Theorem ablfacrp2 18289

Description: The factors 𝐾, 𝐿 of ablfacrp 18288 have the expected orders (which allows for repeated application to decompose 𝐺 into subgroups of prime-power order). Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfacrp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfacrp.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfacrp.k	⊢ 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀}
ablfacrp.l	⊢ 𝐿 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}
ablfacrp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablfacrp.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
ablfacrp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
ablfacrp.1	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
ablfacrp.2	⊢ (𝜑 → (#‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
ablfacrp2	⊢ (𝜑 → ((#‘𝐾) = 𝑀 ∧ (#‘𝐿) = 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ablfacrp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablfacrp.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
2		ablfacrp.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3	2	nnnn0d 11228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		ablfacrp.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 11228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	3, 5	nn0mulcld 11233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
7	1, 6	eqeltrd 2688	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
8		ablfacrp.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
9		fvex 6113	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) ∈ V
10	8, 9	eqeltri 2684	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
11		hashclb 13011	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
13	7, 12	sylibr 223	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
14		ablfacrp.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀}
15		ssrab2 3650	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀} ⊆ 𝐵
16	14, 15	eqsstri 3598	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ⊆ 𝐵
17		ssfi 8065	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐾 ⊆ 𝐵) → 𝐾 ∈ Fin)
18	13, 16, 17	sylancl 693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Fin)
19		hashcl 13009	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Fin → (#‘𝐾) ∈ ℕ0)
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℕ0)
21		ablfacrp.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
22	2	nnzd 11357	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
23		ablfacrp.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
24	23, 8	oddvdssubg 18081	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
25	21, 22, 24	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
26	14, 25	syl5eqel 2692	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
27	8	lagsubg 17479	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐾) ∥ (#‘𝐵))
28	26, 13, 27	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐾) ∥ (#‘𝐵))
29	2	nncnd 10913	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
30	4	nncnd 10913	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
31	29, 30	mulcomd 9940	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
32	1, 31	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐵) = (𝑁 · 𝑀))
33	28, 32	breqtrd 4609	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀))
34		ablfacrp.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}
35		ablfacrp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
36	8, 23, 14, 34, 21, 2, 4, 35, 1	ablfacrplem 18287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)
37	20	nn0zd 11356	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℤ)
38	4	nnzd 11357	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
39		coprmdvds 15204	. . . . 5 ⊢ (((#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((#‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀) ∧ ((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1) → (#‘𝐾) ∥ 𝑀))
40	37, 38, 22, 39	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((#‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀) ∧ ((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1) → (#‘𝐾) ∥ 𝑀))
41	33, 36, 40	mp2and 711	. . 3 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐾) ∥ 𝑀)
42	23, 8	oddvdssubg 18081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
43	21, 38, 42	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
44	34, 43	syl5eqel 2692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺))
45	8	lagsubg 17479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐿) ∥ (#‘𝐵))
46	44, 13, 45	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐿) ∥ (#‘𝐵))
47	46, 1	breqtrd 4609	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁))
48		gcdcom 15073	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
49	22, 38, 48	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
50	49, 35	eqtr3d 2646	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
51	8, 23, 34, 14, 21, 4, 2, 50, 32	ablfacrplem 18287	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐿) gcd 𝑀) = 1)
52		ssrab2 3650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ⊆ 𝐵
53	34, 52	eqsstri 3598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 ⊆ 𝐵
54		ssfi 8065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐿 ⊆ 𝐵) → 𝐿 ∈ Fin)
55	13, 53, 54	sylancl 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Fin)
56		hashcl 13009	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ Fin → (#‘𝐿) ∈ ℕ0)
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐿) ∈ ℕ0)
58	57	nn0zd 11356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐿) ∈ ℤ)
