MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashcl Structured version   Unicode version

Theorem hashcl 12396
Description: Closure of the  # function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashcl  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )

Proof of Theorem hashcl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
21hashgval 12376 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  =  ( # `  A
) )
3 ficardom 8342 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( card `  A )  e. 
om )
41hashgf1o 12049 . . . . 5  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0
5 f1of 5816 . . . . 5  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  ->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om --> NN0 )
64, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om --> NN0
76ffvelrni 6020 . . 3  |-  ( (
card `  A )  e.  om  ->  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )  e.  NN0 )
83, 7syl 16 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  e.  NN0 )
92, 8eqeltrrd 2556 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    |-> cmpt 4505    |` cres 5001   -->wf 5584   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   omcom 6684   reccrdg 7075   Fincfn 7516   cardccrd 8316   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495   NN0cn0 10795   #chash 12373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-hash 12374
This theorem is referenced by:  hashclb  12398  hashnncl  12404  hashdom  12415  hashsdom  12417  hashun2  12419  hashun3  12420  hashunx  12422  hashssdif  12440  hashunlei  12448  hashsslei  12449  hashxplem  12457  hashmap  12459  hashfun  12461  hashbclem  12467  hashf1lem2  12471  hashf1  12472  hashfac  12473  fz1isolem  12476  seqcoll2  12479  hashge2el2dif  12487  hashtpg  12489  hash1to3  12496  brfi1uzind  12498  lencl  12528  wrdnfi  12539  ccatcl  12558  ccatval1  12560  ccatval2  12561  splfv1  12694  splfv2a  12695  isercoll  13453  fz1f1o  13495  o1fsum  13590  hashiun  13599  ackbijnn  13603  incexclem  13611  incexc  13612  incexc2  13613  climcndslem1  13624  climcndslem2  13625  phicl2  14157  phiprmpw  14165  sumhash  14274  prmreclem3  14295  prmreclem4  14296  prmreclem5  14297  4sqlem11  14332  vdwlem11  14368  vdwlem12  14369  vdwlem13  14370  ramlb  14396  0ram  14397  ramub1lem1  14403  ramub1lem2  14404  lagsubg2  16067  lagsubg  16068  psgnunilem4  16328  odhash3  16402  gexdvds3  16416  sylow1lem1  16424  sylow1lem5  16428  pgpfi  16431  pgpssslw  16440  sylow2alem2  16444  sylow2a  16445  sylow2blem3  16448  sylow3lem3  16455  sylow3lem4  16456  sylow3lem6  16458  cyggex2  16702  ablfacrplem  16918  ablfacrp2  16920  ablfac1c  16924  ablfac1eulem  16925  ablfac1eu  16926  pgpfac1lem2  16928  pgpfaclem2  16935  ablfaclem3  16940  0rngnnzr  17716  cygznlem1  18400  cygznlem2a  18401  cygznlem3  18403  cygth  18405  mdet1  18898  chpscmatgsumbin  19140  chpscmatgsummon  19141  tsmsxp  20420  fta1glem2  22330  fta1blem  22332  fta1lem  22465  vieta1lem2  22469  birthday  23040  ppif  23160  isnsqf  23165  muf  23170  0sgm  23174  mule1  23178  ppidif  23193  mumul  23211  musum  23223  ppiub  23235  chpub  23251  dchrabs  23291  sumdchr2  23301  dchrhash  23302  lgsquadlem1  23385  lgsquadlem2  23386  lgsquadlem3  23387  rpvmasum2  23453  dchrisum0re  23454  pntlemr  23543  pntlemj  23544  fiusgraedgfi  24111  cusgrasizeinds  24180  spthispth  24279  clwwlkndivn  24541  vdgrfival  24601  vdgrfif  24603  vdgrfiun  24606  nbhashuvtx1  24619  konigsberg  24691  frghash2spot  24768  usgreghash2spotv  24771  frgregordn0  24775  numclwwlk1  24803  numclwwlk3  24814  numclwwlk5  24817  numclwwlk6  24818  frgrareg  24822  frgraregord013  24823  frgraogt3nreg  24825  friendshipgt3  24826  friendship  24827  esumcst  27739  hasheuni  27759  coinfliplem  28085  coinflippv  28090  ballotlemfelz  28097  ballotlemfp1  28098  ballotlemgun  28131  ballotth  28144  ofccat  28165  ofcccat  28166  signshf  28213  derangf  28280  derangen2  28286  subfacp1lem1  28291  erdszelem8  28310  erdsze2lem1  28315  snmlff  28442  rrnequiv  29962  rrntotbnd  29963  eldioph2lem1  30325  isnumbasgrplem3  30686  hashssle  31102  fzisoeu  31105  stoweidlem26  31354  fourierdlem36  31471  fourierdlem52  31487  fourierdlem54  31489  fourierdlem102  31537  fourierdlem114  31549  fiusgedgfiALT  31928  pgrple2abl  32055  pgrpgt2nabl  32056
  Copyright terms: Public domain W3C validator