MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashcl Structured version   Unicode version

Theorem hashcl 12535
Description: Closure of the  # function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashcl  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )

Proof of Theorem hashcl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
21hashgval 12515 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  =  ( # `  A
) )
3 ficardom 8394 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( card `  A )  e. 
om )
41hashgf1o 12181 . . . . 5  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0
5 f1of 5831 . . . . 5  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  ->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om --> NN0 )
64, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om --> NN0
76ffvelrni 6036 . . 3  |-  ( (
card `  A )  e.  om  ->  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )  e.  NN0 )
83, 7syl 17 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  e.  NN0 )
92, 8eqeltrrd 2518 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1870   _Vcvv 3087    |-> cmpt 4484    |` cres 4856   -->wf 5597   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   omcom 6706   reccrdg 7135   Fincfn 7577   cardccrd 8368   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541   NN0cn0 10869   #chash 12512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-hash 12513
This theorem is referenced by:  hashclb  12537  isfinite4  12540  hashnncl  12544  hashdom  12555  hashsdom  12557  hashun2  12559  hashun3  12560  hashunx  12562  1elfz0hash  12566  hashssdif  12584  hashunlei  12592  hashsslei  12593  hashxplem  12600  hashmap  12602  hashfun  12604  hashbclem  12610  hashf1lem2  12614  hashf1  12615  hashfac  12616  fz1isolem  12619  seqcoll2  12622  hashge2el2dif  12630  hashtpg  12632  hash1to3  12639  brfi1uzind  12641  lencl  12674  wrdnfi  12687  ccatval2  12710  splfv1  12847  splfv2a  12848  isercoll  13709  fz1f1o  13754  o1fsum  13851  hashiun  13860  ackbijnn  13864  incexclem  13872  incexc  13873  incexc2  13874  climcndslem1  13885  climcndslem2  13886  phicl2  14685  phiprmpw  14693  sumhash  14804  prmreclem3  14825  prmreclem4  14826  prmreclem5  14827  4sqlem11  14862  vdwlem11  14904  vdwlem12  14905  vdwlem13  14906  ramlb  14940  0ram  14941  ramub1lem1  14947  ramub1lem2  14948  lagsubg2  16829  lagsubg  16830  psgnunilem4  17089  odhash3  17163  gexdvds3  17177  sylow1lem1  17185  sylow1lem5  17189  pgpfi  17192  pgpssslw  17201  sylow2alem2  17205  sylow2a  17206  sylow2blem3  17209  sylow3lem3  17216  sylow3lem4  17217  sylow3lem6  17219  cyggex2  17466  ablfacrplem  17633  ablfacrp2  17635  ablfac1c  17639  ablfac1eulem  17640  ablfac1eu  17641  pgpfac1lem2  17643  pgpfaclem2  17650  ablfaclem3  17655  0ringnnzr  18428  cygznlem1  19068  cygznlem2a  19069  cygznlem3  19071  cygth  19073  mdet1  19557  chpscmatgsumbin  19799  chpscmatgsummon  19800  tsmsxp  21100  fta1glem2  22992  fta1blem  22994  fta1lem  23128  vieta1lem2  23132  birthday  23745  ppif  23920  isnsqf  23925  muf  23930  0sgm  23934  mule1  23938  ppidif  23953  mumul  23971  musum  23983  ppiub  23995  chpub  24011  dchrabs  24051  sumdchr2  24061  dchrhash  24062  lgsquadlem1  24145  lgsquadlem2  24146  lgsquadlem3  24147  rpvmasum2  24213  dchrisum0re  24214  pntlemr  24303  pntlemj  24304  fiusgraedgfi  24980  cusgrasizeinds  25049  spthispth  25148  clwwlkndivn  25410  vdgrfival  25470  vdgrfif  25472  vdgrfiun  25475  nbhashuvtx1  25488  konigsberg  25560  frghash2spot  25636  usgreghash2spotv  25639  frgregordn0  25643  numclwwlk1  25671  numclwwlk3  25682  numclwwlk5  25685  numclwwlk6  25686  frgrareg  25690  frgraregord013  25691  frgraogt3nreg  25693  friendshipgt3  25694  friendship  25695  esumcst  28723  hasheuni  28745  coinfliplem  29137  coinflippv  29142  ballotlemfelz  29149  ballotlemfp1  29150  ballotlemgun  29183  ballotth  29196  ofccat  29217  ofcccat  29218  signshf  29265  derangf  29679  derangen2  29685  subfacp1lem1  29690  erdszelem8  29709  erdsze2lem1  29714  snmlff  29840  poimirlem26  31669  poimirlem27  31670  poimirlem28  31671  rrnequiv  31870  rrntotbnd  31871  eldioph2lem1  35310  isnumbasgrplem3  35669  rp-isfinite5  35860  fzisoeu  37126  stoweidlem26  37454  fourierdlem36  37573  fourierdlem52  37589  fourierdlem102  37639  fourierdlem114  37651  fiusgedgfiALT  38502  pgrple2abl  38909  pgrpgt2nabl  38910
  Copyright terms: Public domain W3C validator