MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashcl Unicode version

Theorem hashcl 11594
Description: Closure of the  # function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashcl  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )

Proof of Theorem hashcl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
21hashgval 11576 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  =  ( # `  A
) )
3 ficardom 7804 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( card `  A )  e. 
om )
41hashgf1o 11265 . . . . 5  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0
5 f1of 5633 . . . . 5  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  ->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om --> NN0 )
64, 5ax-mp 8 . . . 4  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om --> NN0
76ffvelrni 5828 . . 3  |-  ( (
card `  A )  e.  om  ->  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )  e.  NN0 )
83, 7syl 16 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  e.  NN0 )
92, 8eqeltrrd 2479 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    e. cmpt 4226   omcom 4804    |` cres 4839   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   reccrdg 6626   Fincfn 7068   cardccrd 7778   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949   NN0cn0 10177   #chash 11573
This theorem is referenced by:  hashclb  11596  hashnncl  11600  hashdom  11608  hashsdom  11610  hashun2  11612  hashun3  11613  hashunx  11615  hashssdif  11632  hashunlei  11639  hashsslei  11640  hashtpg  11646  hashxplem  11651  hashmap  11653  hashfun  11655  hashbclem  11656  hashf1lem2  11660  hashf1  11661  hashfac  11662  fz1isolem  11665  seqcoll2  11668  brfi1uzind  11670  lencl  11690  ccatcl  11698  ccatval1  11700  ccatval2  11701  splfv1  11739  splfv2a  11740  isercoll  12416  fz1f1o  12459  o1fsum  12547  hashiun  12556  ackbijnn  12562  incexclem  12571  incexc  12572  incexc2  12573  climcndslem1  12584  climcndslem2  12585  phicl2  13112  phiprmpw  13120  sumhash  13220  prmreclem3  13241  prmreclem4  13242  prmreclem5  13243  4sqlem11  13278  vdwlem11  13314  vdwlem12  13315  vdwlem13  13316  ramlb  13342  0ram  13343  ramub1lem1  13349  ramub1lem2  13350  lagsubg2  14956  lagsubg  14957  odhash3  15165  gexdvds3  15179  sylow1lem1  15187  sylow1lem5  15191  pgpfi  15194  pgpssslw  15203  sylow2alem2  15207  sylow2a  15208  sylow2blem3  15211  sylow3lem3  15218  sylow3lem4  15219  sylow3lem6  15221  cyggex2  15461  ablfacrplem  15578  ablfacrp2  15580  ablfac1c  15584  ablfac1eulem  15585  ablfac1eu  15586  pgpfac1lem2  15588  pgpfaclem2  15595  ablfaclem3  15600  cygznlem1  16802  cygznlem2a  16803  cygznlem3  16805  cygth  16807  tsmsxp  18137  fta1glem2  20042  fta1blem  20044  fta1lem  20177  vieta1lem2  20181  birthday  20746  ppif  20866  isnsqf  20871  muf  20876  0sgm  20880  mule1  20884  ppidif  20899  mumul  20917  musum  20929  ppiub  20941  chpub  20957  dchrabs  20997  sumdchr2  21007  dchrhash  21008  lgsquadlem1  21091  lgsquadlem2  21092  lgsquadlem3  21093  rpvmasum2  21159  dchrisum0re  21160  pntlemr  21249  pntlemj  21250  fiusgraedgfi  21374  cusgrasizeinds  21438  spthispth  21526  vdgrfival  21621  vdgrfif  21623  vdgrfiun  21626  konigsberg  21662  esumcst  24408  hasheuni  24428  coinfliplem  24689  coinflippv  24694  ballotlemfelz  24701  ballotlemfp1  24702  ballotlemgun  24735  ballotth  24748  derangf  24807  derangen2  24813  subfacp1lem1  24818  erdszelem8  24837  erdsze2lem1  24842  snmlff  24969  rrnequiv  26434  rrntotbnd  26435  eldioph2lem1  26708  isnumbasgrplem3  27138  psgnunilem4  27288  stoweidlem26  27642  frghash2spot  28166  usgreghash2spotv  28169  frgregordn0  28173
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-hash 11574
  Copyright terms: Public domain W3C validator