MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashcl Structured version   Unicode version

Theorem hashcl 12109
Description: Closure of the  # function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashcl  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )

Proof of Theorem hashcl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2433 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
21hashgval 12089 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  =  ( # `  A
) )
3 ficardom 8119 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( card `  A )  e. 
om )
41hashgf1o 11776 . . . . 5  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0
5 f1of 5629 . . . . 5  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  ->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om --> NN0 )
64, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om --> NN0
76ffvelrni 5830 . . 3  |-  ( (
card `  A )  e.  om  ->  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )  e.  NN0 )
83, 7syl 16 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  e.  NN0 )
92, 8eqeltrrd 2508 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1755   _Vcvv 2962    e. cmpt 4338    |` cres 4829   -->wf 5402   -1-1-onto->wf1o 5405   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   omcom 6465   reccrdg 6851   Fincfn 7298   cardccrd 8093   0cc0 9269   1c1 9270    + caddc 9272   NN0cn0 10566   #chash 12086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-card 8097  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-nn 10310  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849  df-hash 12087
This theorem is referenced by:  hashclb  12111  hashnncl  12117  hashdom  12125  hashsdom  12127  hashun2  12129  hashun3  12130  hashunx  12132  hashssdif  12150  hashunlei  12158  hashsslei  12159  hashge2el2dif  12167  hashtpg  12169  hashxplem  12178  hashmap  12180  hashfun  12182  hashbclem  12188  hashf1lem2  12192  hashf1  12193  hashfac  12194  fz1isolem  12197  seqcoll2  12200  brfi1uzind  12202  lencl  12232  ccatcl  12257  ccatval1  12259  ccatval2  12260  splfv1  12380  splfv2a  12381  isercoll  13128  fz1f1o  13170  o1fsum  13258  hashiun  13267  ackbijnn  13273  incexclem  13281  incexc  13282  incexc2  13283  climcndslem1  13294  climcndslem2  13295  phicl2  13825  phiprmpw  13833  sumhash  13940  prmreclem3  13961  prmreclem4  13962  prmreclem5  13963  4sqlem11  13998  vdwlem11  14034  vdwlem12  14035  vdwlem13  14036  ramlb  14062  0ram  14063  ramub1lem1  14069  ramub1lem2  14070  lagsubg2  15721  lagsubg  15722  psgnunilem4  15982  odhash3  16054  gexdvds3  16068  sylow1lem1  16076  sylow1lem5  16080  pgpfi  16083  pgpssslw  16092  sylow2alem2  16096  sylow2a  16097  sylow2blem3  16100  sylow3lem3  16107  sylow3lem4  16108  sylow3lem6  16110  cyggex2  16352  ablfacrplem  16539  ablfacrp2  16541  ablfac1c  16545  ablfac1eulem  16546  ablfac1eu  16547  pgpfac1lem2  16549  pgpfaclem2  16556  ablfaclem3  16561  cygznlem1  17840  cygznlem2a  17841  cygznlem3  17843  cygth  17845  tsmsxp  19570  fta1glem2  21522  fta1blem  21524  fta1lem  21657  vieta1lem2  21661  birthday  22232  ppif  22352  isnsqf  22357  muf  22362  0sgm  22366  mule1  22370  ppidif  22385  mumul  22403  musum  22415  ppiub  22427  chpub  22443  dchrabs  22483  sumdchr2  22493  dchrhash  22494  lgsquadlem1  22577  lgsquadlem2  22578  lgsquadlem3  22579  rpvmasum2  22645  dchrisum0re  22646  pntlemr  22735  pntlemj  22736  fiusgraedgfi  23142  cusgrasizeinds  23206  spthispth  23294  vdgrfival  23389  vdgrfif  23391  vdgrfiun  23394  konigsberg  23430  esumcst  26367  hasheuni  26387  coinfliplem  26708  coinflippv  26713  ballotlemfelz  26720  ballotlemfp1  26721  ballotlemgun  26754  ballotth  26767  ofccat  26788  ofcccat  26789  signshf  26836  derangf  26903  derangen2  26909  subfacp1lem1  26914  erdszelem8  26933  erdsze2lem1  26938  snmlff  27065  rrnequiv  28575  rrntotbnd  28576  eldioph2lem1  28940  isnumbasgrplem3  29303  stoweidlem26  29664  hash1to3  30078  wrdnfi  30319  clwwlkndivn  30354  nbhashuvtx1  30376  frghash2spot  30499  usgreghash2spotv  30502  frgregordn0  30506  numclwwlk1  30534  numclwwlk3  30545  numclwwlk5  30548  numclwwlk6  30549  frgrareg  30553  frgraregord013  30554  frgraogt3nreg  30556  friendshipgt3  30557  friendship  30558  pgrple2abel  30596  pgrpgt2nabel  30597  0rngnnzr  30606
  Copyright terms: Public domain W3C validator