))
9388, 2eqeltrd 2688 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℕ)
9493nnne0d 10942 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝐾) ≠ 0)
95 dvdscmulr 14848 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐿) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐾) ≠ 0)) → (((#‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)) ↔ 𝑁 ∥ (#‘𝐿)))
9638, 58, 37, 94, 95syl112anc 1322 . . . 4 (𝜑 → (((#‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)) ↔ 𝑁 ∥ (#‘𝐿)))
9792, 96mpbid 221 . . 3 (𝜑𝑁 ∥ (#‘𝐿))
98 dvdseq 14874 . . 3 ((((#‘𝐿) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((#‘𝐿) ∥ 𝑁𝑁 ∥ (#‘𝐿))) → (#‘𝐿) = 𝑁)
9957, 5, 61, 97, 98syl22anc 1319 . 2 (𝜑 → (#‘𝐿) = 𝑁)
10088, 99jca 553 1 (𝜑 → ((#‘𝐾) = 𝑀 ∧ (#‘𝐿) = 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  #chash 12979   ∥ cdvds 14821   gcd cgcd 15054  Basecbs 15695  0gc0g 15923  SubGrpcsubg 17411  Cntzccntz 17571  odcod 17767  LSSumclsm 17872  Abelcabl 18017 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-pc 15380  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-eqg 17416  df-ga 17546  df-cntz 17573  df-od 17771  df-lsm 17874  df-pj1 17875  df-cmn 18018  df-abl 18019 This theorem is referenced by:  ablfac1a  18291
 Copyright terms: Public domain W3C validator