MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashcl Structured version   Unicode version

Theorem hashcl 12431
Description: Closure of the  # function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashcl  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )

Proof of Theorem hashcl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
21hashgval 12411 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  =  ( # `  A
) )
3 ficardom 8359 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( card `  A )  e. 
om )
41hashgf1o 12084 . . . . 5  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0
5 f1of 5822 . . . . 5  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  ->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om --> NN0 )
64, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om --> NN0
76ffvelrni 6031 . . 3  |-  ( (
card `  A )  e.  om  ->  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )  e.  NN0 )
83, 7syl 16 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  e.  NN0 )
92, 8eqeltrrd 2546 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    |-> cmpt 4515    |` cres 5010   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   omcom 6699   reccrdg 7093   Fincfn 7535   cardccrd 8333   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512   NN0cn0 10816   #chash 12408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-hash 12409
This theorem is referenced by:  hashclb  12433  hashnncl  12439  hashdom  12450  hashsdom  12452  hashun2  12454  hashun3  12455  hashunx  12457  1elfz0hash  12461  hashssdif  12479  hashunlei  12487  hashsslei  12488  hashxplem  12495  hashmap  12497  hashfun  12499  hashbclem  12505  hashf1lem2  12509  hashf1  12510  hashfac  12511  fz1isolem  12514  seqcoll2  12517  hashge2el2dif  12525  hashtpg  12527  hash1to3  12534  brfi1uzind  12536  lencl  12569  wrdnfi  12582  ccatval2  12605  splfv1  12743  splfv2a  12744  isercoll  13502  fz1f1o  13544  o1fsum  13639  hashiun  13648  ackbijnn  13652  incexclem  13660  incexc  13661  incexc2  13662  climcndslem1  13673  climcndslem2  13674  phicl2  14310  phiprmpw  14318  sumhash  14427  prmreclem3  14448  prmreclem4  14449  prmreclem5  14450  4sqlem11  14485  vdwlem11  14521  vdwlem12  14522  vdwlem13  14523  ramlb  14549  0ram  14550  ramub1lem1  14556  ramub1lem2  14557  lagsubg2  16389  lagsubg  16390  psgnunilem4  16649  odhash3  16723  gexdvds3  16737  sylow1lem1  16745  sylow1lem5  16749  pgpfi  16752  pgpssslw  16761  sylow2alem2  16765  sylow2a  16766  sylow2blem3  16769  sylow3lem3  16776  sylow3lem4  16777  sylow3lem6  16779  cyggex2  17026  ablfacrplem  17243  ablfacrp2  17245  ablfac1c  17249  ablfac1eulem  17250  ablfac1eu  17251  pgpfac1lem2  17253  pgpfaclem2  17260  ablfaclem3  17265  0ringnnzr  18044  cygznlem1  18732  cygznlem2a  18733  cygznlem3  18735  cygth  18737  mdet1  19230  chpscmatgsumbin  19472  chpscmatgsummon  19473  tsmsxp  20783  fta1glem2  22693  fta1blem  22695  fta1lem  22829  vieta1lem2  22833  birthday  23410  ppif  23530  isnsqf  23535  muf  23540  0sgm  23544  mule1  23548  ppidif  23563  mumul  23581  musum  23593  ppiub  23605  chpub  23621  dchrabs  23661  sumdchr2  23671  dchrhash  23672  lgsquadlem1  23755  lgsquadlem2  23756  lgsquadlem3  23757  rpvmasum2  23823  dchrisum0re  23824  pntlemr  23913  pntlemj  23914  fiusgraedgfi  24534  cusgrasizeinds  24603  spthispth  24702  clwwlkndivn  24964  vdgrfival  25024  vdgrfif  25026  vdgrfiun  25029  nbhashuvtx1  25042  konigsberg  25114  frghash2spot  25190  usgreghash2spotv  25193  frgregordn0  25197  numclwwlk1  25225  numclwwlk3  25236  numclwwlk5  25239  numclwwlk6  25240  frgrareg  25244  frgraregord013  25245  frgraogt3nreg  25247  friendshipgt3  25248  friendship  25249  esumcst  28235  hasheuni  28257  coinfliplem  28614  coinflippv  28619  ballotlemfelz  28626  ballotlemfp1  28627  ballotlemgun  28660  ballotth  28673  ofccat  28694  ofcccat  28695  signshf  28742  derangf  28809  derangen2  28815  subfacp1lem1  28820  erdszelem8  28839  erdsze2lem1  28844  snmlff  28971  rrnequiv  30536  rrntotbnd  30537  eldioph2lem1  30898  isnumbasgrplem3  31258  fzisoeu  31703  stoweidlem26  32011  fourierdlem36  32128  fourierdlem52  32144  fourierdlem102  32194  fourierdlem114  32206  fiusgedgfiALT  32695  pgrple2abl  33102  pgrpgt2nabl  33103  rp-isfinite4  37902  rp-isfinite5  37903
  Copyright terms: Public domain W3C validator