59		coprmdvds 15204	. . . . . . . 8 ⊢ (((#‘𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((#‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ((#‘𝐿) gcd 𝑀) = 1) → (#‘𝐿) ∥ 𝑁))
60	58, 22, 38, 59	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((#‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ((#‘𝐿) gcd 𝑀) = 1) → (#‘𝐿) ∥ 𝑁))
61	47, 51, 60	mp2and 711	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐿) ∥ 𝑁)
62		dvdscmul 14846	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((#‘𝐿) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (#‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
63	58, 38, 22, 62	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐿) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (#‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
64	61, 63	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (#‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
65		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
66		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
67	8, 23, 14, 34, 21, 2, 4, 35, 1, 65, 66	ablfacrp 18288	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∩ 𝐿) = {(0g‘𝐺)} ∧ (𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿) = 𝐵))
68	67	simprd 478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿) = 𝐵)
69	68	fveq2d 6107	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (#‘(𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿)) = (#‘𝐵))
70		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
71	67	simpld 474	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∩ 𝐿) = {(0g‘𝐺)})
72	70, 21, 26, 44	ablcntzd 18083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘𝐿))
73	66, 65, 70, 26, 44, 71, 72, 18, 55	lsmhash 17941	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (#‘(𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿)) = ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)))
74	69, 73	eqtr3d 2646	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐵) = ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)))
75	74, 1	eqtr3d 2646	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)) = (𝑀 · 𝑁))
76	64, 75	breqtrrd 4611	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (#‘𝐿)) ∥ ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)))
77	65	subg0cl 17425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐿)
78		ne0i 3880	. . . . . . . 8 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐿 → 𝐿 ≠ ∅)
79	44, 77, 78	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ ∅)
80		hashnncl 13018	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ Fin → ((#‘𝐿) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ≠ ∅))
81	55, 80	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐿) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ≠ ∅))
82	79, 81	mpbird 246	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐿) ∈ ℕ)
83	82	nnne0d 10942	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐿) ≠ 0)
84		dvdsmulcr 14849	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝐿) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐿) ≠ 0)) → ((𝑀 · (#‘𝐿)) ∥ ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)) ↔ 𝑀 ∥ (#‘𝐾)))
85	22, 37, 58, 83, 84	syl112anc 1322	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · (#‘𝐿)) ∥ ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)) ↔ 𝑀 ∥ (#‘𝐾)))
86	76, 85	mpbid 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (#‘𝐾))
87		dvdseq 14874	. . 3 ⊢ ((((#‘𝐾) ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ((#‘𝐾) ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ (#‘𝐾))) → (#‘𝐾) = 𝑀)
88	20, 3, 41, 86, 87	syl22anc 1319	. 2 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐾) = 𝑀)
89		dvdsmulc 14847	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((#‘𝐾) ∥ 𝑀 → ((#‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
90	37, 22, 38, 89	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐾) ∥ 𝑀 → ((#‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
91	41, 90	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁))
92	91, 75	breqtrrd 4611	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)))
93	88, 2	eqeltrd 2688	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℕ)
94	93	nnne0d 10942	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐾) ≠ 0)
95		dvdscmulr 14848	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐿) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐾) ≠ 0)) → (((#‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)) ↔ 𝑁 ∥ (#‘𝐿)))
96	38, 58, 37, 94, 95	syl112anc 1322	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((#‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)) ↔ 𝑁 ∥ (#‘𝐿)))
97	92, 96	mpbid 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∥ (#‘𝐿))
98		dvdseq 14874	. . 3 ⊢ ((((#‘𝐿) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((#‘𝐿) ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ (#‘𝐿))) → (#‘𝐿) = 𝑁)
99	57, 5, 61, 97, 98	syl22anc 1319	. 2 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐿) = 𝑁)
100	88, 99	jca 553	1 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐾) = 𝑀 ∧ (#‘𝐿) = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  #chash 12979   ∥ cdvds 14821   gcd cgcd 15054  Basecbs 15695  0_gc0g 15923  SubGrpcsubg 17411  Cntzccntz 17571  odcod 17767  LSSumclsm 17872  Abelcabl 18017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-pc 15380  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-eqg 17416  df-ga 17546  df-cntz 17573  df-od 17771  df-lsm 17874  df-pj1 17875  df-cmn 18018  df-abl 18019

This theorem is referenced by:  ablfac1a  18291