Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfacrp2 Structured version   Unicode version

Theorem ablfacrp2 17330
 Description: The factors of ablfacrp 17329 have the expected orders (which allows for repeated application to decompose into subgroups of prime-power order). Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b
ablfacrp.o
ablfacrp.k
ablfacrp.l
ablfacrp.g
ablfacrp.m
ablfacrp.n
ablfacrp.1
ablfacrp.2
Assertion
Ref Expression
ablfacrp2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem ablfacrp2
StepHypRef Expression
1 ablfacrp.2 . . . . . . 7
2 ablfacrp.m . . . . . . . . 9
32nnnn0d 10813 . . . . . . . 8
4 ablfacrp.n . . . . . . . . 9
54nnnn0d 10813 . . . . . . . 8
63, 5nn0mulcld 10818 . . . . . . 7
71, 6eqeltrd 2490 . . . . . 6
8 ablfacrp.b . . . . . . . 8
9 fvex 5815 . . . . . . . 8
108, 9eqeltri 2486 . . . . . . 7
11 hashclb 12384 . . . . . . 7
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6
137, 12sylibr 212 . . . . 5
14 ablfacrp.k . . . . . 6
15 ssrab2 3523 . . . . . 6
1614, 15eqsstri 3471 . . . . 5
17 ssfi 7695 . . . . 5
1813, 16, 17sylancl 660 . . . 4
19 hashcl 12382 . . . 4
2018, 19syl 17 . . 3
21 ablfacrp.g . . . . . . . 8
222nnzd 10927 . . . . . . . 8
23 ablfacrp.o . . . . . . . . 9
2423, 8oddvdssubg 17077 . . . . . . . 8 SubGrp
2521, 22, 24syl2anc 659 . . . . . . 7 SubGrp
2614, 25syl5eqel 2494 . . . . . 6 SubGrp
278lagsubg 16479 . . . . . 6 SubGrp
2826, 13, 27syl2anc 659 . . . . 5
292nncnd 10512 . . . . . . 7
304nncnd 10512 . . . . . . 7
3129, 30mulcomd 9567 . . . . . 6
321, 31eqtrd 2443 . . . . 5
3328, 32breqtrd 4418 . . . 4
34 ablfacrp.l . . . . 5
35 ablfacrp.1 . . . . 5
368, 23, 14, 34, 21, 2, 4, 35, 1ablfacrplem 17328 . . . 4
3720nn0zd 10926 . . . . 5
384nnzd 10927 . . . . 5
39 coprmdvds 14344 . . . . 5
4037, 38, 22, 39syl3anc 1230 . . . 4
4133, 36, 40mp2and 677 . . 3
4223, 8oddvdssubg 17077 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
4321, 38, 42syl2anc 659 . . . . . . . . . 10 SubGrp
4434, 43syl5eqel 2494 . . . . . . . . 9 SubGrp
458lagsubg 16479 . . . . . . . . 9 SubGrp
4644, 13, 45syl2anc 659 . . . . . . . 8
4746, 1breqtrd 4418 . . . . . . 7
48 gcdcom 14259 . . . . . . . . . 10
4922, 38, 48syl2anc 659 . . . . . . . . 9
5049, 35eqtr3d 2445 . . . . . . . 8
518, 23, 34, 14, 21, 4, 2, 50, 32ablfacrplem 17328 . . . . . . 7
52 ssrab2 3523 . . . . . . . . . . . 12
5334, 52eqsstri 3471 . . . . . . . . . . 11
54 ssfi 7695 . . . . . . . . . . 11
5513, 53, 54sylancl 660 . . . . . . . . . 10
56 hashcl 12382 . . . . . . . . . 10
5755, 56syl 17 . . . . . . . . 9
5857nn0zd 10926 . . . . . . . 8
59 coprmdvds 14344 . . . . . . . 8
6058, 22, 38, 59syl3anc 1230 . . . . . . 7
6147, 51, 60mp2and 677 . . . . . 6
62 dvdscmul 14111 . . . . . . 7
6358, 38, 22, 62syl3anc 1230 . . . . . 6
6461, 63mpd 15 . . . . 5
65 eqid 2402 . . . . . . . . . 10
66 eqid 2402 . . . . . . . . . 10
678, 23, 14, 34, 21, 2, 4, 35, 1, 65, 66ablfacrp 17329 . . . . . . . . 9
6867simprd 461 . . . . . . . 8
6968fveq2d 5809 . . . . . . 7
70 eqid 2402 . . . . . . . 8 Cntz Cntz
7167simpld 457 . . . . . . . 8
7270, 21, 26, 44ablcntzd 17079 . . . . . . . 8 Cntz
7366, 65, 70, 26, 44, 71, 72, 18, 55lsmhash 16939 . . . . . . 7
7469, 73eqtr3d 2445 . . . . . 6
7574, 1eqtr3d 2445 . . . . 5
7664, 75breqtrrd 4420 . . . 4
7765subg0cl 16425 . . . . . . . 8 SubGrp
78 ne0i 3743 . . . . . . . 8
7944, 77, 783syl 20 . . . . . . 7
80 hashnncl 12391 . . . . . . . 8
8155, 80syl 17 . . . . . . 7
8279, 81mpbird 232 . . . . . 6
8382nnne0d 10541 . . . . 5
84 dvdsmulcr 14114 . . . . 5
8522, 37, 58, 83, 84syl112anc 1234 . . . 4
8676, 85mpbid 210 . . 3
87 dvdseq 14134 . . 3
8820, 3, 41, 86, 87syl22anc 1231 . 2
89 dvdsmulc 14112 . . . . . . 7
9037, 22, 38, 89syl3anc 1230 . . . . . 6
9141, 90mpd 15 . . . . 5
9291, 75breqtrrd 4420 . . . 4
9388, 2eqeltrd 2490 . . . . . 6
9493nnne0d 10541 . . . . 5
95 dvdscmulr 14113 . . . . 5
9638, 58, 37, 94, 95syl112anc 1234 . . . 4
9792, 96mpbid 210 . . 3
98 dvdseq 14134 . . 3
9957, 5, 61, 97, 98syl22anc 1231 . 2
10088, 99jca 530 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598  crab 2757  cvv 3058   cin 3412   wss 3413  c0 3737  csn 3971   class class class wbr 4394  cfv 5525  (class class class)co 6234  cfn 7474  cc0 9442  c1 9443   cmul 9447  cn 10496  cn0 10756  cz 10825  chash 12359   cdvds 14087   cgcd 14245  cbs 14733  c0g 14946  SubGrpcsubg 16411  Cntzccntz 16569  cod 16765  clsm 16870  cabl 17015 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-disj 4366  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-omul 7092  df-er 7268  df-ec 7270  df-qs 7274  df-map 7379  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-acn 8275  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-q 11146  df-rp 11184  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-fl 11879  df-mod 11948  df-seq 12062  df-exp 12121  df-fac 12308  df-bc 12335  df-hash 12360  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-clim 13367  df-sum 13565  df-dvds 14088  df-gcd 14246  df-prm 14319  df-pc 14462  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-0g 14948  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-submnd 16183  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-sbg 16275  df-mulg 16276  df-subg 16414  df-eqg 16416  df-ga 16544  df-cntz 16571  df-od 16769  df-lsm 16872  df-pj1 16873  df-cmn 17016  df-abl 17017 This theorem is referenced by:  ablfac1a  17332
 Copyright terms: Public domain W3C validator