MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashcl Structured version   Unicode version

Theorem hashcl 12147
Description: Closure of the  # function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashcl  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )

Proof of Theorem hashcl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
21hashgval 12127 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  =  ( # `  A
) )
3 ficardom 8152 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( card `  A )  e. 
om )
41hashgf1o 11814 . . . . 5  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0
5 f1of 5662 . . . . 5  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  ->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om --> NN0 )
64, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om --> NN0
76ffvelrni 5863 . . 3  |-  ( (
card `  A )  e.  om  ->  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )  e.  NN0 )
83, 7syl 16 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  e.  NN0 )
92, 8eqeltrrd 2518 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   _Vcvv 2993    e. cmpt 4371    |` cres 4863   -->wf 5435   -1-1-onto->wf1o 5438   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   omcom 6497   reccrdg 6886   Fincfn 7331   cardccrd 8126   0cc0 9303   1c1 9304    + caddc 9306   NN0cn0 10600   #chash 12124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-card 8130  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-hash 12125
This theorem is referenced by:  hashclb  12149  hashnncl  12155  hashdom  12163  hashsdom  12165  hashun2  12167  hashun3  12168  hashunx  12170  hashssdif  12188  hashunlei  12196  hashsslei  12197  hashge2el2dif  12205  hashtpg  12207  hashxplem  12216  hashmap  12218  hashfun  12220  hashbclem  12226  hashf1lem2  12230  hashf1  12231  hashfac  12232  fz1isolem  12235  seqcoll2  12238  brfi1uzind  12240  lencl  12270  ccatcl  12295  ccatval1  12297  ccatval2  12298  splfv1  12418  splfv2a  12419  isercoll  13166  fz1f1o  13208  o1fsum  13297  hashiun  13306  ackbijnn  13312  incexclem  13320  incexc  13321  incexc2  13322  climcndslem1  13333  climcndslem2  13334  phicl2  13864  phiprmpw  13872  sumhash  13979  prmreclem3  14000  prmreclem4  14001  prmreclem5  14002  4sqlem11  14037  vdwlem11  14073  vdwlem12  14074  vdwlem13  14075  ramlb  14101  0ram  14102  ramub1lem1  14108  ramub1lem2  14109  lagsubg2  15763  lagsubg  15764  psgnunilem4  16024  odhash3  16096  gexdvds3  16110  sylow1lem1  16118  sylow1lem5  16122  pgpfi  16125  pgpssslw  16134  sylow2alem2  16138  sylow2a  16139  sylow2blem3  16142  sylow3lem3  16149  sylow3lem4  16150  sylow3lem6  16152  cyggex2  16394  ablfacrplem  16588  ablfacrp2  16590  ablfac1c  16594  ablfac1eulem  16595  ablfac1eu  16596  pgpfac1lem2  16598  pgpfaclem2  16605  ablfaclem3  16610  cygznlem1  18021  cygznlem2a  18022  cygznlem3  18024  cygth  18026  tsmsxp  19751  fta1glem2  21660  fta1blem  21662  fta1lem  21795  vieta1lem2  21799  birthday  22370  ppif  22490  isnsqf  22495  muf  22500  0sgm  22504  mule1  22508  ppidif  22523  mumul  22541  musum  22553  ppiub  22565  chpub  22581  dchrabs  22621  sumdchr2  22631  dchrhash  22632  lgsquadlem1  22715  lgsquadlem2  22716  lgsquadlem3  22717  rpvmasum2  22783  dchrisum0re  22784  pntlemr  22873  pntlemj  22874  fiusgraedgfi  23342  cusgrasizeinds  23406  spthispth  23494  vdgrfival  23589  vdgrfif  23591  vdgrfiun  23594  konigsberg  23630  esumcst  26536  hasheuni  26556  coinfliplem  26883  coinflippv  26888  ballotlemfelz  26895  ballotlemfp1  26896  ballotlemgun  26929  ballotth  26942  ofccat  26963  ofcccat  26964  signshf  27011  derangf  27078  derangen2  27084  subfacp1lem1  27089  erdszelem8  27108  erdsze2lem1  27113  snmlff  27240  rrnequiv  28760  rrntotbnd  28761  eldioph2lem1  29124  isnumbasgrplem3  29487  stoweidlem26  29847  hash1to3  30261  wrdnfi  30502  clwwlkndivn  30537  nbhashuvtx1  30559  frghash2spot  30682  usgreghash2spotv  30685  frgregordn0  30689  numclwwlk1  30717  numclwwlk3  30728  numclwwlk5  30731  numclwwlk6  30732  frgrareg  30736  frgraregord013  30737  frgraogt3nreg  30739  friendshipgt3  30740  friendship  30741  pgrple2abel  30798  pgrpgt2nabel  30799  0rngnnzr  30808
  Copyright terms: Public domain W3C validator