Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgval 12982
 Description: The value of the # function in terms of the mapping 𝐺 from ω to ℕ0. The proof avoids the use of ax-ac 9164. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
hashgval.1 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
hashgval (𝐴 ∈ Fin → (𝐺‘(card‘𝐴)) = (#‘𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem hashgval
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resundir 5331 . . . . . 6 ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ↾ Fin) = ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin))
2 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
3 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
42, 3hashkf 12981 . . . . . . . . 9 ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0
5 ffn 5958 . . . . . . . . 9 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) Fn Fin)
6 fnresdm 5914 . . . . . . . . 9 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) Fn Fin → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card))
74, 5, 6mp2b 10 . . . . . . . 8 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
8 incom 3767 . . . . . . . . . 10 ((V ∖ Fin) ∩ Fin) = (Fin ∩ (V ∖ Fin))
9 disjdif 3992 . . . . . . . . . 10 (Fin ∩ (V ∖ Fin)) = ∅
108, 9eqtri 2632 . . . . . . . . 9 ((V ∖ Fin) ∩ Fin) = ∅
11 pnfex 9972 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ V
1211fconst 6004 . . . . . . . . . 10 ((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞}
13 ffn 5958 . . . . . . . . . 10 (((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞} → ((V ∖ Fin) × {+∞}) Fn (V ∖ Fin))
14 fnresdisj 5915 . . . . . . . . . 10 (((V ∖ Fin) × {+∞}) Fn (V ∖ Fin) → (((V ∖ Fin) ∩ Fin) = ∅ ↔ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin) = ∅))
1512, 13, 14mp2b 10 . . . . . . . . 9 (((V ∖ Fin) ∩ Fin) = ∅ ↔ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin) = ∅)
1610, 15mpbi 219 . . . . . . . 8 (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin) = ∅
177, 16uneq12i 3727 . . . . . . 7 ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin)) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ∅)
18 un0 3919 . . . . . . 7 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ∅) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
1917, 18eqtri 2632 . . . . . 6 ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin)) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
201, 19eqtri 2632 . . . . 5 ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ↾ Fin) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
21 df-hash 12980 . . . . . 6 # = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞}))
2221reseq1i 5313 . . . . 5 (# ↾ Fin) = ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ↾ Fin)
23 hashgval.1 . . . . . 6 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2423coeq1i 5203 . . . . 5 (𝐺 ∘ card) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
2520, 22, 243eqtr4i 2642 . . . 4 (# ↾ Fin) = (𝐺 ∘ card)
2625fveq1i 6104 . . 3 ((# ↾ Fin)‘𝐴) = ((𝐺 ∘ card)‘𝐴)
27 cardf2 8652 . . . . 5 card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦𝑥}⟶On
28 ffun 5961 . . . . 5 (card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦𝑥}⟶On → Fun card)
2927, 28ax-mp 5 . . . 4 Fun card
30 finnum 8657 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
31 fvco 6184 . . . 4 ((Fun card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → ((𝐺 ∘ card)‘𝐴) = (𝐺‘(card‘𝐴)))
3229, 30, 31sylancr 694 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((𝐺 ∘ card)‘𝐴) = (𝐺‘(card‘𝐴)))
3326, 32syl5eq 2656 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((# ↾ Fin)‘𝐴) = (𝐺‘(card‘𝐴)))
34 fvres 6117 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((# ↾ Fin)‘𝐴) = (#‘𝐴))
3533, 34eqtr3d 2646 1 (𝐴 ∈ Fin → (𝐺‘(card‘𝐴)) = (#‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  dom cdm 5038   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  Oncon0 5640  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ωcom 6957  reccrdg 7392   ≈ cen 7838  Fincfn 7841  cardccrd 8644  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  +∞cpnf 9950  ℕ0cn0 11169  #chash 12979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-hash 12980 This theorem is referenced by:  hashginv  12983  hashfz1  12996  hashen  12997  hashcard  13008  hashcl  13009  hashgval2  13028  hashdom  13029  hashun  13032  fz1isolem  13102
 Copyright terms: Public domain W3C validator